Vorkurs Analysis und lineare Algebra. Teil 2. Steven Köhler. mathe.stevenkoehler.de Steven Köhler

(1)

Vorkurs

„Analysis und lineare Algebra“

Teil 2

Steven Köhler

mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de

(2)

Inhaltsverzeichnis



Teil 1



Teil 2



Geraden



Ebenen



Lineare Gleichungssysteme



Teil 3



Teil 4

Kapitel III

Geraden

(3)

Definition I

Eine Gerade oder gerade Linie ist ein Element der Geometrie.

Anschaulich kann man sich darunter eine unendlich lange, dÄunne Linie vorstellen.

Eine durch 2 Punkte begrenzte Gerade nennt manStrecke.

Kapitel III: Geraden

Definition II

Beispiel einer Geraden, die durch die PunkteA= (0;3) undB= (6;0) verlÄauft:

Durch die PunkteAundB wird zudem die StreckeAB begrenzt.

(4)

Darstellungsformen

Eine Gerade kann auf mehrere Arten dargestellt werden:

² die Koordinatenform;

² die Parameterform;

² die Normalenform.

Koordinatenform I

De¯nition

Jede Gerade in der x1; x2-Ebene lÄasst sich durch eine Koor- dinatengleichung

ax₁+bx₂+c= 0

beschreiben, bei der mindestens einer der beiden Koe±zienten a undb ungleich Null ist.

(5)

Koordinatenform II

Aufgabe

PrÄufe, ob der Punkt A = (5;3) auf der Geraden liegt, die durch die Gleichung

¡x1+ 3x2¡4 = 0 beschrieben wird.

Koordinatenform III

LÄosung

Der Punkt A hat die Koordinaten (5;3). Setzt man nun fÄurx₁= 5 und fÄur x₂= 3 ein, so ergibt sich

¡5 + 3¢3¡4 = 0:

Folglich liegt der PunktAauf der Geraden.

Dieses Verfahren nennt man Punktprobe, da man fÄur einen Punkt testet, ob er auf der Geraden liegt.

(6)

Koordinatenform IV

Frage

Wie ¯ndet man die Koordinatenform, wenn lediglich zwei Punkte der Geraden bekannt sind?

Koordinatenform V

Antwort

Man kann es berechnen. Dies geht beispielsweise

² durch Aufstellen der Geradengleichung;

² mit dem Gau¼(-Jordan)-Verfahren (vgl. Kapitel V);

² Äuber die Parameter- oder Normalenform.

Im Folgenden beschÄaftigen wir uns zunÄachst damit, die Geraden- gleichung aufzustellen.

(7)

Geradengleichung I

Jede Gerade kann in der folgenden Form dargestellt werden:

x₂=ax₁+b:

Die Bezeichnungen sind dabei wie folgt:

² x₁ undx₂ sind die Koordinaten;

² aist der Anstieg der Geraden;

² bist die Verschiebung inx2-Richtung.

Geradengleichung II

Wir fÄuhren das Verfahren exemplarisch an dem zuvor verwendeten Beispiel einer Geraden vor.

(8)

Geradengleichung III

Den Anstieg der Geraden berechnen wir leicht mit einem Stei- gungsdreieck. Es gilt

a=¢x₂

¢x₁ =b₂¡a₂ b₁¡a₁: In unserem Beispiel ist dies

a= 0¡3 6¡0 =¡1

2:

Wir kÄonnen die gesuchte Geradengleichung also bereits wie folgt darstellen:

x₂=¡1 2x₁+b:

Geradengleichung IV

Es verbleibt nur noch die einfache Aufgabe,bzu bestimmen.

Dazu stellen wir die Gleichung nach b um und setzen einen der PunkteAoder B in die Gleichung ein { sie mÄussen ja beide in jedem Fall auf der Geraden liegen.

b=1

2x₁+x₂: Setzt manAein, ergibt sich

b=1

2 ¢0 + 3 = 3:

(9)

Geradengleichung V

Die gesuchte Geradengleichung lautet also x₂=¡1

2x₁+ 3:

Umstellen ergibt die gesuchte Koordinatenform:

1

2 ¢x1+x2¡3 = 0:

Alternativ kann diese auch so dargestellt werden:

x₁+ 2x₂¡6 = 0:

Aufgaben

Aufgabe III-1

Bestimme die Koordinatenform der Geraden, die durch die PunkteP1= (2;3) undP2= (4;4) verlÄauft.

Aufgabe III-2

Bestimme die Koordinatenform der Geraden, die durch die PunkteP₁= (2;1), P₂= (6;3) undP₃= (4;2:5) verlÄauft.

(10)

Parameterform I

Eine andere, sehr komfortable MÄoglichkeit, eine Gerade darzustellen, ist die sogenannte Parameterform. Die Gerade wird dabei in der folgenden Form dargestellt:

x=p+t¢u (t2R):

² p ist derStÄutzvektor;

² uist einRichtungsvektor;

² t2Rist ein beliebiges Skalar.

Diese Darstellung einer Geraden wird auch Vektorielle Punkt- Richtungsform genannt.

Parameterform II

Bildlich veranschaulicht bedeutet dies, dass die Gerade durch einen Punkt auf der Geraden (der StÄutzvektorp) sowie die Rich- tung der Geraden (der Richtungsvektor u) beschrieben wird:

(11)

Parameterform III

Wir fÄuhren auch dieses Verfahren exemplarisch an dem bereits bekannten Beispiel einer Geraden vor.

Parameterform IV

Als StÄutzvektor kÄonnen wir beispielweise den Vektor¡!

0Averwen- den, als Richtungsvektor den Vektor¡¡!

AB. Es ergibt sich x=

μx₁ x2

¶

= μ0

3

¶ +t

μ6¡0 0¡3

¶

= μ0

3

¶ +t

μ 6

¡3

¶

(t2R):

Die gesuchte Gerade in Parameterform lautet also x=

μx1

x₂

¶

= μ0

3

¶ +t

μ 6

¡3

¶

(t2R):

Durch entsprechende Werte fÄur die Variable t kann jeder Punkt der Geraden dargestellt werden.

(12)

Normalenform I

Die letzte hier behandelte Art, eine Gerade darzustellen, ist die Normalenform. Dabei wird die Gerade unter Zuhilfenahme einer Normalen dargestellt { also mit einem zur Geraden senkrechten Vektor. Es gilt

n¢(x¡p) = 0:

² nist die Normale;

² pist ein fester Punkt auf der Geraden;

² xist der zu prÄufende Punkt.

Wichtig: Die Normalenform einer Geraden existiert nur imR².

Normalenform II

Eine alternative Schreibweise erhÄalt man, wenn man in n¢(x¡p) = 0

nundpausmultipliziert. Es folgt n¢x+c= 0:

² nist die Normale;

² xist der zu prÄufende Punkt;

² c ist ein konstanter Wert, der fÄur alle Punkte der Geraden gilt.

(13)

Normalenform III

Wir fÄuhren auch dies wieder an unserem bisher verwendeten Beispiel vor { unter BerÄucksichtigung der Ergebnisse der Darstel- lung in Parameterform.

Normalenform IV

FÄur einen zweidimensionalen Vektor v = μv₁

v₂

¶

ist stets jedes Vielfache des Vektors

μ¡v₂ v₁

¶

ein Normalenvektor von v, denn

es gilt μ

v₁ v₂

¶

¢ μ¡v₂

v₁

¶

=¡v₁v₂+v₁v₂= 0:

(14)

Normalenform V

Nach Bestimmung einer Normalen zum Richtungsvektor μ 6

¡3

¶

ergibt sich die folgende Normalenform:

μ3 6

¶

¢x+c= 0:

Einsetzen eines Punktes der Geraden und Ausrechnen voncergibt c=¡

μ3 6

¶

¢ μ0

3

¶

=¡(3¢0 + 6¢3) =¡18:

Normalenform VI

Der berechnete Wertcist fÄur jeden Punkt der Geraden identisch.

FÄur die Normalenform der Geraden ergibt sich μ3

6

¶

¢x¡18 = 0:

(15)

Aufgaben

Aufgabe III-3

Bestimme die Parameter- und Normalenform der Geraden, die durch die PunkteP1= (2;3) undP2= (4;4) verlÄauft.

Ergänzungen zur Parameterform I

Die besprochene Parameterform ging bisher stets von einemt2R aus:

x=p+t¢u (t2R):

Es ist jedoch ohne Weiteres mÄoglich,teinzuschrÄanken.

Beispielsweise kann t auf ein uneigentliches Intervall eingeschrÄankt werden (beispielsweise t > 1 oder t · ¡2).

In diesem Fall stellt die Parameterform eineHalbgerade dar.

t kann au¼erdem auf ein endliches Intervall eingeschrÄankt werden (beispielsweise 0 · t · 1). Dann wird durch die Parameterform eineStrecke dargestellt.

(16)

Ergänzungen zur Parameterform II

Beispiel

Gesucht ist die Parameterdarstellung der Strecke P Q fÄur 0·t·1. Es gilt:

μx₁ x2

¶

= μp₁

p2

¶ +t

μq₁¡p₁ q2¡p2

¶

= μp1

p2

¶ +t

μq1

q2

¶

¡t μp1

p2

¶

=t μq₁

q₂

¶

+ (1¡t) μp₁

p₂

¶

(0·t·1)

Ergänzungen zur Parameterform III

Die gesuchte Parameterform lautet also μx1

x2

¶

=t μq1

q2

¶

+ (1¡t) μp1

p2

¶

(0·t·1):

Durch Vertauschen vonP undQergibt sich analog μx₁

x₂

¶

=t μp₁

p₂

¶

+ (1¡t) μq₁

q₂

¶

(0·t·1):

(17)

Umrechnung zwischen den Darstellungen

Die Umrechnung zwischen den einzelnen Darstellungen einer Geraden funktioniert analog zu den in Kapitel IV ausfÄuhrlich besprochenen Umformungen zwischen den Darstellungen einer Ebene.

Hier werden sie aus diesem Grund nicht weiter besprochen.

Kapitel IV

Ebenen

(18)

Definition

DieEbene ist ein Grundbegri® der Geometrie. Allgemein handelt es sich um ein unbegrenzt ausgedehntes, °aches, zweidimension- ales Objekt.

² Hierbei bedeutet unbegrenzt ausgedehnt und °ach, dass zu je zwei Punkten auch eine durch diese Punkte verlaufende Gerade vollstÄandig in der Ebene liegt.

² Zweidimensional bedeutet, dass { abgesehen von enthalte- nen Geraden { kein echter Teilraum ebenfalls diese Eigen- schaft hat.

Kapitel IV: Ebenen

Darstellungsformen

Analog zur Geraden kann auch eine Ebene auf mehrere Arten dargestellt werden:

² die Koordinatenform;

² die Parameterform;

² die Normalenform.

Diese sind im Wesentlichen analog zu den bereits bekannten Darstellungsformen von Geraden.

(19)

Koordinatenform I

De¯nition

Jede Ebene imR³lÄasst sich durch eine Koordinatengleichung ax₁+bx₂+cx₃+d= 0

beschreiben, bei der mindestens einer der drei Koe±zientena, b undc ungleich Null ist.

Kapitel IV: Ebenen

Koordinatenform II

Durch Einsetzen der Koordinaten eines PunktesP in die Koordi- natenform kann wieder ÄuberprÄuft werden, ob der PunktP in der Ebene liegt oder nicht (Punktprobe).

Beispiel

Der PunktP = (1;2;3) liegt nicht in der Ebene, die durch 3x₁¡x₂+x₃¡7 = 0

gegeben ist, denn: Setzt manP in diese Gleichung ein, ergibt sich 3¢1¡2 + 3¡7 =¡36= 0:

(20)

Koordinatenform III

Die Koordinatenform einer Ebene kann { analog zur Koordinaten- form von Geraden { wie folgt bestimmt werden:

² mit dem Gau¼(-Jordan)-Verfahren (vgl. Kapitel V);

² Äuber die Parameter- oder Normalenform.

Kapitel IV: Ebenen

Parameterform I

Eine andere, sehr komfortable MÄoglichkeit, eine Ebene darzustellen, ist die Parameterform. Die Ebene wird dabei in der folgenden Form dargestellt:

x=p+s¢u+t¢v (s; t2R):

² pist derStÄutzvektor;

² uundvsind zweiSpannvektoren;

² s; t2Rsind beliebige Skalare.

Diese Darstellung einer Ebene wird auch Vektorielle Punkt- Richtungsform genannt.

(21)

Parameterform II

Bildlich veranschaulicht bedeutet dies, dass die Ebene durch einen Punkt in der Ebene (der StÄutzvektor p) sowie 2 Vektoren (die Spannvektoren uundv) beschrieben wird.

Die Abbildung wurde dem Gramlich entnommen.

Kapitel IV: Ebenen

Parameterform III

Wir fÄuhren an einem Beispiel exemplarisch vor, wie die Parame- terform erstellt werden kann.

Aufgabe

Gesucht ist die Parameterform der Ebene, die die folgenden Punkte enthÄalt:

A= (1;1;3); B= (2;4;0) und C= (5;0;¡1):

(22)

Parameterform IV

Eine mÄogliche Darstellung mittels StÄutz- und Spannvektoren fÄur beliebige PunkteA,B undC kann man wie folgt erhalten:

v=¡!

0A+s¢¡¡!

AB+t¢¡!

AC

= 0

@ a₁ a₂ a3

1 A+s

0

@ b₁¡a₁ b₂¡a₂ b3¡a3

1 A+t

0

@ c₁¡a₁ c₂¡a₂ c3¡a3

1

A (s; t2R):

Kapitel IV: Ebenen

Parameterform V

FÄur unser Beispiel ergibt sich

v= 0

@ 1 1 3

1 A+s

0

@ 2¡1 4¡1 0¡3

1 A+t

0

@ 5¡1 0¡1

¡1¡3 1 A

= 0

@ 1 1 3

1 A+s

0

@ 1 3

¡3 1 A+t

0

@ 4

¡1

¡4 1

A (s; t2R):

Eine mÄogliche Parameterform fÄur die gesuchte Ebene lautet also

v= 0

@ 1 1 3

1 A+s

0

@ 1 3

¡3 1 A+t

0

@ 4

¡1

¡4 1

A (s; t2R):

(23)

Normalenform I

Die letzte hier behandelte Art, eine Ebene darzustellen, ist die Normalenform. Dabei wird die Ebene unter Zuhilfenahme einer Normalen { eines zur Ebene senkrechten Vektors { dargestellt. Es gilt (analog zu Geraden):

³ x¡p

´

¢n= 0 oder n¢x+d= 0:

² nist eine Normale der Ebene;

² xist ein (vermeintlicher) Punkt in der Ebene;

² pist ein beliebiger Punkt der Ebene;

² dist ein konstanter Wert, der fÄur alle Punkte der Ebene gilt.

Wichtig: Die Normalenform einer Ebene existiert nur imR³.

Kapitel IV: Ebenen

Normalenform II

Bildlich kann man sich die Normalenform einer Ebene wie folgt vorstellen.

Die Abbildung wurde dem Gramlich entnommen.

(24)

Normalenform III

Besitzt man die Parameterform der Ebene, lÄasst sich eine Normale sehr einfach berechnen. Sie ist nichts Anderes als das Kreuzpro- dukt der beiden Spannvektoren.

Kapitel IV: Ebenen

Aufgaben

Aufgabe IV-1

Bestimme die Parameter- und Normalenform der Ebene, die durch die Punkte A= (3;4;5), B = (0;¡1;2) und C = (1;0;2) beschrieben wird.

(25)

Umrechnung zwischen den Darstellungen I

Parameterform !Koordinatenform

Die Umrechnung der Parameterform in die Koordinaten- form ist relativ einfach. Man betrachtet die Parameterform in der folgenden Weise:

x= 0

@x1

x₂ x₃

1 A=

0

@p1

p₂ p₃

1 A+s

0

@u1

u₂ u₃

1 A+t

0

@v1

v₂ v₃

1 A

= 0

@

p₁+su₁+tv₁ p₂+su₂+tv₂ p3+su3+tv3

1

A (s; t2R):

Kapitel IV: Ebenen

Umrechnung zwischen den Darstellungen II

Hieraus bekommt man sofort das folgende Gleichungssystem:

x1=p1+su1+tv1

x₂=p₂+su₂+tv₂ x₃=p₃+su₃+tv₃

Stellt man zwei der Gleichungen nach den Parameternsundtum und setzt diese in die verbleibende Gleichung ein, erhÄalt man die Koordinatenform.

(26)

Umrechnung zwischen den Darstellungen III

Aufgabe

Stelle die in Parameterform gegebene Ebene in Koordinatenform dar.

x= 0

@ 1 2 3

1 A+s

0

@ 0 1

¡1 1 A+t

0

@ 1 2 1

1

A (s; t2R)

Hieraus ergeben sich die folgenden Gleichungen:

x₁= 1 +t x2= 2 +s+ 2t x₃= 3¡s+t

Kapitel IV: Ebenen

Umrechnung zwischen den Darstellungen IV

Umstellen der ersten Gleichung nacht ergibt t=x1¡1:

Umstellen der zweiten Gleichung nachsund Einsetzen vontergibt s=x₂¡2¡2t

=x2¡2¡2(x1¡1)

=x₂¡2x₁:

(27)

Umrechnung zwischen den Darstellungen V

Einsetzen vonsundt in die dritte Gleichung ergibt x3= 3¡(x2¡2x1) + (x1¡1)

= 2¡x₂+ 3x₁: Die gesuchte Koordinatenform lautet also

¡3x1+x2+x3¡2 = 0:

Kapitel IV: Ebenen

Umrechnung zwischen den Darstellungen VI

Koordinatenform!Parameterform

Die Umrechnung der Koordinatenform in die Parameter- form kann folgenderma¼en erledigt werden:

Durch Einsetzen von beliebigen Werten x1, x2 und Berech- nen des Wertes x3 kann man leicht 3 Punkte der Ebene bestimmen, aus denen man dann einfach die Parameterform der Ebene bestimmen kann.

(28)

Umrechnung zwischen den Darstellungen VII

Normalenform!Koordinatenform

Zur Umrechnung der Normalenform in die Koordinatenform kann man einen einfachen Trick verwenden.

Die Werte des Normalenvektors sind die Koe±zienten von x₁,x₂ undx₃. Aus

0

@ n₁ n2

n3

1 A¢

0

@ x₁ x2

x3

1

A+d= 0

wird also

n₁x₁+n₂x₂+n₃x₃+d= 0:

Kapitel IV: Ebenen

Umrechnung zwischen den Darstellungen VIII

Koordinatenform!Normalenform

Diese Umrechnung funktioniert analog zur Umrechnung der Normalenform in die Koordinatenform.

Die Koe±zienten von x1, x2 und x3 sind die EintrÄage des Normalenvektors. Aus

n₁x₁+n₂x₂+n₃x₃+d= 0

wird also 0

@ n1

n2

n3

1 A¢

0

@ x1

x2

x3

1

A+d= 0:

(29)

Umrechnung zwischen den Darstellungen IX

Parameterform !Normalenform

Diese Umrechnung erfordert etwas mehr Rechenaufwand, ist aber nicht sonderlich schwer.

ZunÄachst wird aus der Parameterform die Koordinatenform erstellt. Aus dieser kann man die Normalenform dann unmittel- bar ablesen.

Alternativ kann der Normalenvektor auch als Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren berechnet werden. Als ¯xer Punkt der Ebene kann der StÄutzvektor verwendet werden.

Kapitel IV: Ebenen

Umrechnung zwischen den Darstellungen X

Normalenform!Parameterform

Diese Umrechnung erfolgt analog zur Umrechnung der Pa- rameterform in die Normalenform.

ZunÄachst wird aus der Normalenform die Koordinatenform erstellt. Aus dieser kann man dann die Parameterform erstellen.

(30)

Aufgaben

Aufgabe IV-2

Stelle die folgende Ebene in Parameter- und Normalenform dar:

2x₁+x₂¡x₃+ 4 = 0:

Aufgabe IV-3

Gib die folgende Ebene in Parameterdarstellung an:

0

@ 1

¡2 0

1 A¢

0

@ 0

@ x₁ x₂ x₃

1 A¡

0

@ 2

¡1 3

1 A

1 A= 0:

Kapitel V

Lineare Gleichungssysteme

(31)

Definition

Als lineare Gleichungssysteme bezeichnet man in der linearen Al- gebra Gleichungssysteme der folgenden Art:

a11x1+a12x2+: : :+a1nxn =b1

a₂₁x₁+a₂₂x₂+: : :+a_2nx_n =b₂ ... am1x1+am2x2+: : :+amnxn =bm

Das Gleichungssystem besteht dabei aus m Gleichungen mit n Unbekannten.

Kapitel V: Lineare Gleichungssysteme

Darstellungsformen I

Es existieren verschiedene Darstellungsformen fÄur lineare Gleich- ungssysteme:

² dieexplizite Form;

² dieMatrixform;

² dieSpaltenform (oder auchVektorform).

(32)

Darstellungsformen II

Die explizite Form

Bei dieser Form wird das Gleichungssystem als eine Menge vonmseparaten Gleichungen mit nUnbekannten angegeben.

a₁₁x₁+a₁₂x₂+: : :+a_1nx_n=b₁ a21x1+a22x2+: : :+a2nxn=b2

... a_m1x₁+a_m2x₂+: : :+a_mnx_n=b_m

Darstellungsformen III

Die Matrixform

Bei dieser Form wird das Gleichungssystem als Produkt einer Koe±zientenmatrix A, einem Spaltenvektor x mit den Unbekannten sowie einem LÄosungsvektorb angegeben.

2 66 64

a₁₁ a₁₂ : : : a_1n a21 a22 : : : a2n

... ... . .. ... a_m1 a_m2 : : : a_mn

3 77 75¢

2 66 64

x₁ x2

... x_n

3 77 75=

2 66 64

b₁ b2

... b_m

3 77 75

Die Gleichung lÄasst sich auch in der folgenden kompakten Form schreiben:

Ax=b:

(33)

Darstellungsformen IV

Die Spaltenform

Bei dieser Form wird das Gleichungssystem als Summe der Produkte der Unbekannten mit den Spaltenvektoren der Matrix Asowie einem LÄosungsvektorb angegeben:

x1

2 66 64

a₁₁ a₂₁ ... a_m1

3 77 75+x2

2 66 64

a₁₂ a₂₂ ... a_m2

3 77

75+: : :+xn

2 66 64

a_1n a_2n ... a_mn

3 77 75=

2 66 64

b₁ b₂ ... b_m

3 77 75:

Verwendet man fÄur die Spalten die Schreibweisea_i, so ergibt sich die folgende kompakte Schreibweise:

x1a1+x2a2+: : :+xnan=b:

Gauß‐Verfahren I

Das Gau¼-Verfahren bietet eine einfache MÄoglichkeit, lineare Gleichungssysteme zu lÄosen. Es basiert auf der Matrixform des Gleichungssystems.

2 64

a₁₁ : : : a_1n ... . .. ... a_m1 : : : a_mn

3 75¢

2 64

x₁ ... x_n

3 75=

2 64

b₁ ... b_m

3 75

(34)

Gauß‐Verfahren II

FÄur die LÄosung des Gleichungssystems Ax = b sind nur die Koe±zientenmatrixAsowie der LÄosungsvektorbvon Interesse.

Diese fasst man in der sogenannten erweiterten Koe±zien- tenmatrix zusammen:

h A¯

¯b i

= 2 64

a₁₁ : : : a_1n b₁ ... . .. ... ... a_m1 : : : a_mn b_m

3 75:

Gauß‐Verfahren III

Das Gau¼-Verfahren basiert auf der Grundidee, zunÄachst die erweiterte Koe±zientenmatrix durch elementare Zeilenumfor- mungen in Zeilenstufenform zu ÄuberfÄuhren und anschlie¼end durch RÄuckwÄartseinsetzen schrittweise die LÄosung zu bestimmen.

Wichtig: Durch elementare Spaltenumformungen kann sehr leicht die LÄosungsmenge des Gleichungssystems verÄandert werden. Aus diesem Grund sind diese beim LÄosen linearer Gleichungssysteme mit dem Gau¼(-Jordan)-Verfahrenverboten!

(35)

Gauß‐Verfahren IV

Aufgabe

LÄose das folgende Gleichungssystem mit dem Gau¼-Verfahren!

2x1+ 4x2= 22 3x1¡2x2=¡7

LÄosung

ZunÄachst wird die erweiterte Koe±zientenmatrix erstellt und schrittweise in Zeilenstufenform gebracht.

h A¯

¯b i

=

· 2 4 22 3 ¡2 ¡7

¸

Gauß‐Verfahren V

Multiplikation der ersten Zeile mit ¹₂ ergibt

· 1 2 11 3 ¡2 ¡7

¸ :

Anschlie¼end wird durch Addition des (¡3)-fachen der ersten Zeile zur zweiten die erste Spalte in die richtige Form gebracht:

· 1 2 11 0 ¡8 ¡40

¸ :

Multiplikation der zweiten Zeile mit ¡¹₈ stellt die gewÄunschte Zeilenstufenform her:

· 1 2 11 0 1 5

¸ :

(36)

Gauß‐Verfahren VI

Zur Erinnerung: Die Darstellung durch die erweiterte Koe±zientenmatrix ist lediglich eine andere Schreibweise fÄur das Gleich- ungssystem, das nach den Umformungen wie folgt lautet:

x₁+ 2x₂= 11 x₂= 5:

Nun lÄost man die Gleichungen von unten nach oben auf. x2= 5 liegt bereits in der gewÄunschten Form vor. Setzt man x2 nun in die obere Gleichung ein, so ergibt sich

x1+ 2¢5 = 11;

woraus sofortx1= 1 folgt.

Gauß‐Verfahren VII

Die einzige LÄosung des Gleichungssystems lautet also x₁= 1 und x₂= 5:

Man kann dies leicht durch Einsetzen in die Ausgangsgleichungen Ä

uberprÄufen.

(37)

Gauß‐Jordan‐Verfahren I

Beim Gau¼-Jordan-Verfahren wird die Matrix in reduzierte Zeilenstufenform gebracht, d.h., au¼er den fÄuhrenden Einsen enthÄalt die MatrixAin der erweiterten Koe±zientenmatrix£

Ajb¤ nur Nullen.

Wir hatten beim Gau¼-Verfahren die erweiterte Koe±zientenmatrix bereits in Zeilenstufenform gebracht.

· 1 2 11 0 1 5

¸ :

Gauß‐Jordan‐Verfahren II

Man muss also nur noch durch Addition des (¡2)-fachen der zweiten Zeile zur ersten die zweite Spalte in die richtige Form

bringen: ·

1 0 1 0 1 5

¸ :

Hier kann man nun die LÄosungen fÄur x₁ und x₂ ohne weiteres Rechnen direkt ablesen. Es folgt wie erwartet

x₁= 1 und x₂= 5:

(38)

Anzahl der Lösungen I

Ein Gleichungssystem kann keine, genau eine oder unendlich viele LÄosungen besitzen.

Anzahl der Lösungen II

Eine LÄosung

Den Fall genau einer LÄosung haben wir bereits bei unserem Beispiel gesehen.

Dieser Fall liegt immer genau dann vor, wenn in der erweiterten Koe±zientenmatrix £

Ajb¤

die Matrix A nach dem UberfÄÄ uhren in Zeilenstufenform genauso viele vom Nullvektor verschiedene Zeilen besitzt wie das Gleichungssystem Variablen hat.

(39)

Anzahl der Lösungen III

Keine LÄosung

Es ist mÄoglich, dass ein Gleichungssystem keine LÄosung besitzt.

Dies ist immer genau dann der Fall, wenn in der erweiterten Koe±zientenmatrix £

Ajb¤

(nach dem UberfÄÄ uhren in Zeilenstufenform) eine Zeile der folgenden Art auftritt:

h

0 : : : 0 ¯

¯ b i

(mitb6= 0):

Anzahl der Lösungen IV

Dies wÄurde bedeuten, dass

0x₁+: : :+ 0x_n=b(6= 0)

gilt, was einen Widerspruch darstellt. Das Gleichungssystem kann folglich keine LÄosung besitzen.

(40)

Anzahl der Lösungen V

Aufgabe V-1

BestÄatige, dass das folgende Gleichungssystem keine LÄosung besitzt.

x1+ 2x2+ 3x3= 5 x1¡x2+ 2x3= 7

¡2x₁¡x₂¡5x₃=¡13

Anzahl der Lösungen VI

Unendlich viele LÄosungen

Es ist zudem mÄoglich, dass ein Gleichungssystem unendlich viele LÄosungen besitzt.

Dieser Fall liegt immer genau dann vor, wenn in der erweiterten Koe±zientenmatrix £

Ajb¤

(nach dem ÄUberfÄuhren in Zeilenstufenform) die Matrix A weniger vom Nullvektor verschiedene Zeilen besitzt als das Gleichungssystem Variablen hat.

Mit anderen Worten: Es gibt mehr Variablen als Gleichungen.

(41)

Anzahl der Lösungen VII

Aufgabe

LÄose das folgende lineare Gleichungssystem.

2x₁+ 4x₂+x₃= 22 3x1¡2x2¡x3=¡7

LÄosung

Auch in diesem Fall wird zunÄachst die erweiterte Koef-

¯zientenmatrix erstellt und schrittweise in Zeilenstufenform gebracht.

h A¯

¯b i

=

· 2 4 1 22 3 ¡2 ¡1 ¡7

¸

Anzahl der Lösungen VIII

Multiplikation der ersten Zeile mit ¹₂ ergibt

· 1 2 ¹₂ 11 3 ¡2 ¡1 ¡7

¸ :

Anschlie¼end wird durch Addition des (¡3)-fachen der ersten Zeile zur zweiten die erste Spalte in die richtige Form gebracht:

"

1 2 ¹₂ 11

0 ¡8 ¡⁵₂ ¡40

# :

(42)

Anzahl der Lösungen IX

Multiplikation der zweiten Zeile mit ¡¹₈ stellt die gewÄunschte Zeilenstufenform her:

"

1 2 ¹₂ 11 0 1 ₁₆⁵ 5

# :

Die Spalten mit den fÄuhrenden Einsen reprÄasentieren die fÄuhrenden Variablen, die restlichen Spalten stellen diefreien Vari- ablen dar.

Anzahl der Lösungen X

Um die LÄosung zu erhalten, weist man den freien Variablen Pa- rameter zu. In unserem Beispiel ist

x₃=t (t2R) die einzige freie Variable.

Die fÄuhrenden Variablen rechnet man wie gewohnt durch RÄuckwÄartseinsetzen aus. FÄur die zweite Zeile der Matrix ergibt sich somit

x₂+ 5

16 x₃= 5 x2= 5¡ 5

16 t (t2R):

(43)

Anzahl der Lösungen XI

Um x1 zu berechnen, setzt man nun x2 undx3in die erste Zeile ein. Es folgt

x₁+ 2x₂+1

2x₃= 11:

Umstellen nachx1 ergibt x₁= 11¡2¢

³ 5¡ 5

16 t

´

¡1 2 t

= 1 +1

8 t (t2R):

Anzahl der Lösungen XII

Als GesamtlÄosung haben wir also Folgendes erhalten (t2R):

x1= 1 +1 8 t x₂= 5¡ 5

16 t x3=t

(44)

Anzahl der Lösungen XIII

Wir kÄonnen die LÄosung auch wie folgt darstellen:

x= 0

@ x₁ x₂ x3

1 A=

0 B@

1 +¹₈t 5¡₁₆⁵t

t 1 CA

= 0

@ 1 5 0

1 A+

0 B@

1 8t

¡₁₆⁵t t

1 CA=

0

@ 1 5 0

1 A+t

0 B@

1 8

¡₁₆⁵ 1

1

CA (t2R):

Man nennt dies dieParameterform der LÄosung.

Aufgaben I

Aufgabe V-2

Bestimme die LÄosungen der folgenden Gleichungssysteme.

Gib die LÄosungen ggf. in Parameterform an.

a) 2x₁¡x₂=¡1 x₁+ 3x₂= 10

b) 5x1¡x2=¡2 8x₁¡8

5x₂=¡3 c) 2x1¡x2= 3

¡x1+1

2x2=¡3 2

(45)

Aufgaben II

Aufgabe V-3

Wir gehen davon aus, dass die erweiterte Koe±zientenmatrix eines linearen Gleichungssystems durch elementare Zeilenumformungen auf die folgende Zeilenstufenform gebracht

wurde: 2

4

1 3 ¡1 2 ¡1 1

0 1 3 2 0 1

0 0 0 0 1 ¡3

3 5:

Bestimme die LÄosung dieses Gleichungssystems. Gib die LÄosung in Parameterdarstellung an und deute das Ergebnis geometrisch.

Aufgaben III

Aufgabe V-4

Bestimme die LÄosung des folgenden linearen Gleichungssys- tems. Gib die LÄosung in Parameterform an.

¡x₁¡2x₂¡3x₄+x₆=¡2

¡x₁+ 2x₃¡x₄+ 10x₅¡x₆=¡2

¡x1+ 2x3¡x4+ 11x5+x6=¡1 2x1+ 3x2¡x3+ 5x4¡2x5+ 5x6= 7

(46)

Aufgaben IV

Aufgabe V-5

Bestimme mit Hilfe des Gau¼- oder Gau¼-Jordan-Verfahrens die Koordinatenform der Ebene, die durch die Punkte A= (1;1;2), B= (3;4;¡1) undC= (4;3;1) gegeben ist.

UberprÄÄ ufe anschlie¼end, ob der Punkt D = (1;2;3) in der durchA,B undCbeschriebenen Ebene liegt oder nicht.

Lineare Gleichungssysteme & inverse Matrizen I

Hat ein lineares Gleichungssystem eine eindeutige LÄosung, so lÄasst sich dieses auch mit Hilfe der Inversen der Koe±zientenmatrixA berechnen. Es gilt

Ax=b )x=A^¡1b:

(47)

Lineare Gleichungssysteme & inverse Matrizen II

Aufgabe V-6

UberprÄÄ ufe dies anhand des Gleichungssystems aus Aufgabe V-2a.

2x₁¡x₂=¡1 x₁+ 3x₂= 10