Downgrading: Oberfl¨ ache Polyeder!

(1)

Offline Bewegungsplanung: Polyeder

Elmar Langetepe University of Bonn

(2)

Downgrading: Oberfl¨ ache Polyeder!

(3)

Downgrading: Oberfl¨ ache Polyeder!

• Nat¨urliche Erweiterung der Polygone auf 3D

(4)

Downgrading: Oberfl¨ ache Polyeder!

(5)

Downgrading: Oberfl¨ ache Polyeder!

s

(6)

Downgrading: Oberfl¨ ache Polyeder!

s

t

(7)

Downgrading: Oberfl¨ ache Polyeder!

s

t

(8)

Downgrading: Oberfl¨ ache Polyeder!

• Rand besteht aus Polygonen

s

t

(9)

Downgrading: Oberfl¨ ache Polyeder!

• Keine d¨unnen Stellen:

s

t

(10)

Downgrading: Oberfl¨ ache Polyeder!

• Keine d¨unnen Stellen: -Kugeln

s

t

(11)

Downgrading: Oberfl¨ ache Polyeder!

• Keine d¨unnen Stellen: -Kugeln

• Datenstruktur QEDS: Triangulation Oberfl¨achen, Navigation!

s

t

(12)

Lokale Eigenschaften (geod¨ atisch)! Lem. 1.39

(13)

Lokale Eigenschaften (geod¨ atisch)! Lem. 1.39

• Lokale Eigenschaften (geod¨atisch) k¨urzester Wege

(14)

Lokale Eigenschaften (geod¨ atisch)! Lem. 1.39

• Alle Kanten: Eingangswinkel=Ausgangswinkel

d1 α

α e

(i) d2

(15)

Lokale Eigenschaften (geod¨ atisch)! Lem. 1.39

• Knoten: Nur nicht-konvexe Ecken

d1 α

α e

(i) d2

(16)

Lokale Eigenschaften (geod¨ atisch)! Lem. 1.39

d1 α

α e

(i) d2

α1

β1

β2

β5

α7

α2

α3

(ii)

(17)

Lokale Eigenschaften (geod¨ atisch)! Lem. 1.39

d1 α

α e

(i) d2

α1

β1

β2

β5

α7

α2

α3

(ii)

β

(18)

Lokale Eigenschaften (geod¨ atisch)! Lem. 1.39

• Konvexe Ecke: Ebenenschnitt

d1 α

α e

(i) d2

α1

β1

β2

β5

α7

α2

α3

(ii)

β

(19)

Globale Eigenschaften (K¨ urzeste)! Lem. 1.40

(20)

Globale Eigenschaften (K¨ urzeste)! Lem. 1.40

π_i, π_j k¨urzeste von s nach b_i resp. b_j

(21)

Globale Eigenschaften (K¨ urzeste)! Lem. 1.40

π_i, π_j k¨urzeste von s nach b_i resp. b_j (i) π_i hat keine Selbstschnitte

(22)

Globale Eigenschaften (K¨ urzeste)! Lem. 1.40

(ii) π_i schneidet jede Fl¨ache max. einmal

(23)

Globale Eigenschaften (K¨ urzeste)! Lem. 1.40

(iii) π_i, π_j kreuzen sich nicht im Innern einer Fl¨ache

(24)

Globale Eigenschaften (K¨ urzeste)! Lem. 1.40

(iii) π_i, π_j kreuzen sich nicht im Innern einer Fl¨ache Beweis!!! Lokal verk¨urzbar! (Tafel)

(25)

Berechnungsansatz: Ideen

(26)

Berechnungsansatz: Ideen

• Locus approach: Startpunkt s fest

(27)

Berechnungsansatz: Ideen

• Nur letzte Schritte des Weges konkret

(28)

Berechnungsansatz: Ideen

• Kombinatorisch gleiche zusammenfassen

(29)

Berechnungsansatz: Ideen

• Zun¨achst nur Intervalle auf Kanten betrachten

(30)

Berechnungsansatz: Ideen

• Sukzessive erweitern: Continous Dijkstra

(31)

Berechnungsansatz: Ideen

• In die Dreiecke fortpflanzen

(32)

Berechnungsansatz: Ideen

• In die Dreiecke fortpflanzen

• Query Struktur f¨ur alle Punkte auf P

(33)

Kombinatorik: Gesamtweg analysieren!

(34)

Kombinatorik: Gesamtweg analysieren!

Folge von Kanten und Knoten!

(35)

Kombinatorik: Gesamtweg analysieren!

Folge von Kanten und Knoten!

π = v₀

|{z}=s

, e_1,1, . . . , e_1,m₁

| {z }

Kanten

, v₁

|{z}2. Ecke

, e_2,1, . . . , e_2,m₂

| {z }

Kanten

, v₂, . . . , e_k−1,1, . . . , e_k−1,m_k−1, v_k

|{z}=t

f

s

t x

Kantenfolge E

(Weg verlaeuft nicht ueber Ecken von P) α

ei−11

(i-1)-te Ecke i-te Ecke

v_i−1

ei−1_mi−1

α

vi

(36)

Letzte Schritte: F¨ ur beliebige Kanten!

• Kante e, letzter Knoten v, Kantenfolge E

e f

s

β β e1

v

x em

Kantenfolge E

(Weg verlaeuft nicht ueber Ecken von P)

(37)

Letzte Schritte: F¨ ur beliebige Kanten!

• Kombinatorisch gleiche zuammenfassen,

e f

s

β β e1

v

x em

Kantenfolge E

(38)

Letzte Schritte: F¨ ur beliebige Kanten!

• Kombinatorisch gleiche zuammenfassen, Dreiecke nicht beachten

e f

s

β β e1

v

x em

Kantenfolge E

(39)

Letzte Schritte: F¨ ur beliebige Kanten!

• Optimalit¨atsintervall: Def. 1.42

e f

s

β β e1

v

x em

Kantenfolge E

(40)

Letzte Schritte: F¨ ur beliebige Kanten!

• Optimalit¨atsintervall: Def. 1.42

I(v,E) := {x ∈ e| ∃ K¨urzeste δ von s nach x mit

• δ ∩ INT(f) = ∅

• δ endet mit v, e₁, . . . , e_m, x} .

e f

s

β β e1

v

x em

Kantenfolge E

(41)

Lem. 1.43 Eigenschaften: I (v, )

(i) Jede solche Menge I(v, E) ist Intervall auf e (evtl. leer).

(ii) Zwei verschiedene Intervalle k¨onnen sich nicht ¨uberlappen.

(iii) e wird von Intervallen I(v, E) ganz ¨uberdeckt.

Beweis!!! Gegeben: Kante e, letzter Knoten v, Kantenfolge E

(42)

I (v, E) ist Intervall auf e

(43)

I (v, E) ist Intervall auf e

• I(v, E) leer ⇒ fertig!

(44)

I (v, E) ist Intervall auf e

• Annahme: Es gibt zwei Punkte x₁ und x₂ in I(v, E)

(45)

I (v, E) ist Intervall auf e

• Zu zeigen: Alle Punkte dazwischen geh¨oren zu I(v, E)

(46)

I (v, E) ist Intervall auf e

f

(47)

I (v, E) ist Intervall auf e

f e

(48)

I (v, E) ist Intervall auf e

f e

¯ v

(49)

I (v, E) ist Intervall auf e

f e

¯ v

E (aufklappen in Ebene zu f)

(50)

I (v, E) ist Intervall auf e

f e

¯ v

s

x2

x₁

(51)

I (v, E) ist Intervall auf e

f e

¯ v

s

x2

x₁ x⁰

(52)

I (v, E) ist Intervall auf e

f e

¯ v

s

x2

x₁ x⁰ v¯⁰

(53)

I (v, E) ist Intervall auf e

f e

¯ v

s

x2

x₁ x⁰ v¯⁰

(54)

I (v, E) ist Intervall auf e

f e

¯ v

s

x2

x₁ x⁰

v¯⁰ Widerspruch Lem. 1.40 (iii)

(55)

Intervalle I (v, E) uberlappen sich nicht ¨

(56)

Intervalle I (v, E) uberlappen sich nicht ¨

• Gleiche Argumentation geht auch!!

(57)

Intervalle I (v, E) uberlappen sich nicht ¨

• Sch¨onere Argumentation!!

(58)

Intervalle I (v, E) uberlappen sich nicht ¨

f

¯ v_k

¯ v_l e

(59)

Intervalle I (v, E) uberlappen sich nicht ¨

f

¯ v_k

¯ v_l

e x

(60)

Intervalle I (v, E) uberlappen sich nicht ¨

f

¯ v_k

¯ v_l

e x

|¯v_k − x| +d(v_k, s) = |v¯_l − x| + d(v_l, s)

(61)

Intervalle I (v, E) uberlappen sich nicht ¨

f

¯ v_k

¯ v_l

e x

|¯v_k − x| +d(v_k, s) = |v¯_l − x| + d(v_l, s) Hyperbel

(62)

Intervalle I (v, E) uberlappen sich nicht ¨

f

¯ v_k

¯ v_l

e x

|¯v_k − x| +d(v_k, s) = |v¯_l − x| + d(v_l, s) Hyperbel

Genau ein x!!!

(63)

e wird von Intervallen I (v, E) ¨ uberdeckt

(64)

e wird von Intervallen I (v, E) ¨ uberdeckt

Klar!

(65)

e wird von Intervallen I (v, E) ¨ uberdeckt

Klar! Jeder Punkt x ∈ e wird von einem K¨urzesten Weg besucht!

(66)

e wird von Intervallen I (v, E) ¨ uberdeckt

Insgesamt:

(67)

e wird von Intervallen I (v, E) ¨ uberdeckt

Insgesamt: Lem. 1.43:

(68)

e wird von Intervallen I (v, E) ¨ uberdeckt

Insgesamt: Lem. 1.43:

(i) Jede solche Menge I(v, E) ist Intervall auf e (evtl. leer).

(ii) Zwei verschiedene Intervalle k¨onnen sich nicht ¨uberlappen.

(iii) e wird von Intervallen I(v, E) ganz ¨uberdeckt.

(69)

Alle I (v, E) berechnen!

(70)

Alle I (v, E) berechnen!

• Wie viele?

(71)

Alle I (v, E) berechnen!

• Wie viele?

• Was machen wir mit dem Inneren der Dreiecke?

• Lem. 1.44: Kante e, O(n) Intervalle I(v, )

(72)

Alle I (v, E) berechnen!

• Wie viele?

• Was machen wir mit dem Inneren der Dreiecke?

• Lem. 1.44: Kante e, O(n) Intervalle I(v, )

• Z¨ahlargument: Klassisch!!!

(73)

Lem. 1.44: O(n) Intervalle I (v, E)

(74)

Lem. 1.44: O(n) Intervalle I (v, E)

Benachbarte Intervalle trennen sich!!

π_j−1 f

Ij Ij+1 e

g

w πj

π_j+1

(i) (ii)

f Ij+1

Ij

g

w π_j+1

πj+2

d d

Ij−1

πj

• Kante d kann max zweimal als Trenner vorkommen!!

(75)

Lem. 1.44: O(n) Intervalle I (v, E)

Benachbarte Intervalle trennen sich!!

π_j−1 f

Ij Ij+1 e

g

w πj

π_j+1

(i) (ii)

f Ij+1

Ij

g

w π_j+1

πj+2

d d

Ij−1

πj

• Kante d kann max zweimal als Trenner vorkommen!!

• Wegen Schnitteigenschaft!! Ausklappen ohne ¨Uberlappungen!

(76)

Das Innere der Dreiecke f¨ ullen

(77)

Das Innere der Dreiecke f¨ ullen

Annahme: Intervalle I(v, E) berechnet!

(78)

Das Innere der Dreiecke f¨ ullen

Annahme: Intervalle I(v, E) berechnet! Situation f¨ur jedes Dreieck!

f

(79)

Das Innere der Dreiecke f¨ ullen

Mehrere Kantenfolgen!!

v5

v4

E1

E2

v6

v1 v2,2

v2,1

v3

f

(80)

Das Innere der Dreiecke f¨ ullen

s

v5

v4

E1

E2

v6

v1 v2,2

v2,1

v3

f

(81)

Das Innere der Dreiecke f¨ ullen

s

v5

v4

E1

E2

v6

v1 v2,2

v2,1

v3

f

(82)

Das Innere der Dreiecke f¨ ullen

s

v5

v4

E1

E2

v6

v1 v2,2

v2,1

v3

f

|x −v_2,2¯ |+ d(s, v_2,2) = |x −v¯₅|+ d(s, v₅)

x

(83)

Aufteilen der Dreiecke!

(84)

Aufteilen der Dreiecke!

¯ v₄

¯ v_2,2

¯ v5

¯ v6

¯ v₁

¯ v2,1

¯ v₃

f

x

|x − v_2,2¯ | + d(s, v_2,2) = |x − v¯₅| + d(s, v₅)

• Gewichte: d(s, v_i),

(85)

Aufteilen der Dreiecke!

¯ v₄

¯ v_2,2

¯ v5

¯ v6

¯ v₁

¯ v2,1

¯ v₃

f

x

|x − v_2,2¯ | + d(s, v_2,2) = |x − v¯₅| + d(s, v₅)

• Gewichte: d(s, v_i), Regionen bez¨uglich Orte v¯_i

(86)

Aufteilen der Dreiecke!

¯ v₄

¯ v_2,2

¯ v5

¯ v6

¯ v₁

¯ v2,1

¯ v₃

f

x

|x − v_2,2¯ | + d(s, v_2,2) = |x − v¯₅| + d(s, v₅)

• Voronoi Diagramm mit additiven Gewichten d(s, v_i) voroAdd.html

(87)

Aufteilen der Dreiecke!

¯ v₄

¯ v_2,2

¯ v5

¯ v6

¯ v₁

¯ v2,1

¯ v₃

f

x

|x − v_2,2¯ | + d(s, v_2,2) = |x − v¯₅| + d(s, v₅)

• Voronoi Diagramm mit additiven Gewichten d(s, v_i) voroAdd.html

• Lokalisationsm¨oglichkeit! (Separators/Seidel)

(88)

Alg. 1.13

(89)

Alg. 1.13

• Input: Triang. Polyder P , n Ecken, s

(90)

Alg. 1.13

• Output: K¨urzester Weg f¨ur beliebigen Anfragepunkt t ∈ f

(91)

Alg. 1.13

• Preprocessing:

(92)

Alg. 1.13

• Preprocessing:

– Berechne Intervalle I(v, E),

(93)

Alg. 1.13

• Preprocessing:

– Berechne Intervalle I(v, E), O(n² log n) – F¨ur alle f add. gew. VD,

(94)

Alg. 1.13

• Preprocessing:

– Berechne Intervalle I(v, E), O(n² log n) – F¨ur alle f add. gew. VD, O(n² log n)

(95)

Alg. 1.13

• Preprocessing:

– Lokalisationstechnik!(Separators/Seidel),

(96)

Alg. 1.13

• Preprocessing:

– Lokalisationstechnik!(Separators/Seidel), O(n²)

(97)

Alg. 1.13

• Preprocessing:

• Query:

(98)

Alg. 1.13

• Preprocessing:

• Query:

– Voronoi Region von t in V D(f)

(99)

Alg. 1.13

• Preprocessing:

• Query:

– Voronoi Region von t in V D(f) O(log n)

– Kürzesten Weg aus I(v, E): Über E und in v abgesp. Kürz.

Weg zu s, k Segmente,

(100)

Alg. 1.13

• Preprocessing:

• Query:

Weg zu s, k Segmente, O(k)

(101)

Alg. 1.13

• Preprocessing:

• Query:

Weg zu s, k Segmente, O(k) – Nur L¨ange,

(102)

Alg. 1.13

• Preprocessing:

• Query:

Weg zu s, k Segmente, O(k) – Nur L¨ange, O(1)

(103)

Ergebnis: Theorem 1.45

(104)

Ergebnis: Theorem 1.45

Sei s auf P fest, gegeben b auf P. Die Entfernung bzw. die K¨urzeste von s nach b auf P l¨aßt sich nach Vorbereitungszeit O(n² log n) mit Platz O(n²) in Zeit O(log n) bzw. O(log n + k) berechnen.

(105)

Ergebnis: Theorem 1.45

Sei s auf P fest, gegeben b auf P. Die Entfernung bzw. die K¨urzeste von s nach b auf P l¨aßt sich nach Vorbereitungszeit O(n² log n) mit Platz O(n²) in Zeit O(log n) bzw. O(log n + k) berechnen.

(Mount,Mitchell,Papdimitriou, 1986)

(106)

Berechnung aller I (v, E)

(107)

Berechnung aller I (v, E)

Continous Dijkstra: Sukzessive (Teil)Intervalle festlegen!

(108)

Berechnung aller I (v, E)

Garantiepunkt s_i auf dem Intervall, n¨achster Punkt zu s.

(109)

Berechnung aller I (v, E)

Garantiepunkt s_i auf dem Intervall, n¨achster Punkt zu s. K¨urzeste Wege zu Knoten merken!

s

(110)

Berechnung aller I (v, E)

Garantiepunkt s_i auf dem Intervall, n¨achster Punkt zu s. K¨urzeste Wege zu Knoten merken! Listen von Intervallen aufbauen!

s

(111)

Berechnung aller I (v, E)

s

(112)

Berechnung aller I (v, E)

s s₃

s₁

s₂

(113)

Berechnung aller I (v, E)

s s₃

s₁

s₂

(114)

Berechnung aller I (v, E)

s s₃

s₁

s₂

(115)

Berechnung aller I (v, E)

s s₃

s₁

s₂

(116)

Berechnung aller I (v, E)

s s₃

s₁

s₂

(117)

Berechnung aller I (v, E)

s s₃

s₁

s₂

(118)

Berechnung aller I (v, E)

s s₃

s₁

s₂

(119)

Berechnung aller I (v, E)

s s₃

s₁

s₂ s₄

s₅

(120)

Berechnung aller I (v, E)

s s₃

s₁

s₂ s₄

s₅

(121)

Berechnung aller I (v, E)

s s₃

s₁

s₂ s₄

s₅

(122)

Berechnung aller I (v, E)

s s₃

s₁

s₂ s₄

s₅

(123)

Berechnung aller I (v, E)

s s₃

s₁

s₂ s₄

s₅

(124)

Berechnung aller I (v, E)

s s₃

s₁

s₂ s₄

s₅

(125)

Berechnung aller I (v, E)

s s₃

s₁

s₂ s₄

s₅

s₆

(126)

Berechnung aller I (v, E)

s s₃

s₁

s₂ s₄

s₅

s₆

(127)

Berechnung aller I (v, E)

s s₃

s₁

s₂ s₄

s₅

s₆

(128)

Berechnung aller I (v, E)

s s₃

s₁

s₂ s₄

s₅

s₆ v

(129)

Berechnung aller I (v, E)

s s₃

s₁

s₂ s₄

s₅

s₆ v

(130)

Berechnung aller I (v, E)

s s₃

s₁

s₂ s₄

s₅

s₆ v

s₇

(131)

Berechnung aller I (v, E)

s s₃

s₁

s₂ s₄

s₅

s₆ v

s₇

(132)

Berechnung aller I (v, E)

s s₃

s₁

s₂ s₄

s₅

s₆ v

s₇

(133)

Alg. 1.12 Continuous Dijkstra

(134)

Alg. 1.12 Continuous Dijkstra

• DS:

(135)

Alg. 1.12 Continuous Dijkstra

• DS:

– Priority Queue W: Intervalle nach s_i-Abst¨ande.

– Intervalllisten auf den Kanten in balancierten Baum vorhalten.

(136)

Alg. 1.12 Continuous Dijkstra

• DS:

• Iterationsschritt:

(137)

Alg. 1.12 Continuous Dijkstra

• DS:

– W¨ahle Intervall I(v, E) mit k¨urzestem Abstand.

(138)

Alg. 1.12 Continuous Dijkstra

• DS:

d(s, v) + |¯v − s_i| ist am geringsten!

(139)

Alg. 1.12 Continuous Dijkstra

• DS:

d(s, v) + |¯v − s_i| ist am geringsten! Wird stets Intervall bleiben!

(Eventuell sp¨ater gek¨urzt).

(140)

Alg. 1.12 Continuous Dijkstra

• DS:

– F¨uhre dieses Intervall auf die Kanten des Dreiecks fort, auf dem s_i lag und das jenseits der Folge E liegt.

(141)

Alg. 1.12 Continuous Dijkstra

• DS:

– F¨uhre dieses Intervall auf die Kanten des Dreiecks fort, auf dem s_i lag und das jenseits der Folge E liegt.

– Sortiere zwei neue Intervalle in die Liste der Intervalle der

beiden Kanten ein. Bestimme jeweilige s_j und f¨uge in W ein.

(142)

Schritt des Einsortierens!

(143)

Schritt des Einsortierens!

f

s_i

W

¯ v e

s A

d(v, s) +|¯v−s_i| e’

I(v,E) e”

minimal

(144)

Schritt des Einsortierens!

f

s_i

W

¯ v e

s A

d(v, s) +|¯v−s_i| e’

I(v,E) e”

minimal I₃

I₄

I₅ I₆

I₇ I₁

I₂

(145)

Schritt des Einsortierens!

f

s_i

W

¯ v e

s A

d(v, s) +|¯v−s_i| e’

I(v,E) e”

minimal I₃

I₄

I₅ I₆

I₇ I₁

I₂

I⁰ s_j

(146)

Schritt des Einsortierens!

f

s_i

W

¯ v e

s A

d(v, s) +|¯v−s_i| e’

I(v,E) e”

minimal I₃

I₄

I₅ I₆

I₇ I₁

I₂

I⁰

s_j I⁰⁰ s_i

(147)

Schritt des Einsortierens!

f

s_i

W

¯ v e

s A

d(v, s) +|¯v−s_i| e’

I(v,E) e”

minimal I₃

I₄

I₅ I₆

I₇ I₁

I₂

I⁰

s_j I⁰⁰ s_i

(148)

Schritt des Einsortierens!

f

s_i

W

¯ v e

s A

d(v, s) +|¯v−s_i| e’

I(v,E) e”

minimal I₃

I₄

I₅ I₆

I₇ I₁

I₂

I⁰

s_j I⁰⁰ s_i

Einsortieren in Baum der Intervalle!

(149)

Schritt des Einsortierens!

f

s_i

W

¯ v e

s A

d(v, s) +|¯v−s_i| e’

I(v,E) e”

minimal I₃

I₄

I₅ I₆

I₇ I₁

I₂

I⁰

s_j I⁰⁰ s_i

Einsortieren in Baum der Intervalle! O(log n)!