hν + D → D ∗,wobei das∗ den angeregten Zustand ausdrückt,

9 Übungsblatt Photovoltaik

9.1 (Farbstosolarzelle)

1. Ein aufdenFarbstotreendesPhoton hebteinElektrondesFarbstosvom

ValenzbandindasLeitungsbanddesFarbstos.Alternativkannmanauchso

formulieren:

hν + D → D ^∗

^{,wobei das}

^∗

^{den angeregten Zustand ausdrückt,}

sichalso dasFarbstomolekül ineinem angeregten Zustand bendet.

2. Dasich dasLeitungsbandniveau desTitandioxidsunterdem desFarbstoes

bendetunddieElektronenimLeitungsbandfreibeweglich sind,werdendie

Elektronen vomFarbstoeitungsband indasLeitungsband desTitandioxids

laufen undbilden somiteinen Diusionsstrom.Die alternative Formulierung

ist hier, dass das angeregte Dye-Molekül ein Elektron an das Titandioxid

abgibtundsomitalspositivesIonimGrundzustandzurückbleibt

D ^∗ → D ⁺ + e ⁻ (

^{Ti O}

2 )

^.

3. Vom Leitungsband laufen die Elektronen in Richtung der Anode, wobei ein

zurücklaufeninRichtungKathodenichtmöglichist,dadasLeitungsbanddes

Farbstoeshöher liegtalsdasLeitungsband desTitandioxids. Es ndetalso

einTransportdes

e ⁻

^{im TiO}

2

^{Netzwerk statt.}

4. DasElektron wirdanderAnode übereinenKontaktdem Verbraucher zuge-

führt.

5. AnderPlatinkathodeerhältderElektrolytElektronen,welcheerzurspäteren

Regeneration des Farbstoes an das

I ⁻ /I 3 ⁻

^Paar weitergibt. Hier bestehen nunverschiedeneMöglichkeitendieReaktionsgleichungenzuformulieren,wir

wählen

I ₃ ⁻ +2e ⁻ → 3I ⁻

^,einederalternativenFormulierungenwäreauch

3I 2 + 2e ⁻ → 2I 3 ⁻

^{, wobei manin diesemFall auf}

I ⁻

^{verzichten könnte, wasjedoch}

nichtderAbbildung entspricht.(LeidergebendieVorlesungsunterlagennicht

äquivalente Reaktionsgleichungen an).

6. Die Regeneration des Farbstoes ndet dann mit

D ⁺ + I ⁻ → D + I

^(siehe

Vorlesungsunterlagen)statt.Esistwichtig,dasseinElektronabgegebenwird,

damitderpositivgeladeneFarbstoregeneriertwirdundindiesemdurchein

Photon erneut ein Elektron ins Leitungsband gehoben werden kann. Alter-

nativ kann man auch formulieren, dass

2I ⁻ ₃ + 2D ⁺ → 2D + 3I 2

^wobei

2

Elektronenvon

I 3 ⁻

^zuden

D ⁺

^{übertragen werden.DerFarbstoistindiesem}

Fallregeneriertund

I 2

^{kannwiederüberden}Elektronenstromzu

I ₃ ⁻

^ionisiert

werden.DieaufGrundderRegenerationinduzierteSpannung(derElektrolyt

ersetztdiefehlendenElektronendesFarbstoes sehrschnell) führtdannzum

Elektronenstrom.

a)

DasPotentialwirdimwesentlichandenGrenzächen(alsoüberall,woderHalbleitermit

dem Elektrolytenim Kontakt ist) zwischen

n

-Halbleiter und Elektrolyten abfallen, dies resultiert daraus, dass das chemische Potential des Halbleiters, welches äquivalent zur

Fermienergie ist höherliegtals dasPotential desElektrolyten, somit kommt esim Bän-

dermodell zur Ausbildung einer Bandverbiegung, welches einen Potentialwall darstellt.

(ähnlich zum

pn

^-Kontakt)

b)

Es ieÿenzweiStröme,derStrom vomLeitungsband(

n

-Halbleiter besitzt freieElektro- nenaufGrundderDonatoratome)zudenoxidiertenTeilchen(diesesindpositivgeladen,

d.h. die Elektronen ieÿen zu den positiv geladenen Teilchen) und der Strom von den

reduziertenTeilchen(diesesindnegativgeladen,ansichstellensiedasValenzbandniveau

dar,jedoch istaufGrundderthermischenFluktuationihrBandverbreitert, somitüber-

lappt es also zum Teil bis ins Leitungsband, womit die negativ geladenen reduzierten

TeilcheneinenStrom indiesesbildenkönnen)insLeitungsband. Wirvernachlässigendie

Zahl der unbesetzten Zustände im Leitungsband. Es sind die Teilströme mit Hilfe der

ElektronenkonzentrationimHalbleiter

n

^,derRatenkonstantefürdenElektronentransfer

k

^{,sowie der}Verteilungsfunktion

W (E)

^{und der}Konzentration

c

^{derjeweiligenTeilchen}

zu denieren. Betrachten wirden Strom vom Leitungsband zu den oxidierten Teilchen.

Wirerhaltenfür diesen:

I _{LB → Ox} ∝ kncW (E)

während derStromvonden reduzierten Teilchen ins Leitungsbandmit

I _Red→LB ∝ ckW (E) n

ist.DieBegründungliegtdarin,dasseinegeringereAnzahlanElektronenimLeitungs-

band im zweiten Fall dafür sorgt, dass die reduzierten Teilchen eine geringere negative

Ladung sehen und somitnoch stärkerindiesen Bereich eintreten wollen. Im ersten Fall

sorgteinehohe AnzahlvonTeilchen im

n

^{-Bereichdafür,dassauchviele übertretenkön-}

nen in den oxidierten Teilchenbereich. Die Ratenkonstante stellt einen Faktor dar und

istdaherinbeidenFällenimZähler.DieKonzentrationderoxidiertenTeilchenstelltdie

Anzahl derfreien Zuständebzw. rekombinationsfähigen Zustände dar, dievon den Lei-

tungsbandelektronen gesehen werdenund geht daherproportional zumStrom ein, auch

fürden Stromderreduzierten Teilchen indasLeitungsbandist dieKonzentrationdieser

proportional zum Strom, da die gröÿere Anzahl der Teilchen zu einem gröÿeren Strom

führen wird. Die Verteilungsfunktion ist abhängig von der Energie und geht in beiden

Fällen proportional ein, dies kann man sich auch an Hand dergraphischen Darstellung

überlegen,daimzweitenFalldieTeilchenzahl diegenügendEnergiebesitztdurch

W (E)

tungsbandniveau liegen, da auf Grund der thermischen Fluktuationen die Bänder der

oxidierten bzw. reduzierten Teilchen aufgespalten(kontinuumsmäÿig)/verbreiter t sind.

c)

Im Gleichgewichtsfallieÿt keineektiverStrom,esgilt gerade

I _LB→Ox = I _Red→LB

^d.h.

I _LB→Ox ∝ kncW (E) ∝ ckW (E)

n → n ² ∝ 1.

d)

DerGesamtstrom ergibtsich als:

I _ges = I _LB→Ox + I _Red→LB ∝ kcW (E)

n + 1 n

Es gilt dieNebenbedingung:

n _p (−x _p ) = n _p 0 exp

qU _ext kT

setzen wirdies indieGleichung ein, erhaltenwir:

I _ges =∝ kcW (E) n _p 0

n ² _p 0 exp

qU _ext kT

+ exp

− qU _ext kT

.

9.3 (Ambipolare Diusion)

Es gilt für dieambipolare Diusion:

D _a = (n + p)

n

D p

+ _D ^p

n

Wir wollen den Einuss desDiusionskoezienten derIonen im Elektrolytenauf die

DiusionderElektronenbetrachten.Esgilt

n = p = 2 · 10 ¹⁸ cm ^{− 3}

^{imIdealfall,dassjedes}

Photon einElektron-Loch-Paarerzeugt.Zusätzlichnden wirfürdiese Photonanregung

einen ambipolaren Diusionskoezienten von

D _a = 2 · 10 ^{− 4 cm} _s ²

^{. Für den Ionen Diu-}

sionskoezienten gilt

D _p = 10 ^{− 5 cm} _s ²

^{. Hieraus folgt für den} Diusionskoezienten der Elektronen,indem wirdie Gleichungfür die ambipolare Diusionumstellen:

D _a = D _p D _n (n + p) D _n n + D _p p D _a D _n n + D _a D _p p = D _p D _n (n + p) D n (n (D a − D p ) − D p p) = −D a D p p

D n = D _a D _p p

D _p p − n (D _a − D _p )

Inunserem Fall für

n = p

vereinfacht sich dieGleichung zu:

D _n = D _a D _p 2D _p − D _a

wirkönnen einsetzen und erhalten:

D _n = −1.11 · 10 ^{− 5} cm ² s .

DasErgebnisist negativundmacht physikalischsomitkeinen Sinn,darausfolgt,dass

D _p 6= D Ionen/Elektrolyt

^.