Physikalisches Institut Notizen 3
Universit¨at Bonn 15. Mai 2018
Theoretische Physik SS 18
Handzettel zu ¨ Ubungen der Theoretischen Physik III
Prof. Dr. Hartmut Monien, Iris Golla, Christoph Liyanage
http://www.th.physik.uni-bonn.de/people/liyanage/Theoretische_Physik_III_SS18/
Hypergeometrische Funktionen
Die hypergeometrische Funktion ist definiert als
2F1(a, b;c;z) = 1 +ab c
x
1!+a(a+ 1)b(b+ 1) c(c+ 1)
x2
2! +... (1)
= Γ(c) Γ(a)Γ(b)
∞
X
n=0
Γ(a+n)Γ(b+n) Γ(c+n)
zn
n!, (2)
wobei die Notation bedeutet, dass es zwei ”Z¨ahler-Parameter”a, bund einen ”Nenner-Parameter”
c gibt.
Die hypergeometrische Funktiony= 2F1(a, b;c;z) ist eine L¨osung der Differentialgleichung z(z−1)y00+ (c−(a+b+ 1)z)y0−aby= 0 (3) mit regul¨aren Singularit¨aten beiz= 0,1 und∞.
Sie kann f¨ur alle z mit Re(c−a)>0 als Integral dargestellt werden
2F1(a, b;c;z) =− 1 2πi
Γ(1−a)Γ(c) Γ(c−a)
I
C
(−t)a−1(1−t)c−a−1(1−tz)−bdt. (4) Der Grund, warum wir uns diese Funktionen ansehen, ist der, dass viele der Funktionen in der Quantenmechanik (konfluente) hypergeometrische Funktionen sind. Allgemein gilt dabei
pFq(a1, ..., ap;b1, ..., bq;z) =
∞
X
k=0
(a1)k...(ap)k (b1)k...(bq)k
zk
k!. (5)
Beispiele sind:
1. die Hermitepolynome (L¨osungen der Schr¨odingergleichung f¨ur den harmonischen Oszilla- tor):
Hn(x) = (2x)n2F0
−1 2n,−1
2n+ 1 2; ;− 1
x2
(6) 2. die Legendrepolynome (im Kontext zum Drehimpuls)
Pνµ(x) =
1 +x 1−x
µ/2 2F1
ν+ 1,−ν; 1−µ;1 2 −1
2x
(7)
1
3. die Laguerrepolynome (L¨osungen der Schr¨odingergleichung f¨ur Coulomb-Potentiale, im Kontext zum Wasserstoffatom)
L(α)n (x) = (α+ 1)n
n! 1F1(−n, α+ 1;x) (8)
4. die Besselfunktionen (z.B. im Kontext zum kugelf¨ormigen Kastenpotential als N¨aherung des Atomkerns)
Jν(z) =
1 2zν
Γ(ν+ 1)0F1
;ν+ 1;−1 4z2
(9)
2
