KARLSRUHER INSTITUT F ¨UR TECHNOLOGIE INSTITUT F ¨UR ANALYSIS Dr. A. M¨uller-Rettkowski WS 2011/2012 02.12.2011 7. ¨Ubungsblatt H¨ohere Mathematik III f¨ur die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen und Physik Aufgabe 1:

KARLSRUHER INSTITUT F ¨UR TECHNOLOGIE INSTITUT F ¨UR ANALYSIS

Dr. A. M¨uller-Rettkowski

WS 2011/2012 02.12.2011

7. ¨Ubungsblatt

H¨ohere Mathematik III f¨ur die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen und Physik

Aufgabe 1:

Zeigen Sie, dassH_n(x) = (−1)ⁿe^x2Dⁿ(e^−x2) (n∈N∪ {0}) ein Polynom n–ten Grades ist und die Differentialgleichung

y⁰⁰−2xy⁰+ 2ny = 0 l¨ost.

Berechnen Sie f¨ur n6=m(n, m∈N)

+∞

Z

−∞

H_n(x)H_m(x)e^−x2dx .

Aufgabe 2:

Berechnen Sie alle reellen L¨osungen:

y⁰⁰−5y⁰+ 6y = 4xe^x−sinx , y⁰⁰⁰−2y⁰⁰+y⁰ = 1 +e^xcos 2x .

Aufgabe 3:

Berechnen Sie die allgemeine L¨osung:

y⁰⁰−4y⁰+x²(y⁰−4y) = 0, 4x²y⁰⁰+ 4xy⁰−y = 0.

Aufgabe 4:

Die Differentialgleichung y⁰⁰ + 4xy⁰ + q(x)y = 0 hat zwei L¨osungen der Form y1(x) =u(x), y2(x) = xu(x) mitu(0) = 1.

Berechnen Sieu und q.

Aufgabe 5:

Eine L¨osungskurve y = u(x) der Differentialgleichung y⁰⁰−3y⁰ −4y = 0 schneidet eine L¨osungskurvey=v(x) der Differentialgleichungy⁰⁰+4y⁰−5y= 0 im Koordinatenursprung, wo beide Kurven dieselbe Steigung haben.

Berechnen Sieu und v, falls lim

x→∞

(v(x))⁴ u(x) = 5

6 gilt.