KARLSRUHER INSTITUT F ¨UR TECHNOLOGIE INSTITUT F ¨UR ANALYSIS Dr. A. M¨uller-Rettkowski WS 2011/2012 25.11.2011 6. ¨Ubungsblatt H¨ohere Mathematik III f¨ur die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen und Physik Aufgabe 1:

KARLSRUHER INSTITUT F ¨UR TECHNOLOGIE INSTITUT F ¨UR ANALYSIS

Dr. A. M¨uller-Rettkowski

WS 2011/2012 25.11.2011

6. ¨Ubungsblatt

H¨ohere Mathematik III f¨ur die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen und Physik

Aufgabe 1:

Berechnen Sie die allgemeine L¨osung.

a) y⁰⁰⁰+ 3y⁰⁰+ 3y⁰+y =xe^−x. b) y⁰⁰⁰+ 2y⁰⁰+y⁰ =x+ 2e^−x.

c) y⁰⁰⁰−6y⁰⁰+ 11y⁰−6y =f(x).

Aufgabe 2:

Es sei a >0 eine Konstante. L¨osen Sie:

y⁰⁰⁰−ay⁰⁰+a²y⁰ −a³y= 0, y(0) =y⁰(0) = 0, y⁰⁰(0) = 1.

Aufgabe 3:

Bestimmen Sie jeweils eine lineareKK–Differentialgleichung, die alle vorgegebenen Funk- tionen als L¨osungen hat:

a) u₁(x) = e^x, u₂(x) =e^−x, u₃(x) =e^2x, u₄(x) = e^−2x. b) u₁(x) = x², u₂(x) =e^x, u₃(x) =xe^x.

c) u₁(x) = cosh(x) sin(x), u₂(x) = sinh(x) cos(x), u₃(x) =x.

Aufgabe 4:

u₁(x) = x−1 ist eine L¨osung der Differentialgleichung

xy⁰⁰+ (1−x)y⁰+y= 0 (x >0).

Berechnen Sie die allgemeine L¨osung.

Aufgabe 5:

a) L¨osen Sie xu⁰ =u.

b) Mit u aus a) l¨ose manv⁰−v =u.

c) Schreiben Sie die Gleichung

xy⁰⁰−(1 +x)y⁰+y= 0 als Operatorgleichung (mit D= (·)⁰).

Faktorisieren Sie diese Gleichung und verwenden Sie a) und b) zur L¨osung.