Man beweise, daß Xn ein Martingal ist

Stochastische Prozesse WS 2003 Ubungsblatt #6¨

11.18.2003

1. Eine Markovkette {X_n, n≥ 1} hat die ¨Ubergangsmatrix P_ij =e^{−i i}_j!^j (i, j = 0,1, . . .), P00 = 1. Man beweise, daß Xn ein Martingal ist.

2. Ein Prozess ist durch

Xn+1 =

½ α+βXn mit Wahrscheinlichkeit Xn

βXn mit Wahrscheinlichkeit 1−Xn

definiert (α >0, β >0, α+β = 1,0< X0 <1). Man beweise, daß Xn ein Martingal ist.

3. Es sei Xn eine Markovkette mit Zustandsraum{0,1, . . . ,1000}. Wir nehmen auch an, daß X_n ein Martingal ist.

(a) Man beweise, daß 0 und 1000 Absorptionszust¨ande sind.

(b) Man beweise, daß

P(Wir erreichen 1000 fr¨uher als 0|X0 = 350) = 0.35.

4. Eine Markovkette {Xn, n≥1} hat die ¨Ubergangsmatrix Pij = _e(j−i)!¹ (i= 0,1, ... und j =i, i+ 1, . . .). Man beweise, daß Xn−n ein Martingal ist.

5. Ein Prozess Xn ist so definiert, daß X0 = 1 und f¨ur n ≥ 1 ist Xn gleichverteilt in (0, Xn−1). Man beweise, daß Mn = 2ⁿXn ein Martingal ist.

6. Im Roulette mit p = 1/2 spielen wir mit der Verdoppelungsstrategie, d.h. wir setzen nach einem gewonnenen Spiel immer 1 Euro, und nach einem verlorenen Spiel verdoppeln wir unseren Einsatz. Wenn unser Kapital f¨ur den Einsatz nicht reicht, stoppen wir. Unser Anfangskapital ist 10.000 Euro, im ersten Spiel setzen wir 1 Euro. Es bezeichne Xn unser Kapital nach dem n-ten Spiel. Man beweise, daßX_n ein Martingal ist.

7. Es seiX₁, X₂, . . . unabh¨angige Zufallsvariablen mit E(X_i) = 0, Var(X_i) = 1 und es sei Sn =X1+· · ·+Xn. Man beweise, daß S_n² −nein Martingal ist.