Tutorium 24.04.2020
1. Beispiel 32 a)
Man bestimme die Bogenl¨ ange des Kurvenbogens
~ x(t) =
e
tcos t e
tsin t
, 0 ≤ t ≤
π2.
Die allgemeine Formel f¨ ur die Bogenl¨ ange einer ebenen Kurve in Pa- rameterdarstellung lautet
s =
t2
R
t1
p x ˙
2+ ˙ y
2dt
Hier ist x(t) = e
tcos t , y(t) = e
tsin t und folglich
˙
x = e
tcos t − e
tsin t , y ˙ = e
tsin t + e
tcos t .
˙
x
2+ ˙ y
2= e
2t(cos
2t − 2 cos t sin t + sin
2t) + e
2t(sin
2t + 2 cos t sin t + cos
2t) = 2e
2tp x ˙
2+ ˙ y
2= √ 2e
ts =
π
R
20
√ 2e
tdt = √ 2e
t|
π 2
0
= √
2(e
π2− 1)
2. Bemerkung
Liegt eine ebene Kurve in der Form y = f (x) , x
0≤ x ≤ x
1vor, dann lautet die Formel f¨ ur die Bogenl¨ ange
s =
x1
R
x0
p 1 + y
02dx
1
3. Beispiel 33 c)
Man bestimme die Bogenl¨ ange von r = 1 − cos ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π . Hier lautet die allgemeine Formel s =
ϕ2
R
ϕ1
√ r
2+ r
02dϕ .
Mit r
0= sin ϕ erhalten wir
r
2+ r
02= 1 − 2 cos ϕ + cos
2ϕ + sin
2ϕ = 2(1 − cos ϕ)
Wir verwenden nun die Formel 1 − cos ϕ = 2 sin
2 ϕ2, folglich
√
r
2+ r
02= √ 2
q
2 sin
2 ϕ2= 2| sin
ϕ2|
F¨ ur 0 ≤ ϕ ≤ 2π ist 0 ≤
ϕ2≤ π , folglich sin
ϕ2≥ 0 . Also s =
2π
R
0
2 sin
ϕ2dϕ = −4 cos
ϕ2|
2π0= −4(−1 − 1) = 8
4. Beispiel 48 e)
Man berechne die Bogenl¨ ange der Raumkurve ~ x(t) =
1 3√
2
cos t
1 3
sin t
1 3√
2
cos t
, wobei 0 ≤ t ≤ π .
Die allgemeine Formel lautet hier s =
t2
R
t1
p x ˙
2+ ˙ y
2+ ˙ z
2dt .
˙
x = −
13√
2
sin t , y ˙ =
13cos t , z ˙ = −
13√
2
sin t
˙
x
2+ ˙ y
2+ ˙ z
2=
181sin
2t +
19cos
2t +
181sin
2t =
19Also s =
π
R
0 1
3
dt =
13t |
π0=
π35. Beispiel 51 a)
2
Man bestimme das begleitende Dreibein f¨ ur die Raumkurve
~ x(t) =
1 + sinh t 1 − cosh t
e
2t
im Punkt P (1, 0, 1) . Wir haben die Vektoren ~t =
~x˙|~x|˙
, ~b =
~x×˙ ~x¨|~x×˙ ~x|¨
, ~ n = ~b × ~t zu bestimmen (ausgewertet im Punkt P ).
Dem Punkt P entspricht offenbar der Parameterwert t = 0 .
~ ˙ x =
cosh t
− sinh t 2e
2t
, ~ x| ˙
P=
1 0 2
~ ¨ x =
sinh t
− cosh t 4e
2t
, ~ x| ¨
P=
0
−1 4
( ˙ ~ x × ~ x)| ¨
P=
1 0 2
×
0
−1 4
=
2
−4
−1
Folglich ~t =
√15
1 0 2
, ~b =
√121
2
−4
−1
und
~ n =
√1105
2
−4
−1
×
1 0 2
=
√1105
−8
−5 4
3
