1 Kreiselinstrumente Die Erde als Kreisel

(1)

Standardinstrumente eines Flugzeugs, drei davon sind Kreiselinstrumente:

- Künstlicher Horizont (Mitte oben) zeigt die Fluglage relativ zum Horizont.

- Kurskreisel (Mitte unten) zeigt den Kurs, nachdem er einmal auf die richtige Richtung eingestellt wurde (Drehknopf links).

- Wendezeiger (links unten) zeigt die Kursänderung beim Kurvenflug. Die mit R und L markierten Striche entsprechen einen Vollkreis in 2 Minuten.

Kreiselinstrumente Die Erde als Kreisel

Sonne

Stellung der Erdachse in Winterhalbjahr der Nordhalbkugel.

Größerer Abstand zur Sonne:

Zentrifugalkraft überwiegt

Kleinerer Abstand zur Sonne:

Gravitationskraft überwiegt

Die Erdachse zeigt nicht immer in Richtung des Polarsterns. Die Neigung der Erdachse relativ zur Verbindungslinie Erde-Sonne erzeugt ein Drehmoment (s. unten). Dies und kleinere Einflüsse von Mond und Planeten bewirken eine Präzessionsbewegung der rotierenden Erde. Ein Umlauf der Erdachse dauert etwa 26000 Jahre. Ferner fallen die Symmetrieachse und die Rotationsachse der Erde nicht genau zusammen, so dass die Erde auch eine Nutationsbewegung mit einer Periode von 305 Tagen ausführt.

(2)

Kreisel: Zusammenfasung

Drei Achsen:

- Figurenachse - Rotationsachse - Drehimpulsachse

Zwei klausurrelevante Fälle:

a) Kreisel ist kräftefrei, aber Achsen fallen nicht zusammen: Nutation Die Figurenachse bewegt sich auf einem Kegel um die raumfeste Drehimpulsachse.

b) Achsen fallen zusammen, Drehmoment wirkt auf den Kreisel: Präzession Die Drehimpulsachse (= Figuren- und Rotationsachse) bewegt sich senkrecht zum Drehmoment.

Die tatsächliche Präzessionsbewegung hängt von der Rotationsgeschwindigkeit ab (s. Anmerkung nächste Seite)

Die idealisierte Präzessionsbewegung verläuft senkrecht zum Drehmoment

(3)

Die Achse des Kreisels (hier ein Kreisring) hänge links an einem Fadel. Statt aufgrund des Drehmoment Abstand R x mg zu fallen, weicht der Kreisel in Richtung des Drehmomentvektors, der sich aus dem Kreuzprodukt ergibt, aus. Dies ist zwar mathematisch aufgrund der Eigenschaft des Kreuzprodukts korrekt, erklärt die Präzessionsbewegung nicht "wirklich" und kann auch nicht die volle Wahrheit sein. Wenn z.B. der Kreisel sehr langsam dreht (eine Umdrehung pro Minute), ist es nicht mehr plausibel, weshalb er nicht fällt. Hier ein alternativer Erklärungsversuch (steht nicht in den gängigen Lehrbüchern):

a) Wenn das rechte Ende der Achse losgelassen wird, beginnt der Kreisel zu fallen. Das entspricht einer Kreisbewegung um die in a) gezeigte w-Achse. Aufgrund der Rotation des Kreisels bewegt sich aber ein Teil der Kreiselmasse schneller als der Schwerpunkt, ein anderer Teil langsamer. Das Resultat sind die blau gezeichneten Kraftpfeile (hier kann man im mitbewegten System mit der Corioliskraft argumentieren, oder von außen betrachtet mit der Zentripetalkraft – denken Sie an die Übungsaufgabe mit dem

Astronauten, der in einer ringförmigen Raumstation joggt). Erst die Fallbewegung setzt also die Präzessionsbewegung in Gang, aber wenn der Kreisel sehr schnell rotiert, fällt er nur wenig, und es sieht so aus, als ob er sofort horizontal ausweicht.

b) Wenn der Kreisel präzediert, muss es ein Drehmoment geben, das ihn am Fallen hindert. Hier kann man ähnlich argumentieren wie vorhin. Diesmal ist die Drehung in der horizontalen Ebene und die in b) gezeigten Massenanteile bewegen sich schneller bzw.

a) b)

Anmerkung zur Präzessionsbewegung

(4)

7 Deformierbare Körper

Festkörper (Elastizitätstheorie) formstabil, stabile Oberfläche

Fluide (Hydrostatik, Hydrodynamik)

Flüssigkeiten: Fließen, geringe Kompressibilität, hohe Dichte, variable Oberfläche Gase: hohe Kompressibilität, geringe Dichte, keine wohldefinierte Oberfläche

7.1 Festkörper: Elastizitätstheorie

Deformation gegen den Widerstand innerer Kräfte (Spannungen) allgemein: Spannungstensor ~ Verzerrungstensor

vereinfacht: Spannung = Elastizitätsmodul ∙ Verzerrung (bei kleiner Deformation linear) Einfaches mikroskopisches Modell: Bindungskräfte zwischen Atomen wirken wie Federn

(5)

 













 



 









E

L L A

F

L E A L E F

L L F A

F

Pa

GPa mm 10

10 kN m Pa

N /

~

9 2

Dehnung

Querkontraktion

   











2 2 1

2 1 2

2 2 / /

2 2

2

2 2

2

2 2







 











 

 



 





 











































































L L L D

L D D L

L L

D L D L

D

L D D V

V

L D L D

L D L D L

D D L

D

L D L

D D L

D

L D L L D D

V

L L

D D





 (Wolfram)

GPa 400 (Eis)

GPa

10 

 E

E: Elastizitätsmodul

Poissonzahl

: Spannung

L

L

L

L

D

D+D A F

F

(6)

Allseitige Kompression

 



















2 3 1 /

1

2 1 3

/ 2

1 3



 













 



 









 

E p

V V K

E p p V

V p V E

V

Kompressibilität = 1 / Kompressionsmodul Druckänderung

Versuch zur Dehnung eines Drahts, angezeigt durch einen Zeiger (rechts), der an einer Umlenkrolle befestigt ist

Versuch zur Dehnung und Querkontraktion eines Schlauch der Länge 10 cm. Durch ein Gewicht gedehnt, verlängert sich der Schlauch um 16 cm, während der Flüssigkeitsspiegel

Deformationsarbeit (elastisch)

2 0

0 0

0

2 1 Gesetz

Hookesches











































V E d

V E W E

d V

d L A dL

F W

L

(7)

Torsion



 

 

 

















 

 

DR

L G R F r D

L G r drG

r dF

2 integriert

2

4

Drehmoment = Richtmoment ∙ Winkel

Zusammenfassung

isotroper Festkörper wird durch elastische Konstanten beschrieben.

Sind zwei dieser Konstanten bekannt, lassen sich die anderen berechnen: Kompressibilität 

Schermodul G

 r 

L dF Scherung















 

 G

L x A

F tan

G: Schubmodul (Schermodul, Torsionsmodul)

 : Schubspannung







 21

: Beweis

ohne E

G L

F A

x



(8)

Wie biegt sich ein Balken?

Fx r Ebd x

F D

r Ebd z

r dz Eb r z

D Eb

dz r b

E z z dF dD

dz r b

E z dz b dA

dF

r l z r l

E z l E l

d

d d

d

12

12 3

3 2 3 /

2 / 2 3

/

2 /

2





































 





 



Deformation der Erde

Zentrifugalkraft aufgrund der Rotation: Erde als Rotationsellipsoid - Radius in Richtung der Rotationsachse 6357 km

- Radius in der Äquatorebene 6378 km

Zentrifugalkraft aufgrund des Mondumlaufs, Gravitation des Mondes (+ Einfluss der Sonne): Gezeiten - periodische Verformung der Erdkruste ca. 0,5 m

- periodische Verformung der Meeresoberflächen typisch 1 m, regional bis zu 20 m - Stillstand der Mondrotation, Abbremsung der Erdrotation um 16 s / Jahr

(9)

7.2 Ruhende Flüssigkeiten: Hydrostatik

Atome frei und ohne Kraft verschiebbar (ideale Flüssigkeit: Schubmodul G = 0)

 keine Tangentialkräfte an Oberflächen, Oberfläche stets senkrecht zur wirkenden Kraft

 ohne Schwerkraft: Druck p = Kraft / Fläche im gesamten Flüssigkeitsvolumen gleich

 mit Schwerkraft: Druck ist in einer horizontalen Schicht gleich

 

dV p F

x dV dydz p

xdx p p

dydz p

F

xdx p p

p

A A F

p F

x



















 























grad

: rechts

: links

Fläche zu

senkrecht



Wenn die Flüssigkeit sich so verschoben hat, dass alle Kräfte ausgeglichen sind, dann ist grad p = 0 und der Druck ist überall gleich (ohne Schwerkraft).

(10)

Schweredruck = Gewicht der Wassersäule (Höhe h) über einer Einheitsfläche

h g A Adz

p g

h    

 ^ ^

0

) 0 (

Dies gilt für konstante Dichte , was bei der geringen Kompressibilität von Flüssigkeiten gut erfüllt ist (z.B. Wasser:  = 5∙10^-10 m²/N)

Kommunizierende Röhren: Der Bodendruck und damit die Steighöhe ist unabhängig von der Gestalt des Gefäßes (hydrostatisches Paradoxon)