Dr. Anen Lakhal Analysis f¨ ur

(1)

Dr. habil. Sebastian Petersen

Dr. Anen Lakhal Analysis f¨ ur

Ubungsblatt 2 ¨ Elektrotechniker/Informatiker 25.04.2016

Mechatroniker/Wirtschaftsingenieure Aufgabe 1

(a) Man zeige f¨ ur 1 ≤ k ≤ n ∈ N :

k n

k

= n

n − 1 k − 1

.

(b) Unter Verwendung von (a) zeige man f¨ ur n ∈ N :

n

X

k=0

k n

k

= n 2 ⁿ⁻¹ .

Aufgabe 2

Man gebe jeweils die ersten vier Folgenglieder an:

(a) a _n = 1

n ² + 1 , n ≥ 0 , (b) a _n = (−1) ⁿ n − 2

n , n ≥ 1 , (c) a _n+1 = 1

2 a _n + 2 n

, a ₁ = 3 , n ≥ 1 .

Aufgabe 3

Man berechne die Grenzwerte der folgenden Folgen und entscheide ¨ uber ihre Konvergenz:

(a) u _n = 4n ⁴ + n ³ + n ²

2n ² + n − 2n ² − 1, (b) v _n = sin(n)

n , (c) w _n = n + 5

√ n ² + 2 + 3n .

Aufgabe 4

Gegeben sei die Folge definiert durch v n+1 = ¹ ₂ (1 + v _n ² ), n ∈ N . (a) v ₀ = 0.

(i) Zeigen Sie, dass v n durch 1 beschr¨ ankt ist.

(ii) Untersuchen Sie die Monotonie der Folge v n . (iii) Berechnen Sie den Grenzwert von v n .

(b) v ₀ = 2. Konvergiert v _n ?

Aufgabe 5 (10 Punkte)

(1) Gegeben sei die Folge a n definiert durch a 0 = 1, a n+1 = √ a n + 2.

(a) Man zeige durch vollst¨ andige Induktion, dass a n

(2)

(i) streng monoton wachsend ist.

(ii) durch 2 beschr¨ ankt ist.

(b) Falls a _n konvergiert, berechnen Sie den Grenzwert.

(2) Man berechne die Grenzwerte der folgenden Folgen und entscheide ¨ uber ihre Konvergenz:

(a) v n = 5n 2 √

⁴

3n ⁴ + n + 7 , (b) w n = −5n + (−1) ⁿ 2n + 3 .

Abgabetermin: Bis Montag, 02.05.2016 um 10:00 Uhr in den Abgabef¨ achern vor dem Raum 2303, WA.

WICHTIG: Aufgabe 5 muss sorgf¨ altig bearbeitet und abgegeben werden. Versehen Sie Ihre Bl¨ atter vor dem Abgeben mit Namen, Matrikelnummer und ¨ Ubungsgruppe und tackern Sie diese – Verwenden Sie bitte bei der Abgabe das folgende Deckblatt. Weitere Informationen auf http://www.mathematik.uni-kassel.de/

mathfb16/index.html

(3)

Dr. habil. Sebastian Petersen

Dr. Anen Lakhal Analysis f¨ ur

SS 2016 Elektrotechniker/Informatiker 02.05.2016

Mechatroniker/Wirtschaftsingenieure

Hausaufgabe 02

Nachname:

Vorname:

Studiengang:

Matr.-Nr.:

Gruppe:

Punkte:

Dr. Anen Lakhal Analysis f¨ ur

Dr. habil. Sebastian Petersen

Dr. Anen Lakhal Analysis f¨ ur

Ubungsblatt 2 ¨ Elektrotechniker/Informatiker 25.04.2016

Mechatroniker/Wirtschaftsingenieure Aufgabe 1

(a) Man zeige f¨ ur 1 ≤ k ≤ n ∈ N :

k n

k

= n

n − 1 k − 1

.

(b) Unter Verwendung von (a) zeige man f¨ ur n ∈ N :

n

X

k=0

k n

k

= n 2 n−1 .

Aufgabe 2

Man gebe jeweils die ersten vier Folgenglieder an:

(a) a n = 1

n 2 + 1 , n ≥ 0 , (b) a n = (−1) n n − 2

n , n ≥ 1 , (c) a n+1 = 1

2

a n + 2 n

, a 1 = 3 , n ≥ 1 .

Aufgabe 3

Man berechne die Grenzwerte der folgenden Folgen und entscheide ¨ uber ihre Konvergenz:

(a) u n = 4n 4 + n 3 + n 2

2n 2 + n − 2n 2 − 1, (b) v n = sin(n)

n , (c) w n = n + 5

√ n 2 + 2 + 3n .

Aufgabe 4

Gegeben sei die Folge definiert durch v n+1 = 1 2 (1 + v n 2 ), n ∈ N . (a) v 0 = 0.

(i) Zeigen Sie, dass v n durch 1 beschr¨ ankt ist.

(ii) Untersuchen Sie die Monotonie der Folge v n . (iii) Berechnen Sie den Grenzwert von v n .

(b) v 0 = 2. Konvergiert v n ?

Aufgabe 5 (10 Punkte)

(1) Gegeben sei die Folge a n definiert durch a 0 = 1, a n+1 = √ a n + 2.

(a) Man zeige durch vollst¨ andige Induktion, dass a n

(i) streng monoton wachsend ist.

(ii) durch 2 beschr¨ ankt ist.

(b) Falls a n konvergiert, berechnen Sie den Grenzwert.

(2) Man berechne die Grenzwerte der folgenden Folgen und entscheide ¨ uber ihre Konvergenz:

(a) v n = 5n 2 √

3n 4 + n + 7 , (b) w n = −5n + (−1) n 2n + 3 .

Abgabetermin: Bis Montag, 02.05.2016 um 10:00 Uhr in den Abgabef¨ achern vor dem Raum 2303, WA.

mathfb16/index.html

Dr. habil. Sebastian Petersen

Dr. Anen Lakhal Analysis f¨ ur

SS 2016 Elektrotechniker/Informatiker 02.05.2016

Mechatroniker/Wirtschaftsingenieure

Hausaufgabe 02

Nachname:

Vorname:

Studiengang:

Matr.-Nr.:

Gruppe:

Punkte:

= n 2 ⁿ⁻¹ .

(a) a _n = 1

n ² + 1 , n ≥ 0 , (b) a _n = (−1) ⁿ n − 2

n , n ≥ 1 , (c) a _n+1 = 1

a _n + 2 n

, a ₁ = 3 , n ≥ 1 .

(a) u _n = 4n ⁴ + n ³ + n ²

2n ² + n − 2n ² − 1, (b) v _n = sin(n)

n , (c) w _n = n + 5

√ n ² + 2 + 3n .

Gegeben sei die Folge definiert durch v n+1 = ¹ ₂ (1 + v _n ² ), n ∈ N . (a) v ₀ = 0.

(b) v ₀ = 2. Konvergiert v _n ?

(b) Falls a _n konvergiert, berechnen Sie den Grenzwert.

3n ⁴ + n + 7 , (b) w n = −5n + (−1) ⁿ 2n + 3 .