Forschungsmethoden der Psychologie

Zwischen naturwissenschaftlichem Experiment und sozialwissenschaftlicher Hermeneutik Band II: Quantität und Qualität

Formelsammlung

1. Textinterpretation und Inhaltsanalyse 1.4.5 Quantitative Inhaltsanalyse

[1.4.5.1]

∑

⁻

=

= ^{m 1}

0 i ii

0 n

n

P 1 Beobachteter Anteil der konkordanten Kodierungen

[1.4.5.2]

∑

⁻

=

= ^{m 1}

0

i ii

e e

n

P 1 Zufällig erwarteter Anteil der konkordanten Kodierungen

[1.4.5.3]

n n

e_ij = n^{io oj} Erwartete Häufigkeiten

[1.4.5.4]

e e 0

P 1

P P

−

= −

κ Koeffizient κ

2. Psychometrie 2.1 Grundlagen

2.1.1 Die Anfänge der Testpsychologie

[2.1.1.1] IQ=100*IA/LA Intelligenzquotient

2.1.2 Die Fragestellungen der Testtheorie

[2.1.2.1]

∑

=

= ^k

1

i vi

vo x

x Summenscore

[2.1.2.2]

∑

• = =^k α

1

i i vi

v x

x Gewichteter Summenscore

[2.1.2.3] xv =

(

xv1,...,xvk

)

Antwortvektor

[2.1.2.4] X=

( ) ( )

xvi Antwortmatrix

[2.1.2.5]

∑

=

= ⁿ

1

v vi

oi x

x Itemrandsumme

2.1.3 Die Beurteilung von Testleistungen

[2.1.3.1] ^IQ...N

(

^100;152

)

Verteilung des Intelligenzquotienten [2.1.3.2]

σ μ

= x^vo −

z Standardtransformation

[2.1.3.3] IQ=100+15z Transformation in IQ-Punkte

2.2 Testen und Messen

2.2.1 Grundannahmen der klassischen Testtheorie

[2.2.1.1] F_ot =X_ot−Τ_ot Fehlervariable des Tests t in der Referenzpopulation

[2.2.1.2] f_vt =x_vt −τ_vt Messfehler der Vp v in Test t

( )

^{F 0}

E : 1

A _ot = 1. Axiom von Gulliksen

(

^,F

)

⁰

: 2

A ρΤ_{ot ot} = 2. Axiom von Gulliksen

(

F ,F

)

0 :

3

A ρ _{ot ot'} = 3. Axiom von Gulliksen

(

^{F ,}

)

⁰

: 4

A ρ _ot Τ_ot' = 4. Axiom von Gulliksen

[2.2.1.3] τvt =E

( )

Xvt Definition des True-Scores nach Novick

2.2.2 Reliabilität und Validität

[2.2.2.1] ρ²(X_ot,Τ_ot)=ρ²_XΤ Reliabilität

[2.2.2.2] ρ

(

Xot,Yot'

)

=ρXY Validität

[2.2.2.3] ρ

(

Xot,Yot'

) (

=ρXot,Τot

) (

ρΤot,Τot'

) (

ρYot',Τot'

)

[2.2.2.4] 2

(

ot ot'

)

X =ρX ,Y

ρ Τ Bei essentieller Parallelität

[2.2.2.5]

( ) ( ) ( )

2 ²Y

X ' ot ' ot ot ot ' ot

ot,Y X , Y ,

X =ρ Τ ρ Τ = ρ_Τ ρ_Τ

ρ

[2.2.2.6] ρ

(

Xot,Yot'

)

<ρ²X_Τ Bei Verletzung der essentiellen τ-Äquivalenz

und gleicher Messgenauigkeit

[2.2.2.7]

( )

2 ²Y

X ' ot ot,Y

X < ρ_Τ ρ_Τ

ρ Bei Verletzung der essentiellen τ-Äquivalenz

und unterschiedlicher Messgenauigkeit

[2.2.2.8]

( )

2 ²Y

X ' ot ot,Y

X ≤ ρ _Τρ _Τ

ρ Allgemein

[2.2.2.9] σ

(

^Xot^,Fot'

)

=⁰

[2.2.2.10] ρ

(

Xot,Yot'

) (

=ρXot,Τot'

) (

ρYot',Τot'

)

[2.2.2.11] ρ

(

Xot,Τot'

) (

=ρXot,Τot

) (

ρΤot,Τot'

)

[2.2.2.12] ρ_XY ≤ ρ²_XΤ Größtmögliche Validität eines Tests

[2.2.2.13]

( )

( ) ( )

( )

2

( )

ot ot

2 ot 2

ot 2

ot 2 2

X X σ Τ +σ F

Τ

= σ σ

Τ

= σ

ρ _Τ Reliabilität = systematischer Varianzanteil

[2.2.2.14]

( )

( ) ( )

ot ot ot ot

X X

, X

Τ σ σ

Τ

= σ

ρ Τ Quadratwurzel aus der Reliabilität

[2.2.2.15]

( ) ( )

ot

2 ot ot,

X Τ =σ Τ σ

[2.2.2.16] σ

( ) ( )

Fot =σXot 1−ρ²X_Τ Standardmessfehler

[2.2.2.17] ₂

X 2 2 X X

o o

1 2

Τ Τ

Τ +ρ

= ρ

ρ Spearman-Brown Formel

[2.2.2.18]

( )

( ) ( )

(

o1 o2

)

2

2 o 1 o 2

ot 2

ot 2 2

X X σ X +X

Τ + Τ

= σ σ

Τ

= σ

ρΤ Reliabilität

[2.2.2.19]

( ) ( )

2

( )

o2

(

o1 o2

)

1 o 2 2 o 1 o

2 Τ +Τ =σ Τ +σ Τ +2σΤ ,Τ

σ

[2.2.2.20]

( ) ( )

2

( )

o2

(

o1 o2

) ( ) ( )

o1 o2 1

o 2 2 o 1 o

2 X +X =σ X +σ X +2ρX ,X σX σX

σ

[2.2.2.21]

( )

2

( )

oo

2 o 1 o

2 Τ +Τ =4σ Τ

σ

[2.2.2.22]

( ) ( )

oo

(

²X

)

2 2 o 1 o 2

1 o

X 2 X

X + = σ +ρ _Τ

σ

[2.2.2.23]

( )

²X

2 2 X

X

o o

1 n 1

n

Τ Τ

Τ + − ρ

= ρ

ρ Verallgemeinerte Spearman-Brown Formel

[2.2.2.24]

( )

(

1 R

)

r r 1 n R

−

= − Für gewünschte Reliabilität erforderliche Testlänge

[2.2.2.25] 2 o

(

o1 o2

)

X ≅rX ,X

ρ Τ Reliabilität zweier (essentiell) paralleler Subtests

[2.2.2.26] ^{n( )n21 n1}

( )

1 j

n 1 j

'j oj oj'

2

X_o ^{− −} rX ,X

= =+

Τ ^≅

∏ ∏

ρ Reliabilität mehrerer (essentiell) paralleler Subtests

[2.2.2.27] ρ2Τ≥α

X Koeffizient Alpha

[2.2.2.28]

( ) ( )

( )

^⎟⎟_⎠^⎞

⎜⎜⎝

⎛

σ σ +

−σ

= α

ot 2

2 o 2 1 o 2

2 X

X 1 X

2 Koeffizient Alpha für n = 2

[2.2.2.29]

( )

( )

_⎟^⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛ σ

σ

− −

=

α

∑

= ot 2 n

1

j 2 oj

n X

X 1 1

n

n Koeffizient Alpha für n ≥ 2

[2.2.2.30]

( )

( )

_⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛ σ

−

− −

=

α

∑

= ot 2 k

1

i oi oi

k X

p 1 p 1 1

k

k Koeffizient Alpha für n = k binäre Items (KR 20)

[2.2.2.31]

( )

( )

^⎟⎟_⎠^⎞

⎜⎜⎝

⎛ σ

− −

= − α

ot 2

oo oo

k X

p 1 p 1 k 1 k

k Spezialfall für parallele Items (KR 21)

[2.2.2.32]

( )

( ) ( )

( )

ot 2

2 o 1 o ot

2 ot 2 2

X X

, 4

X σ

Τ Τ

≥ σ σ

Τ

= σ ρ _Τ

[2.2.2.33] σ

(

Xo1,Xo2

) (

=σΤo1,Τo2

)

[2.2.2.34]

( ) ( ) ( )

oj 2 oo 2 oj

2 X =σ Τ +σ F

σ Für (essentiell) τ-äquivalente Subtests

[2.2.2.35]

( )

2

( )

oo ot

2 Τ =4σ Τ

σ Für (essentiell) τ-äquivalente Subtests

[2.2.2.36]

( ) ( ) ( )

2

( )

o2 1

o 2 oo 2 ot

2 X =4σ Τ +σ F +σ F

σ Für (essentiell) τ-äquivalente Subtests

[2.2.2.37]

( )

( ) ( )

2

( )

o2 1

o 2 oo 2

oo 2 2

X 4 F F

4

σ + σ + Τ σ

Τ

= σ

ρ Τ Für (essentiell) τ-äquivalente Subtests

[2.2.2.38]

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ( )

2

( )

o2

)

oo 2 1 o 2 oo 2

oo 2 2

o 1

o ,X F F

X σ Τ +σ σ Τ +σ

Τ

= σ

ρ Für (essentiell) τ-äquivalente Subtests

[2.2.2.39]

( )

( )

⁼

ρ +

ρ

2 o 1 o

2 o 1 o

X , X 1

X , X 2

( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( )

2

( )

o2

)

oo 2 1 o 2 oo 2 oo

2

oo 2

F F

2 2

4

σ + Τ σ σ + Τ σ + Τ σ

Τ

= σ Für (essentiell) parallele Subtests

[2.2.2.40]

(

σ

( )

Τ +σ

( ) ) (

σ

( )

Τ +σ2

( )

o2

)

=

oo 2 1 o 2 oo

2 F F

2

( ) ( ) ( )

o2 2 1 o 2 oo

2 F F

2σ Τ +σ +σ

= Für (essentiell) parallele Subtests

[2.2.2.41]

(

2 n k

)

2

X ≥maxα ,α ,α

ρ _Τ Untere Schranke für die Reliabilität

2.2.3 Stochastische Testmodelle

[2.2.3.1]

( [

^xvi =¹

] [

∧ ^xwi =⁰

] )

⇒ ^v>o ^w Empirische Ordnungsrelation der Guttman-Skala [2.2.3.2]

⎩⎨

⎧

δ

≤ θ

δ

>

= θ

i v

i v

vi 0 wenn

wenn

x 1 Itemcharakteristikfunktion der Guttman-Skala

[2.2.3.3]

∑

=

=

θ ^k

1

i vi

v x Rangplatz der Vp v auf der Guttman-Skala

[2.2.3.4] X→Y:x→y=a+cx mit c>0 Positive lineare Transformation [2.2.3.5] ∀v∀i_∈I: pvi =fi

( )

θv Itemcharakteristikfunktion dichotomer Latent-Trait-Modelle [2.2.3.6] θ_v >θ_w ⇔p_vi >p_wi Empirische Ordnungsrelation dichotomer Latent-Trait-Modelle

[2.2.3.7]

( ) ( )

( ) ( )

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤ δ

− θ α

≤ δ

− θ α

≤ δ

− θ α

≥ δ

− θ α

= θ

0 für

0

1 0

für

1 für

1 f

i v i

i v i i

v i

i v i v

i Lineare Itemcharakteristik

[2.2.3.8] fi

( ) ( )

θv =f_•θv =pv_• =θv Itemcharakteristik des Binomialmodells (BM) [2.2.3.9] fi

( )

θv =Φ

(

αi

(

θv−δi

) )

^α(θ

∫

^−δ)

∞

−

−

= ^{i v i} π

2

dz 2 e

1 ₂^z Itemcharakteristik des Normal-Ogive-Modells

[2.2.3.10]

( )

^i(v_i(vⁱ⁾_i)

e 1 f_{i v} e^α_α^θ−_θ^δ_−δ

= +

θ Itemcharakteristik des Birnbaum-Modells

[2.2.3.11]

( )

^v _vⁱ _i

e 1 f_{i v} e^θ−_θ^δ_−δ

= +

θ Itemcharakteristik des Rasch-Modells (RM)

[2.2.3.12]

( ) ( )

^v _v

e 1 f e

f_{i v • v} ^θ _θ

= + θ

=

θ Darstellung des BM als Spezialfall des RM

[2.2.3.13] ^{( ) ( ) ( ) ( )} ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= − θ

→

= θ Θ

→ Θ

•

•

•

v v R

v v B v R B

p 1 ln p p

: Skalentransformation BM → RM

[2.2.3.14]

( ) _{∏ ∑ ∏}

= = = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ∈ = ∈

= ⁿ

1 v

h 1 g

k 1 i

vi

vi x v g}

prob{X g}

prob{v X

prob Grundgleichung der Latent-Class-Analyse

[2.2.3.15]

∏

=

= ^k

1 i

i

max m

h Anzahl der möglichen Antwortmuster

2.2.4 Das Konzept der lokalen stochastischen Unabhängigkeit

[2.2.4.1]

( ) ( ) ∏ ( )

=

=

= ^k

1

i vi

vk 1 v

v probx ,...,x probx x

prob Definition der lokalen Unabhängigkeit

[2.2.4.2 ]

( ) ( ) ∏ ( ( ) )

= −

=

= ^k

1

i vi v1 vi1

vk 1 v

v probx ,...,x probx x ,...,x x

prob Definition der seriellen Abhängigkeit

2.3 Klassische und stochastische Testtheorie 2.3.1 Ein allgemeines testtheoretisches Modell

[2.3.1.1]

( ) ∏ ( )

=

= ^k

1

i vi vi

vk 1

v,...,x f x x

prob Lokale Unabhängigkeit

[2.3.1.2] X_vi ≡X_•• Pure-Random-Modell

[2.3.1.3] ^fvi

( )

^x =^f••

( )

^x =prob

(

Xvi =x

)

=p_••x Wahrscheinlichkeitsdichte des PR-Modells

[2.3.1.4] X_vi ≡X_•i Identische Personen (LC1)

[2.3.1.5] ^fvi

( )

^x =^f•i

( )

^x =prob

(

Xvi =x

)

=p_•ix Wahrscheinlichkeitsdichte der LC1 [2.3.1.6] fvi

( )

x =prob

(

Xvi =xθv

)

=fi

(

x,θv

)

Wahrscheinlichkeitsdichte der Latent-Trait-Modelle [2.3.1.7]

(

⁼

)

^{= ∞}

_∫ ( ) ( )

^{θ θ θ}

∞

−

d g , x f x X

prob _{vi i} Antwortwahrscheinlichkeit einer zufällig

herausgegriffenen Vp

[2.3.1.8] X_vi ≡X_v• Identische Items (II-Modell)

[2.3.1.9] ^fvi

( )

^x =^fv•

( )

^x =prob

(

Xvi =xθv

)

=pv_•x Wahrscheinlichkeitsdichte des II-Modells [2.3.1.10] v∈g⇔θ_v =θ_g Latente Variable der Latent-Class-Modelle [2.3.1.11] fvi

( )

x =prob

(

Xvi =xθv

)

(

Xvi xv g

)

pgix

prob = ∈ =

= Klassenspezifische Kategorienwahrscheinlichkeiten

[2.3.1.12]

( ) _∑

=

=

= ^h

1

g gix g

vi x p p

X

prob Antwortwahrscheinlichkeit einer zufällig herausgegriffenen Vp

[2.3.1.13] ^pg =^prob

(

^v∈^g

)

Klassengröße

[2.3.1.14]

( ) ( )

⎩⎨

⎧ =

=

∈

=

= 0 sonst

x x für g 1

v x X prob x

f_{vi vi} ^gi Saturiertes Modell

[2.3.1.15]

( ) ∑

⁻

( )

=

= ^{m 1}

0

x vi

vi

i x f x

X

E Erwartungswert der Antwortvariablen

[2.3.1.16]

( ) ∑

⁻

( )

=^m=¹ 0

x 2 vi

2 vi

i x f x

X

E Zweites Moment der Antwortvariablen

[2.3.1.17]

( ) ( ) ( )

vi ² 2

vi vi

2 X =EX −EX

σ Varianz der Antwortvariablen

[2.3.1.18]

∑

=

= ^k

1

i vi

vt x

x Summenscore

[2.3.1.19]

( ) ∑ ∑ ( )

=

−

=

= ^k

1 i

1 m

0

x vi

vt

i xf x

X

E Erwartungswert des Summenscores

[2.3.1.20]

( ) ∑ ( )

= σ

=

σ ^k

1

i vi

2 vt

2 X X Varianz des Summenscores

[2.3.1.21]

∑

=

= ^k

1

i gi

gt x

x Spezialfall: Summenscore des saturierten Modells

2.3.2 Rechtfertigung der Scorebildung

[2.3.2.1]

( ) ∑

⁻

= ••

•

• =

=

τ ^{m 1}

0

x x

vt

i xp

k X E

k Pure-Random-Modell

[2.3.2.2]

∑ ( ) ∑ ∑

=

−

= •

= • =

=

τ ^k

1 i

1 m

0

x ix

k 1

i i

vt

i xp

X

E Identische Personen (LC1)

[2.3.2.3]

∑ ( ) ( ) ∑

⁻

= •

= • = • =

=

τ ^m1

0

x vx

v k

1

i v

vt EX kEX k xp Identische Items

[2.3.2.4] τvt =kpv_• Spezialfall für dichotome Items (Binomialmodell)

[2.3.2.5]

∑ ∑ ( )

=

−

= θ

=

τ ^k

1 i

1 m

0

x i v

vt

i xf x, Latent-Trait-Modelle

[2.3.2.6]

∑ ( )

= θ

=

τ ^k

1

i i v

vt f Spezialfall für dichotome Items

[2.3.2.7]

∑

= θ−δ

δ

− θ

= +

τ ^k

1

vt i _{v i}

i v

e 1

e Rasch-Modell

[2.3.2.8]

∑ ∑

=

−

=

= τ

=

τ ^k

1 i

1 m

0

x gix

gt vt

i xp Latent-Class-Modelle

[2.3.2.9]

∑

=

= τ

=

τ ^k

1

i gi

gt

vt p Spezialfal für dichotome Items

[2.3.2.10]

∑

=

=

= τ

=

τ ^k

1

i gi

gt gt

vt x x Saturiertes Modell

[2.3.2.11] ^pgi =^prob

(

^Xvi =^1v∈^g

)

Klassenspezifische Itemlösungswahrscheinlichkeiten [2.3.2.12] θ_g >θ_q ⇔p_gi >p_qi für i = 1,…,k Quantitativ verschiedene latente Klassen [2.3.2.13] θ_v >θ_w ⇔p_vi >p_wi für i = 1,…,k Anordnung der Vpn auf einer latenten Dimension

[2.3.2.14]

{ } { ^{( )} }

(

vo v

)

v vk 1 v vo

vk 1

v probx

x ,..., x x prob

) x ,..., x (

prob θ

= θ Suffizienz des Summenscores

[2.3.2.15] prob

{ (

xv1,...,xvk

)

θv

}

x^vo

(

v

)

^kxvo

v 1−θ ⁻

θ

= Binomialmodell

[2.3.2.16]

{ } ( )

_vo ^vo

(

v

)

^kxvo

x v k x v

vo 1

x

prob θ = θ −θ ⁻ Binomialmodell

[2.3.2.17] prob

{

(xv1,...,xvk)xvo =g

} ( )

= ^kg ⁻¹ für g = 0,…,k Binomialmodell

[2.3.2.18] ^fix

( )

θv =^prob

(

^Xvi =^x

)

Rasch-Modell

vi x

vi

1+λ

= λ mit λ_vi =ξ_vε_i

( )

i v

x i v

1+ξε ε

= ξ mit ξv =exp

( )

θv undεi=exp

( )

−δi

( )

( )

(

v i

)

i v

exp 1

x exp

δ

− θ +

δ

−

= θ mit θv =ln

( )

ξv undδi =−ln

( )

εi

[2.3.2.19] ^fix.r

( )

θv =^prob

(

^Xvi =^xx(voⁱ⁾ =^r

)

Dynamisches Testmodell

r . vi x

r . vi

1+λ

= λ mit λ_vi.r =ξ_v.rε_.ir

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

σ = + ξ

ψ

− σ

σ = + ξ

ψ + ξ

=

0 x für

1 x für

i v

r i

i v

r v

mit ξv.r =ξv+ψr undε.ir =

(

σi−ψr

)

⁻¹ ,

[2.3.2.20] pvi.r =pvi+

(

1−pvi

)

pri Dynamisches Testmodell [2.3.2.21]

i v i vi 1 v

p +ξε ε

= ξ Trait-bedingte Aufgabenlösung

[2.3.2.22] p_ri =ψ_rε_i Transfer-bedingte Aufgabenlösung [2.3.2.23] nvo =

(

nvo0,...,nvom₋1

)

Scorevektor für polytome Antwortvariablen

[2.3.2.24] f_ix

( )

θ_v =prob

(

X_vi =x

)

Polytomes Rasch-Modell

∑

⁻

= λ

= _mλ₁

0

y viy

vix mit λ_vix =ξ_vxε_ix

∑

⁻

= ξ ε ε

= _mξ₁

0

y vy iy

ix

vx mit ξvx =exp

( )

θvx undεix =exp

( )

−δix

( )

( )

∑

⁻

= θ −δ

δ

−

= _m1 θ

o

y vy iy

ix vx

exp

exp mit θvx =ln

( )

ξvx undδix =−ln

( )

εix

[2.3.2.25] θv =

(

θv0,...,θvm₋1

)

und δi =

(

δi0,...,δim₋1

)

Polytomes Rasch-Modell [2.3.2.26] ξv =

(

ξv0,...,ξvm₋1

)

und εi =

(

εi0,...,εim₋1

)

Polytomes Rasch-Modell [2.3.2.27]

∑

⁻

( )

=¹ θ =

m 0

x fix v 1 Polytomes Rasch-Modell

[2.3.2.28]

( ) ( )

( )

∑

⁻

= θ −δ

δ

−

= θ θ _m1

0

y v iy

ix v v

ix expy

x

f exp mit δi0 = 0 Ordinales Rasch-Modell

[2.3.2.30]

{ } ⁽ ₍ ⁾ ₎

ix v

ix v vi

vi 1 exp

x exp X 1 x x X

prob + θ −α

α

−

= θ

≤

≤

−

= Schwellenwahrscheinlichkeiten

[2.3.2.31]

∑

= α

=

δ ^x

1

j ij

ix Kategorienschwierigkeiten

[2.3.2.32] ^fix

( )

ξv =^prob

(

^Xvi =^x

)

Poisson-Modell

e vi

! x

x vi −λ

= λ mit λ_vi =ξ_vε_i

( )

e vi

! x

x i

vε −ξε

= ξ .

[2.3.2.33]

{ }

ix v

ix vi v

vi xx 1 X x 1

X

prob +ξα

α

= ξ

≤

≤

−

= Schwellenwahrscheinlichkeiten

[2.3.2.34] α_ix =ε_ix⁻¹ Schwellenparameter

2.3.3 Notwendige und hinreichende Bedingungen für die Suffizienz des Summenscores

[2.3.3.1]

{ ( )

=

}

=

∏

_γ^ε

_{( )}

_ε

= g k

1 i

x i vo

vk 1 v

vi

g x x ,..., x

prob für g = 0,…,k Rasch-Modell

[2.3.3.2] γ₀

( )

ε =1 Symmetrische Grundfunktionen

( )

1 k

1ε =ε +...+ε γ

( )

1 2 1 3 1 k 2 3 k1 k

2 ε =εε +εε +...+εε +ε ε +...+ε ε

γ ₋

( )

1 2 3 1 2 4 1 2 k 1 3 4 k2 k1 k

3 ε =εε ε +εε ε +...+εεε +εεε +...+ε ε ε

γ − −

……

( )

1 2 3 k

k ε =εε ε ...ε

γ

[2.3.3.2]

( )

εγ^{( )}

( )

ε

= + ε

γ

∑

+ = i

g k

1

i i

1

g g 1

1 Rekursionsformeln

( )

( )

ε =γ

( )

ε −εγ^{( )}

( )

ε γ_gⁱ_{+1 g+1 i g}ⁱ

[2.3.3.3] prob

{ (

xv1,...,xvk

)

θv

}

( ) ^∏

∏

⁼

=

ε ε ξ +

= ξ ^k

1 i

x k i

1

i v i

g

v vi

1 Rasch-Modell

[2.3.3.4] prob

(

xvo =gθv

)

( )

γ

( )

ε ε ξ +

= ξ

∏

= k g

1

i v i

g v

1 Rasch-Modell

[2.3.3.5]

{ ( ) } { ^{( )} }

(

vo v

)

v vk 1 v vo

vk 1

v probx g

x ,..., x g prob x

x ,..., x

prob = θ

= θ

=

[2.3.3.6]

{ ( )

⁼

}

⁼

^∏

_γ^{= ε}

_{( )}

_ε

g k

1 i

x i vo

vk 1 v

vi

g x x ,..., x

prob Suffizienz des Summenscores

[2.3.3.7]

1 v 1

v 1 vp

p

= −

ξ Definition von ξv

[2.3.3.8]

v 1 v v

1 p 1

f +ξ

= ξ

= Itemcharakteristik des ersten Items

[2.3.3.9]

{ ( ) } { ^{( )} }

(

^x

)

^c

prob x , x x prob

x , x prob

v vo

v 2 v 1 v vo

2 v 1

v =

θ

= θ Suffizienz des Summenscores

[2.3.3.10]

2 v

2 v 2 v

2 p 1

f +ξε

ε

= ξ

= Itemcharakteristik des zweiten Items

[2.3.3.11]

i v

i v

i 1

f +ξε ε

= ξ Itemcharakteristiken der ersten k Items

[2.3.3.12]

∑

=

= ^k

1

i vi

vo x

x Summenscore

[2.3.3.13]

∑

⁺

= = + +

=^k1

1

i vi vo vk1

*

v x x x

x Erweiteter Summenscore

[2.3.3.14] prob

{ (

xv1,...,xvk,xvk+1

)

xv*

}

⁼ Suffizienz des erweiterten Summenscores

( )

{ }

{

^x

}

^c

prob x , x ,..., x prob

v

* v

v 1 vk vk 1

v =

θ

= ⁺ θ

[2.3.3.15]

1 k v

1 k 1 v

vk 1

k p 1

f

+ + +

+ +ξ ε

ε

= ξ

= Itemcharakteristik des [k+1]-ten Items

[2.3.3.16]

{ ( )

⁼

}

⁼

^{∏ ∏}

⁼

⁽

^σ

₍

⁻_ψ^ψ_σ

⁾ ₎

^{( )}

−

=

−

, , g g G

x x ,..., x prob

k 1 i

1 i

0 r

x 1 z r i vo

vk 1 v

vi vir

Dynamisches Testmodell

[2.3.3.17]

( ) ∑ ∏∏ ( )

^{( )}

= =

−

=

ψ −

− σ

= σ ψ

g y : y

k 1 i

1 i

0 r

y 1 a r i vo

v

vi

, vir

, g G

[2.3.3.18] prob

{ (

xv1,...,xvk

)

ξv

} ( ) ( )

^{( )}

∏

−

∏ ∏

= =

−

=

−

σ + ξ

ψ

− σ ψ

+ ξ

= ^g1

0 r

k 1

i v i

1 i

0 r

x 1 z r i r

v

vi vir

Dynamisches Testmodell

[2.3.3.19] prob

(

xvo =gξv

) ( ) ( )

^{( )}

∏

−

∑ ∏ ∏

= = =

−

=

−

σ + ξ

ψ

− σ ψ

+ ξ

= ^g1

0

r y:y g

k 1

i v i

1 i

0 r

y 1 a r i r

v

vo v

vi vir

Dynamisches Testmodell

[2.3.3.20]

{ ( ) } { ^{( )} }

(

vo v

)

v vk 1 v vo

vk 1

v probx g

x ,..., x g prob x

x ,..., x

prob = ξ

= ξ

=

[2.3.3.21]

{ ( ) } ^{( )}

^{( )}

( )

^{( )}

∑ ∏ ∏

∏∏

= =

−

=

−

=

−

=

−

ψ

− σ

ψ

− σ

=

=

g y : y

k 1 i

1 i

0 r

y 1 a r i k

1 i

1 i

0 r

x 1 z r i vo

vk 1 v

vo v

vi vir

vi vir

g x x ,..., x

prob Suffizienz des Summenscores

[2.3.3.22]

( )

^kg

( ) ( )( )

^m

0

m m g, kgm 1

, , g

G ψ σ =

∑

⁻ β ψ γ σ −

= −−

[2.3.3.23]

( ) ∑ ( )

=

−

+ β ψ

ψ

= ψ +

β ^m

0

j m j j

1 g

mg 1, g, Rekursionsformel

[2.3.3.24]

0 . 1 0 .

v 1 1f

f

= −

ξ Definition von ξv

[2.3.3.25]

0 . 2

0 . 2 0 . 1 0 . 2 1

f f 1 f 1

f −

= −

σ Definition von σ2

[2.3.3.26]

f 1

v 0 v .

1 ξ +

= ξ Bedingte Itemcharakteristik, Item 1, r = 0

[2.3.3.27]

2 v

v 0 .

f2

σ + ξ

= ξ Bedingte Itemcharakteristik, Item 2, r = 0

[2.3.3.28]

{ ( ) } { ^{( )} }

{ ( )

^1,0

}

^prob

{ ( )

^0,1

}

^c

prob

0 , 1 1 prob

x 0 , 1 prob

v v

v

vo =

ξ +

ξ

= ξ

= Suffizienz des Summenscores

[2.3.3.29]

{ ( ) } { ^{( )} }

{ ( )

^1,0

}

^prob

{ ( )

^0,1

}

^c

prob

1 , 0 1 prob

x 1 , 0 prob

v v

v

vo =

ξ +

ξ

= ξ

= Suffizienz des Summenscores

[2.3.3.30]

{ ( ) }

{ ( ) } ( ⁽

1.0

)

2.0

⁾

1 . 2 0 . 1 v v

f f 1

f 1 f 1 , 0 prob

0 , 1 prob

−

= − ξ

ξ = c

[2.3.3.31]

2 v

1 v 1 .

f2

σ + ξ

ψ +

= ξ Bedingte Itemcharakteristik, Item 2, r = 1

[2.3.3.32]

i v

r v r

f.i

σ + ξ

ψ +

= ξ Bedingte Itemcharakteristiken der ersten k Items

[2.3.3.33]

1 k v

1 k 1 v

k . 1

fk

+

− −

+ ξ +σ

ψ +

= ξ Bedingte Itemcharakteristik, Item k+1, r = k-1

[2.3.3.34]

1 k v

k k v

. 1

fk

+

+ ξ +σ

ψ +

= ξ Bedingte Itemcharakteristik, Item k+1, r = k

[2.3.3.35] ^prob

{ (

^xv1^,...,xvk^,0

)

^xv* ^=k

}

⁼ Suffizienz des erweiterten Summenscores

( )

{ } ( )

(

^{x k}

) (

^{1 f}

)

^prob

(

^{x k 1}

)

^{f c}

prob

f 1 k x x ,..., x prob

1 k . 1 k v vo

k . 1 k v vo

k . 1 k v vo vk 1

v =

ξ

−

= +

− ξ

=

− ξ

=

= ∧

− + +

+

[2.3.3.36]

( )

(

^{1 f prob}

)

^probx

(

^{x k k1}

)

^c

f

v vo k

. 1 k

v vo

1 k . 1

k =

ξ

=

−

ξ

−

=

+

− +

2.4 Parameterschätzung, Modellkontrolle und Beurteilung der Testleistung der Probanden in der klassischen Testtheorie

2.4.1 Parameterschätzung

[2.4.1.1] ˆτ_vt =x_vt Schätzwert für den True-Score

[2.4.1.2] σ

( ) ( ) ( )

ˆτvt ≅σFot =σXot 1−ρ²X_Τ Fehlerstreuung der True-Score Schätzung

2.4.2 Überprüfung der Modellannahmen

[2.4.2.1] E

( ) ( )

Xot =EXot' Gilt für τ-Äquivalenz und Parallelität [2.4.2.2]

( )

2

( )

ot'

ot

2 X =σ X

σ Gilt für Parallelität und essentielle Parallelität [2.4.2.3] ρ

(

Xot,Yo

) (

=ρXot',Yo

)

Gilt für Parallelität und essentielle Parallelität [2.4.2.4] E

(

Xot−Xot'

)

=ctt' Gilt für essentielle τ-Äquivalenz [2.4.2.5] E

(

X1t −X1t'

) (

=EX2t−X2t'

)

Gilt für essentielle τ-Äquivalenz

[2.4.2.6]

( )

(

ot ot'

)

' ot ot

X X ˆ

X X nm

t σ −

= − mit df = n-1 Test für [2.4.2.1]

[2.4.2.7]

( ) ( )

( )

2

(

2t 2t'

)

' t 1 t 1 2

' t 2 t 2 ' t 1 t 1

X X ˆ X X ˆ

X X m X X m 2 t n

− σ +

− σ

−

−

= − mit df = n-2 Test für [2.4.2.5]

[2.4.2.8]

( )

(

ot ot'

)

' ot ot

D D ˆ

D D n m

t σ −

= − mit df = n-1 Test für [2.4.2.2]

[2.4.2.9]

( )

1 Y ' t tY

CV 2 2

z z 3 z n

−

−

= − Test für [2.4.2.3]

2.4.3 Beurteilung der Testleistungen

[2.4.3.1] KONF_γ

{

xvt −cσ

( )

Fot ≤τvt ≤xvt+cσ

( )

Fot

}

Konfidenzintervall für den True-Score [2.4.3.2] ^prob

{

^−c≤Z≤c

}

^=γ

[2.4.3.3]

( )

ot krit vt

F z x

σ τ

= − Test für den True-Score

[2.4.3.4]

( )

ot wt vt

F 2

x z x

σ

= − Kritische Differenz zweier Vpn

[2.4.3.5]

( ) ( )

^x

( )

^y

( )

^ny

0 y

n y

10 x Fx p 1 p

n

prob ⁻

=

−

=

=

≤

∑

Test von McNemar

2.5 Parameterschätzung und Modellkontrolle im saturierten Modell 2.5.1 Parameterschätzung

[2.5.1.1]

∏

=

= ^k

1

i i

max m

h Anzahl der möglichen Antwortmuster

[2.5.1.2]

( ) ∏ { ( ) }

=

= ⁿ

1

v prob xv1,...,xvk

X

L

∏

=

=^{hmax g}

1 g

n

pg Likelihood der Antwortmatrix

[2.5.1.3]

{ } ( ) ∑ ( )

=

=^hmax

1 g nglnpg

X L

ln Log-Likelihood der Antwortmatrix

[2.5.1.4] ^pg =^prob

(

^v∈^g

)

=prob

{ (

xv1,...,xvk

)

=

(

xg1,...,xgk

) }

Klassengrößen [2.5.1.5]

n

pˆ_g =n^g ML-Schätzer der Klassengrößen

[2.5.1.6]

( )

^pˆg ^pg

⁽

¹_n ^pg

⁾

= −

σ Fehlerstreuung des ML-Schätzers [2.5.1.5]

[2.5.1.7]

∑

= max =

h 1

g pg 1

[2.5.1.8] n(P_sat)=h_max −1 Anzahl der unabhängigen Modellparameter

2.6 Parameterschätzung und Modellkontrolle in Modellen mit personen- und/oder itemunabhängigen Antwortvariablen

2.6.1 Parameterschätzung

[2.6.1.1] m_i =m Pure-Random-Modell

[2.6.1.2] prob

(

Xvi =x

)

=p_••x Kategorienwahrscheinlichkeiten

[2.6.1.3]

( ) _∏ { ( ) }

=

= ⁿ

1

v prob xv1,...,xvk

X

L

∏

⁻

= ••

=^m1

0 x

n x

poox Likelihood der Antwortmatrix

[2.6.1.4]

⎩⎨

⎧ =

= O sonst x x wenn

n_vix 1 ^vi

[2.6.1.5]

∑ ∑

= =

= ⁿ

1 v

k 1

i vix

oox n

n

[2.6.1.6]

{ } ( ) ∑

⁻

( )

= ••

=^m1

0

x nooxlnp x

X L

ln Log-Likelihood der Antwortmatrix

[2.6.1.7]

k n

pˆ_••x = n^oox ML-Schätzer der Kategorienwahrscheinlichkeiten

[2.6.1.8]

( )

^pˆ x ^p••^x

⁽

¹_nk^p••^x

⁾

•

•

= −

σ Fehlerstreuung des ML-Schätzers [2.6.1.7]

[2.6.1.9] ^m1p 1

0 x

∑

⁻ x =

= ••

[2.6.1.10] ⁿ

( )

^PPR =^m−¹ Anzahl der unabhängigen Modellparameter [2.6.1.11] prob

(

Xvi =x

)

=p_•ix Identische Personen (LC1)

[2.6.1.12]

( ) ∏ { ( ) }

=

= ⁿ

1

v prob xv1,...,xvk

X

L

∏ ∏

=

−

= •

= ^k

1 i

1 m

0 x

n ix

i poix Likelihood der Antwortmatrix

[2.6.1.13]

∑

=

= ⁿ

1

v vix

oix n

n

[2.6.1.14]

{ } ( ) ∑ ∑ ( )

=

−

= •

= ^k

1 i

1 m

0

x oix ix

i n lnp

X L

ln Log-Likelihood der Antwortmatrix

[2.6.1.15]

n

pˆ_•ix =n^oix ML-Schätzer der Kategorienwahrscheinlichkeiten

[2.6.1.16]

( ) ^{( )}

n p 1 pˆ_•ix p^•ix − ^•ix

=

σ Fehlerstreuung des ML-Schätzers [2.6.1.15]

[2.6.1.17]

∑

⁻

=¹ • =

m 0

x ix

i p 1

[2.6.1.18]

( ) ∑ ( )

= −

= ^k

1

i i

1

LC m 1

P

n Anzahl der unabhängigen Modellparameter

[2.6.1.19] ⁿ

( ) (

^PLC1 =^km−¹

)

Spezialfall für m_i = m; i = 1,…,k [2.6.1.20] prob

(

Xvi=xθv

)

=pv_•x Identische Items (II-Modell)

[2.6.1.21] θ_vx =p_v•x Kategorienwahrscheinlichkeiten

[2.6.1.22] L

(

xv θv

)

=prob

{ (

xv1,...,xvk

)

θv

} ∏

⁻

= •

=^m1

0 x

n x v^vox

p Likelihood des Antwortvektors

[2.6.1.23]

∑

=

= ^k

1

i vix

vox n

n

[2.6.1.24]

{ ( ) } ∑

⁻

( )

= •

= θ ^m1

0

x vox vx

v

v n lnp

x L

ln Log-Likelihood des Antwortvektors

[2.6.1.25]

k

pˆ_v•_x = n^vox ML-Schätzer der Kategorienwahrscheinlichkeiten

[2.6.1.26]

( ) ^{( )}

k p 1 pˆ_v•x p^v•x − ^v•x

=

σ Fehlerstreuung des ML-Schätzers [2.6.1.25]