Analysis 1 Formelsammlung

4 ^ei

* kann Spuren von Katzen enthalten nicht für Humorallergiker geeignet alle Angaben ohne Gewehr

^*

Analysis 1

1 Allgemeines

Dreiecksungleichung |x+y| ≤ |x|+|y|

||x| − |y|| ≤ |x−y|

Cauchy-Schwarz-Ungleichung: |hx, yi| ≤ kxk · kyk Arithmetische Summenformel

Pn k=1

k= ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂

Geometrische Summenformel Pn k=0

q^k= ^1−qn_1−q⁺¹ Bernoulli-Ungleichung (1 +a)ⁿ≥1 +na

Binomialkoeffizient

_n k

=_k!(n−k)!^n!

_n 0

=_n n

= 1

Binomische Formel (a+b)ⁿ= Pⁿ

k=0 _n

k

a^n−kb^k

¨Aquivalenz von Masse und Energie E=mc² Wichtige Zahlen:√

2 = 1,41421 π=ist genau 3 e= 2,71828 π= 3,14159

Fakult¨aten n! = 1·2·3·. . .·n 0! = 1! = 1

2 Mengen

Eine Zusammenfassung wohlunterschiedener Elemente zu einer Menge explizite Angabe:A={1; 2; 3}

Angabe durch Eigenschaft:A={n∈N|0< n <4}

2.1 F¨ur alle Mengen A,B,C gilt:

1. ∅ ⊆B

2. A\(B∪C) = (A\B)∩(A\C) 3. (A∩B)∩C=A∩(B∩C)

(A∪B)∪C=A∪(B∪C) 4. A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)

A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)

Q={^p

q |p∈Z;q∈N}

Jede rationale Zahl^m_n ∈Qhat ein Dezimaldarstellung.

0,2554 =:a→ 10000a−100a= 2554−25⇒a(9900) = 2529 ⇒a=²⁵²⁹₉₉₀₀ =₁₁₀₀²⁸¹

3 Vollst¨ andige Induktion

Behauptung:f(n) =g(n)f¨urn0≤n∈N IA:n=n₀: Zeigef(n₀) =g(n₀).

IV: Annahmef(n) =g(n)gilt f¨ur ein beliebigesn∈N IS:n→n+ 1: Zeigef(n+ 1) = f(n)

=wahr

. . .=g(n+ 1)

4 Komplexe Zahlen

Eine komplexe Zahlz=a+bi, z∈C, a, b∈Rbesteht aus einem Realteil<(z) =aund einem Imagin¨arteil=(z) =b, wobeii=√

−1 die immagin¨aren Einheit ist. Es gilt: i²=−1 i⁴= 1

4.1 Kartesische Koordinaten Rechenregeln:

z₁+z₂= (a₁+a₂) + (b₁+b₂)i

z1·z2= (a1·a2−b1·b2) + (a1·b2+a2·b1)i Konjugiertes Element vonz=a+bi:

z=a−bi e^ix=e^−ix

zz=|z|²=a²+b² Inverses Element:

z⁻¹=_z¹_zz^z = _{a2 +b}^z ₂= _{a2 +b}^a ₂− ^b a2 +b2i

4.2 Polarkoordinaten

z=a+bi6= 0in Polarkoordinaten:

z=r(cos(ϕ) +isin(ϕ)) =r·e^iϕ r=|z|=p

a²+b² ϕ= arg(z) =







+ arccos_a r

, b≥0

−arccos_a r

, b <0 Multiplikation: z₁·z₂=r₁·r₂(cos(ϕ₁+ϕ₂) +isin(ϕ₁+ϕ₂)) Division: ^z_z¹

2= ^r_r¹

2(cos(ϕ1−ϕ2) +isin(ϕ1−ϕ2)) n-te Potenz: zⁿ=rⁿ·e^nϕi=rⁿ(cos(nϕ) +isin(nϕ)) n-te Wurzel: ⁿ√

z=z_k= ⁿ√ r

cos_ϕ+2kπ n

+isin_ϕ+2kπ n

k= 0,1, . . . , n−1

Logarithmus: ln(z) = ln(r) +i(ϕ+ 2kπ) (Nicht eindeutig!) Anmerkung: Addition in kartesische Koordinaten umrechnen(leichter)!

5 Funktionen

Eine Funktionfist eine Abbildung, die jedem Elementxeiner Definiti- onsmengeDgenau ein Elementyeiner WertemengeWzuordnet.

f:D→W, x7→f(x) :=y Injektiv:f(x₁) =f(x₂)⇒x₁=x₂ Surjektiv:∀y∈W∃x∈D:f(x) =y (Alle Werte ausWwerden angenommen.)

Bijektiv(Eineindeutig):fist injektiv und surjektiv⇒fumkehrbar.

Ableitung der Umkehrfunktion

fstetig, streng monoton, anx₀diff’bar undy₀=f(x₀)

⇒ f⁻¹

(y₀) = ¹

f0(x0 )= ¹ f0(f−1 (y0 ))

5.1 Symmetrie einer Funktionf

Achsensymmetrie(gerade Funktion):f(−x) =f(x) Punktsymmetrie(ungerade Funktion):f(−x) =−f(x) Regeln f¨ur gerade Funktiongund ungerade Funktionu:

g₁±g₂=g₃ u₁±u₂=u₃

g₁·g₂=g₃ u₁·u₂=g₃ u₁·g₁=u₃ 5.2 Kurvendiskussion vonf:I= [a, b]→R Kandidaten f¨ur Extrama (lokal, global)

1. Randpunkte vonI

2. Punkte in denenfnicht diffbar ist 3. Station¨are Punkte (f⁰(x) = 0) aus(a, b) Lokales Maximum

wennx0station¨arer Punkt (f⁰(x0) = 0) und

• f⁰⁰(x₀)<0oder

• f⁰(x)>0, x∈(x0−ε, x0) f⁰(x)<0, x∈(x₀, x₀+ε) Lokales Minimum

wennx0station¨arer Punkt (f⁰(x0) = 0) und

• f⁰⁰(x₀)>0oder

• f⁰(x)<0, x∈(x0−ε, x0) f⁰(x)>0, x∈(x₀, x₀+ε)

Monotonie f⁰(x)^≥

(>)0→ f(streng) Monoton steigend,x∈(a, b) f⁰(x)^≤

(<)0→ f(streng) Monoton fallend,x∈(a, b) Konvex/Konkav

f⁰⁰(x)^≥

(>)0 → f(strikt) konvex,x∈(a, b) f⁰⁰(x)^≤

(<)0 → f(strikt) konkav,x∈(a, b) f⁰⁰(x₀) = 0undf⁰⁰⁰(x₀)6= 0→x₀Wendepunkt f⁰⁰(x0) = 0und Vorzeichenwechseln anx0→x0Wendepunkt

5.3 Asymptoten vonf Horizontal:c= lim

x→±∞f(x)

Vertikal:∃Nullstelleades Nenners : lim

x→a±f(x) =±∞

PolynomasymptoteP(x):f(x) :=^A(x)_Q(x)=P(x) +^B(x)_Q(x)

→0

5.4 Wichtige S¨atze f¨ur stetige Fkt.f: [a, b]→R, f7→f(x) Zwischenwertsatz:∀y∈[f(a), f(b)]∃x∈[a, b] :f(x) =y Satz von Rolle:Fallsf(a) =f(b), dann∃x₀:f⁰(x₀) = 0 Mittelwertsatz:Fallsfdiffbar, dann∃x₀:f⁰(x₀) =^f(b)−f(a)_b−a Regel von L’Hospital:

x→alim f(x) g(x)=h

0 0 i

/h

∞

∞ i

→ lim x→a

f(x) g(x) = lim

x→a f0(x) g0(x)

5.5 PolynomeP(x)∈R[x]n P(x) =Pn

i=0a_ixⁱ=a_nxⁿ+an−1xⁿ⁻¹+. . .+a₁x+a₀ L¨osungen f¨urax²+bx+c= 0

Mitternachtsformel: Satz von Vieta:

x_1/2=^−b±

q b2−4ac

2a x₁+x₂=−^b

a x₁x₂=_a^c 5.6 Trigonometrische Funktionen

f(t) =A·cos(ωt+ϕ₀) =A·sin(ωt+^π₂+ϕ₀) sin(−x) =−sin(x) cos(−x) = cos(x) sin²x+ cos²x= 1 tanx=_cos^sinx_x e^ix= cos(x) +isin(x) e^−ix= cos(x)−isin(x) sin(x) = 1

2i

e^ix−e^−ix

cos(x) =¹₂

e^ix+e^−ix

sinh(x) =1

2(−e^−x+e^x) cosh(x) =¹₂(e^−x+e^x) Additionstheoreme

cos(x+y) = cosxcosy−sinxsiny cos

x−^π 2

= sinx sin x+^π₂

= cosx sin (x+y) = sinxcosy+ cosxsiny

sin 2x= 2 sinxcosx cos 2x= cos²x−sin²x= 2 cos²x−1

x 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 x 0 π/6 π/4 π/3 π/2 ²₃π ³₄π ⁵₆π π ³₂π 2π sin 0 ¹₂ √¹

2

√ 3

2 1

√ 3

2 √1

2 1

2 0 −1 0

cos 1

√ 3 2

√1 2

1

2 0 −¹₂ −√¹

2 −

√ 3

2 −1 0 1

tan 0

√ 3

3 1 √

3 ` −√

3 −1 −^√1₃ 0 ` 0

5.7 Potenzen/Logarithmus

ln(u^r) =rlnu

6 Folgen

Eine Folge ist eine Abbildunga:N0→R, n→a(n) =:an explizite Folge:(a_n)mita_n=a(n)

rekursive Folge:(a_n)mita₀=f₀, a_n+1=a(a_n)

6.1 Monotonie

Im Wesentlichen gibt es 3 Methoden zum Nachweis der Monotonie.

F¨ur(streng) monoton fallendgilt:

1. a_n+1−a_n^≤ (<)0 2. ^an

an+1

≥

(>)1 ∨ ^an+1 an

≤ (<)1 3. Vollst¨andige Induktion:∀n∈N:a_n+1^≤

(<)an 6.2 Konvergenz

(a_n)istKonvergentmitGrenzwert a, falls:∀ >0 ∃N ∈ N0 :

|a_n−a|< ∀n≥N

Eine Folge konvergiert gegen eine Zahla:(an)^n→∞−→ a Es gilt:

•Der Grenzwert a einer Folge(an)ist eindeutig.

•Ist(an)Konvergent, so ist(an)beschr¨ankt

•Ist(an)unbeschr¨ankt, so ist(an)divergent.

•Das Monotoniekriterium: Ist(an)beschr¨ankt und monoton, so konvergiert(a_n)

•Das Cauchy-Kriterium:Eine Folge(a_n)konvergiert gerade dann, wenn:

∀ >0∃N∈N0:|a_n−am|< ∀n, m≥N Regeln f¨ur konvergente Folgen(an)^n→∞−→ aund(bn)^n→∞−→ b:

(a_n+b_n)^n→∞−→ a+b (a_nb_n)^n→∞−→ ab (^an bn)^n→∞−→ ^a_b (λa_n)^n→∞−→ λa (√

a_n)^n→∞−→ √

a (|a_n|)^n→∞−→ |a|

Grenzwert bestimmen:

•Wurzeln: Erweitern mit binomischer Formel

•Br¨uche: Z¨ahler und Nenner durch den Koeffizient h¨ochsten Grades teilen

•Rekursive Folgen: Fixpunkte berechnen. Fixpunkte sind m¨ogliche Grenzwerte. Monotonie durch Vergleicha_n+1unda_nzeigen. Be- schr¨anktheit mit Induktion beweisen.

6.3 Wichtige Regeln

an=q^{n n→∞}−→











0 |q|<1

1 q= 1

±∞ q <−1 +∞ q >1 a_n= ¹

nk →0 ∀k≥1 an=

1 +_n^cn

→e^c an=n

cn¹ −1

= lnc

a_n= ⁿ_2n² →0 (2ⁿ≥n² ∀n≥4) n→∞lim nn¹ = lim

n→∞

n√ n= 1

6.4 Limes Inferior und Superior

Der Limes superior einer Folge x_n ⊂ R ist der gr¨oßte Grenzwert konvergenter Teilfolgenx_nkder Folgex_n

Der Limes inferior einer Folgexn ⊂ R der kleinste Grenzwert kon- vergenter Teilfolgenx_nkder Folgex_n

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7 Reihen

∞ X n=1 1 n=∞ Harmonische Reihe

∞ X n=0

qⁿ= 1 1−q Geometrische Reihe

|q|<1

∞ X n=1

1 n^α =

(konvergent, α >1 divergent, α≤1 7.1 Konvergenzkriterien P∞

n=0andivergiert, fallsan6→0oder Minorante:∃P∞

n=0b_n(divergiert) ∧ a_n≥b_n ∀n≥n₀ P∞

n=0(−1)ⁿa_n konvergiert, if (a_n) monoton fallende Nullfolge (Leibnitz)

oder Majorante:∃P∞

n=0b_n=b ∧ a_n≤b_n ∀n≥n₀ Absolute Konvergenz(P∞

n=0|a_n|=akonvergiert), falls:

1. Majorante:∃P∞

n=0bn=b ∧ |a_n| ≤bn ∀n≥n₀ 2. Quotienten und Wurzelkriterium (BETRAG nicht vergessen!) ρ:= lim

n→∞

a_n+1 an

∨ ρ:= lim n→∞

nq

|a_n| ∀n > N

Falls







ρ <1⇒ P∞

n=0a_nkonvergiert absolut ρ >1⇒ P∞

n=0a_ndivergiert ρ= 1⇒ P∞

n=0a_nkeine Aussage m¨oglich Jede absolute konvergente Reihe (P∞

n=0|a_n|) ist konvergent (P∞

n=0an)

8 Potenzreihen

f(x) =

∞ X n=0

a_n·(x−c)ⁿ

8.1 Konvergenzradius R= lim

n→∞

an an+1

= ¹

n→∞lim n√

|an|

R= lim inf n→∞

an an+1

= ¹

lim sup n→∞

n√

|an|

f(x)







konvergiert absolut |x−c|< R divergiert |x−c|> R keine Aussage m¨oglich |x−c|=R Bei reellen Reihen gilt:

⇒xkonvergiert im offenen IntervallI= (c−R, c+R)

⇒Beix= c−Rundx=c+Rmuss die Konvergenz zus¨atzlich

¨

uberpr¨uft werden.

Substitution beif(x) =P∞

n=0an·x^λn w=x^λ→x=wλ¹ →R= (Rw)¹λ 8.2 Wichtige Potenzreihen

e^x=

∞ X n=0

xⁿ n! = lim

n→∞

1 +x

n _n

e^z=

∞ X n=0

zⁿ n!

sin(z) =

∞ X n=0

(−1)ⁿ z²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)!= e^iz−e^−iz 2i

cos(z) =

∞ X n=0

(−1)ⁿ z²ⁿ

(2n)! =e^iz+e^−iz 2

9 Ableitung und Integral

fdiffbar, fallsfstetig und lim

h→0

f(x0 +h)−f(x0 )

h =f⁰(x₀)exist.

9.1 Ableitungsregeln:

Linearit¨at:(λf+µg)⁰(x) =λf⁰(x) +µg⁰(x) ∀λ, µ∈R Produktregel:(f·g)⁰=f⁰g+f g⁰

Quotientenregel_f g 0

=^{f0g−f g0} g2 Kettenregel:(f(g(x)))⁰=f⁰(g(x))g⁰(x) Potenzreihe:f:]−R+a, a+R

| {z }

⊆D

[→R, f(x) =P∞

n=0an(x−a)ⁿ

⇒ f⁰(x) =P∞

n=0na_n(x−a)ⁿ⁻¹ Tangentengleichung:y=f(x₀) +f⁰(x₀)(x−x₀)

9.2 Newton-Verfahren:

x_n+1=xn− ^f(xn)

f0(xn)mit Startwertx₀

9.3 Integrationsmethoden:

• Anstarren + G¨ottliche Eingebung

• Partielle Integration:´

uv⁰=uv−´ u⁰v

• Substitution:´ f(g(x)

| {z } t

)g⁰(x) dx

| {z } dt

=´ f(t) dt

• Logarithmische Integration:´g0(x)

g(x)dx= ln|g(x)|

• Integration von Potenzreihen:f(x) =P∞

k=0a_k(x−a)^k Stammfunktion:F(x) =P∞

k=0 ak

k+1(x−a)^k+1

• Brechstange:t= tan(^x₂) dx= ² 1+t2dt sin(x)→ ^2t

1+t2 cos(x)→^1−t2 1+t2

9.4 Integrationsregeln

´_b

af(x)dx=F(b)−F(a)

´λf(x) +µg(x) dx=λ´

f(x) dx+µ´ g(x) dx

F(x) f(x) f⁰(x)

1

q+ 1x^q+1 x^q qx^q−1

2

√ ax³ 3

√ax

a 2√ ax

xln(ax)−x ln(ax) ¹_x

e^x e^x e^x

a^x

ln(a) a^x a^xln(a)

−cos(x) sin(x) cos(x)

sin(x) cos(x) −sin(x)

−ln|cos(x)| tan(x) 1

cos²(x)

ln|sin(x)| cot(x) −1

sin²(x) xarcsin(x) +p

1−x² arcsin(x) 1

p1−x² xarccos(x)−p

1−x² arccos(x) − 1 p1−x² xarctan(x)−1

2ln 1 +x²

arctan(x) 1

1 +x² xarccot(x) +1

2ln 1 +x²

arccot(x) − 1

1 +x² xsinh⁻¹(x)−p

x²+ 1 sinh⁻¹(x) 1 px²+ 1 xcosh⁻¹(x)−p

x²−1 cosh⁻¹(x) 1 px²−1 1

2ln(1−x²) +xtanh⁻¹(x) tanh⁻¹(x) 1 1−x²

sinh(x) cosh(x) sinh(x)

cosh(x) sinh(x) cosh(x)

9.5 Rotationsk¨orper Volumen:V =π´_b

af(x)²dx Oberfl¨ache:O= 2π´_b

af(x)p

1 +f⁰(x)²dx 9.6 Uneigentliche Integrale

b¨´ose ok

f(x)dx= lim b→b¨ose

´b ok

f(x)dx

Majoranten-Kriterium:|f(x)| ≤g(x) =_xα¹

∞´ 1

1 xαdx

( ₁

α−1, α >1

∞, α≤1

´1 0

1 xαdx

( ₁

α−1, α <1

∞, α≥1 Cauchy-Hauptwert

CHW

∞´

−∞

f(x)dx= lim b→∞

´b

−b f(x)dx

CHW

´b a

f(x)dx= lim ε→0+

c−ε´ a

f(x)dx+

´b c+ε

f(x)dx

!

9.7 Laplace-Transformation vonf: [0,∞[→R, s7→f(s) Lf(s) =F(s) =

∞´ 0

e^−stf(t) dt= lim b→∞

´b 0

e^−stf(t) dt

9.8 Integration rationale Funktionen Gegeben:´A(x)

Q(x)dx A(x), Q(x)∈R[x]

1. Falls,degA(x)≥degQ(x)⇒Polynomdivision:

A(x)

Q(x)=P(x) +^B(x)_Q(x)mitdegB(x)<degQ(x)

2. ZerlegeQ(x)in unzerlegbare Polynome 3. Partialbruchzerlegung^B(x)_Q(x)= _(x−^...

an)+. . .+^..._...

4. Integriere die Summanden mit folgenden Funktionen

mit λ = x²+px+q, β = 4q−p² undp² < 4q!

´ ₁

(x−a)mdx











ln|x−a|, m= 1

−1

(m−1)(x−a)m−1 m≥2

´ ₁

(λ)mdx











√2

βarctan^2x+p√

β , m= 1

2x+p

(m−1)(β)(λ)m−1+_(m−1)(β)^2(2m−3) ´ _dx

(λ)m−1, m≥2

´_Bx+C (λ)m dx









 B

2 ln(λ) + (C−^Bp₂ )´_dx

λ, m= 1

−B

2(m−1)(λ)m−1+ (C−^Bp 2 )´ _dx

(λ)m−1, m≥2 H¨aufige Integrale nach Partialbruchzerlegung

ˆ 1

xdx= ln|x|

ˆ 1

x²dx=−1 ˆ 1 x

a+xdx= ln|a+x|

ˆ 1

(a+x)²dx=− 1 a+x

ˆ 1

a−xdx=−ln|a−x|

ˆ 1

(a−x)²dx= 1 a−x

9.9 Paratialbruchzerlegung B(x) Q(x)= . . .

(x−x₀)+. . .+. . . . . .

Ansatz

•n-fache reelle Nullstellex₀:_x−x^A

0+ ^B

(x−x0 )2+. . .

•n-fache komplexe Nullstelle:_{x2 +px+q}^Ax+B +(x2 +px+q)2^Ax+B

Berechnung vonA, B, C, . . .

•Nullstellen inxeinsetzen (Terme fallen weg)

•Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich

10 Taylor-Entwicklung

Man approximiert einem-mal diffbare Funktionf:I= [a, b]→R inx₀∈Imit demm-ten Taylorpolynom:

Tm(x₀;x) = m X i=0

f⁽ⁱ⁾(x0) i! (x−x₀)ⁱ Taylor-Entw. von Polynomen/Potenzreihen sind die Funktionen selbst.

F¨urm→ ∞: Taylorreihe.

Konvergenzradius:R= lim n→∞

an an+1

= lim n→∞

1 n√

|an|

10.1 Das Restglied - die Taylorformel

F¨ur(m+ 1)-mal stetig diffbare Funktionen gilt∀x∈I: R_m+1(x) :=f(x)−T_m,f,x

0(x) =

=_m!¹ ´_x

x0(x−t)^mf^(m+1)(t)dt (Integraldarst.)

=^f(m_(m+1)!^{+1) (ξ)}(x−x₀)^m+1 ξ∈[x, x₀](Lagrange) Fehlerabsch¨atzung:W¨ahleξundxso, dassR_m+1(x)maximal wird.

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11 Landau-Notation

•f(x) =o(g(x))f¨urx→a⇔ lim x→a

f(x) g(x) = 0

•f(x) = O(g(x))f¨urx → a ⇔ |f(x)| ≤ C|g(x)|f¨ur x∈(a−, a+)u.C >0

oder0≤lim sup x→a

f(x) g(x) <∞ BeiTaylor-Entwicklung:

•R_m+1,f,x0(h) =f(x₀+h)−T_m,f,x0(h) =o(h^m) f muss m-mal differenzierbar sein

•R_m+1,f,x

0(h) =f(x₀+h)−T_m,f,x

0(h) =O(h^m+1) f muss(m+ 1)-mal differenzierbar sein

11.1 Rechenregeln

•f=O(f)

•f=o(g) ⇒ f=O(g)

•f1=o(g)u.f2=o(g) ⇒ f1+f2=o(g)

•f₁=O(g)u.f₂=O(g) ⇒ f₁+f₂=O(g)

•f₁=O(g)u.f₂=O(g) ⇒ f₁·f₂=O(g₁·g₂)

•f₁=O(g)u.f₂=o(g) ⇒ f₁·f₂=o(g₁·g₂) 11.2 Elementarfunktionen

•Exponentialfunktion e^x= P^m

k=0 xk

k! +O(x^m+1)

•Trigonometrische Funktionen sinx= P^m

k=0

(−1)^{k x}_(2k+1)!^2k+1 +O(x^2m+3) cosx= P^m

k=0

(−1)^{k x}_(2k)!^2k +O(x^2m+2)

•Logarithmusfunktion ln (1 +x) = ^mP

k=1 (−1)k+1

k x^k+O(x^m+1)

12 Kurven

Eine Kurve ist ein eindimensionales Objekt.

~γ: [a, b]→Rⁿ, t7→







 γ1(t)

.. . γ_n(t)









(Funktionenvektor)

• C⁰-Kurve: Positionsstetigkeit (geschlossene Kurve)

• C¹-Kurve: Tangentialstetigkeit (stetig diffbar)

• C²-Kurve: Kr¨ummungsstetigkeit (2 mal stetig diffbar)

•regul¨ar, falls∀t∈[a, b] : ˙γ(t)6=~0(Keine Knicke) Besondere Punkte von Kurven:

•Singul¨ar, fallsγ(t) =˙ ~0(Knick)

•Doppelpunkt, falls∃t₁, t₂:t₁6=t₂ ∧ γ(t₁) =γ(t₂)

•Horizontaler Tangentenpunkt, fallsγ˙₁(t)6= 0 ∧ γ˙₂(t) = 0

•Vertikaler Tangentenpunkt, fallsγ˙₁(t) = 0∧ γ˙₂(t)6= 0 Bogenl¨angeeiner Kurve:L(γ) =´b

akγ(t)k˙ dt Umparametrisierungγnach Bogenl¨ange (˜γ):

•Bogenl¨angenfunktion:s(t) =´^t a

k˙γ(τ)kdτ s: [a, b]→[0, L(γ)], t7→s(t)

•˜γ(t) =γ s⁻¹(t)

˜˙ γ(t)

= 1∀t Tangenteneineitsvektor anγ(t) :T(t) =_k˙^γ(t)_γ(t)k^˙ Kr¨ummung vonγ:κ(t) =

d2γ ds2

= T(t)˙

s0(t)

VereinfachungimR² γ: [a, b]→R², t7→ x(t), y(t) L(γ) =

ˆ_b a

q

˙

x²+ ˙y²dt κ(t) =˜ x¨˙y−¨xy˙ ( ˙x²+ ˙y²)³2 Wennγnach der Bogenl¨ange umparametrisiert, gilt

˜

κ(t) = ˙x¨y−x¨y˙

13 Skalarfelder

Ein Skalarfeld ordnet jedem Vektor eines Vektorraums einen Wert zu.

f :D⊆Rⁿ→R,(x₁, . . . , xn) 7→f(x₁, . . . , xn)Teilmengen vonRⁿ:D= [a1, b1]×...×[an, bn]

Offene Kugelmenge vom Radiusr:B_r(x₀) Topologische Begriffef¨urD⊆Rⁿ

• Das KomplementD^CvonD:D^C:=Rⁿ\D

• innerer Punktx₀∈Rⁿdes InnerenD^◦vonD, falls

∃ε >0 :B_ε(x₀) = x∈Rⁿ

kx−x₀k< ε

• Die MengeDheißt offen, fallsD=

◦ D

• Randpunktx₀∈Rⁿdes Rands∂DvonD, falls∀ε >0 : Bε(x₀)∩D6=∅ ∧ Bε(x₀)∩D^C6=∅ ⇒ ∂D=∂D^C

• AbschlußDvonD:D=D∪∂D

• Die MengeDist abgeschlossen, falls∂D⊆D

• beschr¨ankt, falls∃µ∈R∀x∈D:kxk< µ

• kompakt, falls D abgeschlossen und beschr¨ankt ist.

Es gilt: IstD⊆Rⁿoffen, so istD^Cabgeschlossen.

Rund∅sind offen und abgeschlossen.

Revision History

• v1.0 (06.02.2015): Erstellung

• v1.1 (23.07.2017): Diverse Fehler korrigiert (u.a. 145, 144, 143, 138, 152)

• v1.2 (12.01.2018): Kleine Korrektur 9.8 Integration rationale Funk- tionen, H¨aufige Integrale nach Partialbruchzerlegung

Homepage: www.latex4ei.de - Fehler bitte sofort melden. Analysis 1von Lukas Kompatscher (lukas.kompatscher@tum.de) Stand: 31. Januar 2019 3