Kombinationen und Permutationen

(1)

10 Kombinationen und Permutationen

In den nächsten beiden Kapiteln wird die Abzählungstheorie der klassischen Abbildungstypen mit Nebenbedingungen entwickelt. Sie beschäftigt sich kon- kret mit der Frage, auf wie viele Arten es möglich ist,N Kugeln aufRFächer so zu verteilen, dass in jedes Fach höchstens eine Kugel, mindestens eine Kugel oder genau eine Kugel kommt oder aber beliebig viele Kugeln kommen. Dabei wird unterschieden, ob die Kugeln oder Fächer unterscheidbar (gefärbt) oder ununterscheidbar (ungefärbt) sind. Diese Fragestellung wird im Folgenden auf ein einheitliches Grundmuster zurückgeführt, das auf Wörtern basiert.

10.1 Kombinationen

k-Kombinationen und Mengen

Seien k und nnatürliche Zahlen. Ein Wort xder Länge k über n wird eine k-Kombination von n genannt, wenn xstreng mononton ist. Ein Wort x = x1x2. . . xk heißt streng monoton, wenn x1 < x2 < . . . < xk. Die Anzahl der k-Kombinationen vonnwird mit ⁿ_k

bezeichnet, sprich “n¨uberk”, und heißt Binomialzahl vonn ¨uberk.

Beispiel 10.1.Die 2-Kombinationen von 4 lauten 12, 13, 14, 23, 24 und 34.

Jedek-Kombinationx=x1x2. . . xkvonnbeschreibt einek-Teilmengef(x) = {x1, x2, . . . , xk}vonn. Die Zuordnungf :x7→f(x) liefert eine Bijektion von der Menge aller k-Kombinationen von n auf die Menge aller k-Teilmengen vonn. Die Menge allerk-Teilmengen vonnwird mit ⁿ_k

bezeichnet. Mit dem Gleichheitsprinzip folgt

n k

=

n k

. (10.1)

(2)

Satz 10.2.F¨ur alle nat¨urlichen Zahlenk undn gilt

• ⁿ_k

= 0, falls k > n.

• ⁿ₀

= 1, ⁿ_n

= 1 und ⁿ₁

=n.

• F¨ur 1≤k≤ngilt n

k

= n−1

k−1

+ n−1

k

. (10.2)

• F¨ur 0≤k≤ngilt n

k

=n(n−1)· · ·(n−k+ 1)

k! = n!

k!(n−k)!. (10.3)

• F¨ur 0≤k≤ngilt

n k

= n

n−k

. (10.4)

Beweis. Die ersten beiden Aussagen folgen aus den Definitionen. F¨ur den Beweis der dritten Aussage kann aufgrund der zweiten Aussagen >1 voraus- gesetzt werden. SeiAdie Menge allerk-Kombinationen vonn, dienenthalten, und B die Menge der ¨ubrigen k-Kombinationen von n. Mit dem Additions- prinzip folgt ⁿ_k

=|A|+|B|. Eine k-Kombination x1x2. . . xk von n liegt in Agenau dann, wennxk=nundx1x2. . . xk−1 eine (k−1)-Kombination von n−1 ist. Also folgt|A|= ⁿ⁻¹_k−1

.Eine k-Kombinationx=x1x2. . . xk vonn geh¨ort zuB genau dann, wennxeinek-Kombination vonn−1 ist. Folglich ist|B|= ⁿ⁻¹_k

.Die vierte Aussage wird durch vollst¨andige Induktion nachn mithilfe der dritten Aussage bewiesen. Die letzte Aussage folgt direkt aus der

vierten. ⊓⊔

Satz 10.3.F¨ur jede nat¨urliche Zahlngilt Xn

k=0

n k

= 2ⁿ. (10.5)

Beweis. Es gilt Xn

k=0

n k

= Xn

k=0

| n

k

|=| [n

k=0

n k

|=|P(n)|= 2ⁿ,

dabei ergibt sich die erste Gleichung aus (10.1), die zweite aus dem Additi-

onsprinzip und die letzte aus dem Satz 3.10. ⊓⊔

Satz 10.4.F¨ur jede nat¨urliche Zahlngilt Xn

k=0

(−1)^k n

k

= 0. (10.6)

(3)

10.1 Kombinationen 99 Beweis. Die Summe auf der linken Seite hat wegen (10.2) die Gestalt 1−

n−1 0

+

n−1 1

+

n−1 1

+

n−1 2

−

n−1 2

+

n−1 3

±. . .+ (−1)ⁿ⁻¹

n−1 n−2

+ n−1

n−1

+ (−1)ⁿ. Jede Binomialzahl ⁿ⁻¹_k

, 1≤k≤n−2, kommt je einmal mit positivem und negativem Vorzeichen vor, weshalb nur folgende Teilsumme ¨ubrig bleibt

1− n−1

0

+ (−1)ⁿ⁻¹ n−1

n−1

+ (−1)ⁿ= 1−1 + (−1)ⁿ⁻¹+ (−1)ⁿ= 0.

⊓

⊔ Die Binomialzahl ⁿ_k

beschreibt die Anzahl der Möglichkeiten,kElemente aus einern-elementigen Menge auszuwählen, wobei jedes Element höchstens einmal ausgewählt wird und es nicht auf die Reihenfolge der Elemente ankommt.

Beispiel 10.5.Beim Zahlenlotto werden 6 aus 49 Zahlen gezogen. Sechs Rich- tige bilden eine 6-Kombination von 49. Die Anzahl der 6-Kombinationen von 49 ist gleich ⁴⁹₆

. Die Wahrscheinlichkeit, sechs Richtige zu erhalten, ist 1/ ⁴⁹₆

≈7.1·10⁻⁸.

k-Kombinationen und charakteristische W¨orter

Jede k-Kombination x = x1x2. . . xk von n beschreibt ein Wort χ(x) = c1c2. . . cn der L¨angenuber dem Alphabet¨ {0,1}, wobei

ci=

1 fallsiin xvorkommt,

0 sonst. (10.7)

Das Wortχ(x) besteht auskEinsen und n−kNullen und wirdcharakteris- tisches Wort oder (n, k)-Wort von xgenannt. Die Zuordnung χ: x7→ χ(x) liefert eine Bijektion von der Menge aller k-Kombinationen von n auf die Menge aller (n, k)-W¨orter. Diese Zuordnung verdeutlicht folgende Tabelle

k k-Kombinationen von 4 (4, k)-W¨orter

0 ǫ 0000

1 1, 2, 3, 4 1000, 0100, 0010, 0001 2 12, 13, 14, 1100, 1010, 1001,

23, 24, 34 0110, 0101, 0011 3 123, 124, 1110, 1101,

134, 234 1011, 0111

4 1234 1111

(4)

10.2 Repetitionen

Repetitionen sind Kombinationen mit Wiederholung. Ein Wortx1x2. . . xnder L¨angen¨uberN₀ heißt einek-Repetitionvonn, wennx1+x2+. . .+xn=k.

Beispiel 10.6. Die 2-Repetitionen von 4 lauten 2000, 1100, 1010, 1001, 0200, 0110, 0101, 0020, 0011 und 0002.

Jede k-Repetitionx1x2. . . xn von n ist eine endliche Folge f : n →N₀ mit f(i) = xi f¨ur 1 ≤ i ≤ n. Folgen mit nat¨urlichzahligem Wertebereich sind Multimengen.

Beispiel 10.7.Die 2-Repetitionen von 4 aus Beispiel 10.6 entsprechen der Reihe nach den Multimengen {1,1}M, {1,2}M, {1,3}M, {1,4}M, {2,2}M, {2,3}M,{2,4}M,{3,3}M,{3,4}M und{4,4}M.

Satz 10.8.Die Anzahl der k-Repetitionen vonnist gleich ^n+k−_k ¹ .

Beweis. Jederk-Repetitionx1x2. . . xn vonnwird ein Wort ¨uber{0,1}zugeordnet:

x1

z }| { 1. . .1 0

x2

z }| { 1. . .1 0. . .0

xn

z }| { 1. . .1.

Dieses Wort hat x1+x2+. . .+xn = k Einsen und n−1 Nullen und ist somit ein (n+k−1, k)-Wort. Diese Zuordnung liefert eine Bijektion von der Menge aller k-Repetitionen vonnauf die Menge aller (n+k−1, k)-W¨orter.

Die Anzahl der (n+k−1, k)-W¨orter ist nach dem Gleichheitsprinzip identisch mit der Anzahl der k-Kombination von n+k−1, letztere ist ^n+k−1_k

. Also folgt mit dem Gleichheitsprinzip die Behauptung. ⊓⊔ Die folgende Tabelle zeigt vier Darstellungsformen f¨ur Repetitionen

3-Repetitionen von 2 Multimengen (4,3)-W¨orter 3-Kombinationen von 4

30 {1,1,1}M 1110 123

21 {1,1,2}M 1101 124

12 {1,2,2}M 1011 134

03 {2,2,2}M 0111 234

Die Binomialzahl ^n+k−_k ¹

beschreibt die Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus einer n-elementigen Menge auszuwählen, wobei jedes Element mehrfach ausgewählt werden darf und es nicht auf die Reihenfolge der Ele- mente ankommt.

Beispiel 10.9.Die Anzahl der Würfe mit 5 nicht unterscheidbaren Würfeln ist identisch mit der Anzahl der 5-Repetitionen von 6, nämlich ¹⁰₅

= 252.

(5)

10.3 Permutationen 101

10.3 Permutationen

Ein Wortxder Längekübernheißt einek-Permutationvonn, wennxkeinen Buchstaben mehrfach enthält. Die Anzahl der k-Permutationen von n wird mit (n)k bezeichnet, sprich “kuntern”.

Beispiel 10.10.Die 2-Permutationen von 4 lauten 12, 21, 13, 31, 14, 41, 23, 32, 24, 42, 34 und 43.

Jede k-Permutationx1x2. . . xk von n entspricht einer injektiven Abbildung f :k→nmitf(i) =xif¨ur 1≤i≤k,und umgekehrt. Also ist die Menge aller k-Permutationen vonnidentisch mit der Menge aller injektiven Abbildungen vonk nachn.

Satz 10.11.F¨ur jede nat¨urliche Zahl ngilt

(n)1=n und (n)n=n!. (10.8)

F¨ur alle nat¨urlichen Zahlen nundk mit1< k < ngilt

(n)k = (n−1)k+k·(n−1)k−1. (10.9) Beweis. Die 1-Permutationen von n sind die Ziffern 1,2, . . . , n. Für eine n- Permutationen von n gibt es n Möglichkeiten, den ersten Buchstaben zu wählen. Für den zweiten Buchstaben verbleiben n−1 Möglichkeiten. Auf diese Weise fortfahrend ergeben sich n! Möglichkeiten, die n-Permutationen vonnzu erzeugen.

SeiAdie Menge allerk-Permutationen vonn, dienenthalten, undB die Menge der übrigen k-Permutationen von n. Mit dem Additionsprinzip folgt (n)k =|A|+|B|.Jede (k−1)-Permutation y=y1y2. . . yk−1 von n−1 lässt sich zu einer k-Permutation y⁽ⁱ⁾ von n fortsetzen, indem n an der Position i eingefügt wird. Die Zuordnung (i, y) 7→ y⁽ⁱ⁾ definiert eine Bijektion des kartesischen Produkts vonkund der Menge aller (k−1)-Permutationen von n−1 auf die MengeA. Mit dem Multiplikations- und Gleichheitsprinzip folgt

|A| =k·(n−1)k−1. Die Elemente von B entsprechen den k-Permutationen vonn−1. Mit dem Gleichheitprinzip folgt|B|= (n−1)k. ⊓⊔

Durch vollst¨andige Induktion erhalten wir das folgende

Korollar 10.12.Für alle natürlichen Zahlenn undk mit1≤k≤n gilt (n)k=n·(n−1)· · ·(n−k+ 1). (10.10) Die Zahl (n)k beschreibt die Anzahl der Möglichkeiten,kElemente aus einern-elementigen Menge auszuwählen, wobei jedes Element höchstens einmal ausgewählt wird und es auf die Reihenfolge der Elemente ankommt.

Beispiel 10.13.Wie viele dreistellige Dezimalzahlen lassen sich mit den Zif- fern 2, 3, 4, 5 und 6 bilden, so dass keine Ziffer mehrfach auftritt? Diese Dezimalzahlen entsprechen den 3-Permutationen von 5. Die Antwort lautet (5)3= 60.

(6)

Korollar 10.14.Die Anzahl der Permutationen vom Gradnist gleich n!.

Beweis. Die injektiven Abbildungen f : n →n sind nach Satz 6.8 bijektiv.

Also entsprechen die n-Permutationen von ngenau den Permutationen vom

Gradn. Mit dem Satz 10.11 folgt die Behauptung. ⊓⊔

10.4 Permutationen und Zykeltypen

Jede Permutation vom Grad n ist als Produkt von disjunkten Zykeln dar- stellbar (Abs. 6.4). In diesem Abschnitt werden Permutationen vom Gradn hinsichtlich ihrer Zykelstruktur klassifiziert.

Stirling-Zahlen erster Art

Die absolute Stirling-Zahl erster Art (James Stirling, 1692-1770) beschreibt die Anzahl der Permutationen vom Grad n, die auskdisjunkten Zykeln be- stehen. Sie wird mit s0(n, k) bezeichnet. Da eine Permutation vom Grad n h¨ochstensndisjunkten Zykeln besitzt, ergibt sichs0(n, k) = 0, fallsk > n.

s0(n,1) = (n−1)!, s0(n, n−1) = n

2

und s0(n, n) = 1. (10.11) F¨ur alle nat¨urlichen Zahlen nundk mit1< k < ngilt

s0(n, k) =s0(n−1, k−1) + (n−1)·s0(n−1, k). (10.12) Beweis. In einem Zykel der L¨angenkann die Eins als Anfangselement festge- halten und die restlichenn−1 Zahlen beliebig permutiert werden. Die letzten n−1 Zahlen bilden eine Permutation vom Gradn−1. Mit dem Korollar 10.14 folgts0(n,1) = (n−1)!. Eine Permutation vom Gradnmit n−1 disjunkten Zykeln besteht aus einer Transposition und n−2 Fixpunkten. Die Transpo- sitionen entsprechen den 2-Kombinationen von n. Also gibt es ⁿ₂

derartige Transpositionen. Schließlich gibt es eine Permutation mit nFixpunkten, die identische Abbildung (1)(2). . .(n).

Die Menge aller Permutationen vom Gradnmitkdisjunkten Zykeln wird in zwei Teilmengen zerlegt. SeiAdie Menge aller Permutationen vom Gradn mit kdisjunkten Zykeln, dien als Fixpunkt enthalten, und seiB die Menge der ¨ubrigen Permutationen vom Grad n mit k disjunkten Zykeln. Mit dem Additionsprinzip folgts0(n, k) =|A|+|B|.

Jeder Permutation inA wird durch Fortlassen des Fixpunkts n zu einer Permutation vom Gradn−1 mitk−1 disjunkten Zykeln. Dadurch ergibt sich eine Bijektion vonAauf die Menge aller Permutationen vom Gradn−1 mit k−1 disjunkten Zykeln. Mit dem Gleichheitsprinzip folgt|A|=s0(n−1, k−1).

(7)

10.4 Permutationen und Zykeltypen 103 Jeder Permutation π = . . .(. . . , i, n, j, . . .). . . ∈ B wird ein Paar zuge- wiesen, bestehend aus dem Urbild i von n unter π und einer Permutation . . .(. . . , i, j, . . .). . . vom Grad n−1, die aus π durch Entfernen von n entsteht. Dadurch erhellt sich eine Bijektion von B auf das kartesischen Pro- dukt von n−1 und der Menge aller Permutationen vom Grad n−1 mit k disjunkten Zykeln. Mit dem Multiplikations- und Gleichheitsprinzip folgt

|B|= (n−1)·s0(n−1, k). ⊓⊔

DieStirling-Zahlen erster Art sind gegeben durch

s(n, k) = (−1)^n−ks0(n, k). (10.13) F¨ur die Stirling-Zahlen erster Art gilt

s(n, k) =

n−kX

l=0

(−1)^l

n−1−l n−k+l

2n−k n−k−l

S(n−k+l, l), (10.14) wobei die S(n, k) Stirling-Zahlen zweiter Art bezeichnen (Abs. 11.2).

Zykeltypen

Eine Permutation π vom Grad n hat den Zykeltyp 1^k¹2^k². . . n^kⁿ, wenn die Zykeldarstellung von π aus ki Zykeln der L¨ange i besteht. Der Zykeltyp ist als symbolischer Ausdruck zu verstehen. Eine Permutation vom Zykeltyp 1^k¹2^k². . . n^kⁿ hat den Grad

n= 1·k1+ 2·k2+. . .+n·kn (10.15) und die Anzahl ihrer Zykeln ist

k=k1+k2+. . .+kn. (10.16) Beispiel 10.16.Die Permutationen vom Zykeltyp 1¹2¹3⁰lauten (1)(23), (2)(13) und (3)(12).

Satz 10.17.Die Anzahl der Permutationen vom Zykeltyp 1^k¹2^k². . . n^kⁿ ist gleich

n!

k1!k2!. . . kn!1^k¹2^k². . . n^kⁿ. (10.17) Beweis. Die Permutationen vom Zykeltyp 1^k¹2^k². . . n^kⁿ resultieren durch F¨ullen des untenstehenden Ger¨usts mit den n-Permutationen vonn

k1

z }| { (·)(·). . .(·)

k2

z }| { (··)(··). . .(··)

k3

z }| { (· · ·)(· · ·). . .(· · ·). . .

Nach Korollar 10.14 ist die Anzahl der n-Permutationen von n gleich n!.

Dieselbe Permutation wird auf zwei Arten erhalten: Erstens, wenn Zykeln gleicher Länge vertauscht werden, wofür esk1!k2!. . . kn! Möglichkeiten gibt.

Zweitens, wenn die Elemente eines Zykels zyklisch verschoben werden, wof¨ur 1^k¹2^k². . . n^kⁿ M¨oglichkeiten existieren. ⊓⊔

(8)

Satz 10.18.Die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen vom Grad n ist gleich

Xn

i=0

(−1)ⁱ n

i

(n−i)!. (10.18)

Beweis. SeiAdie Menge aller Permutationen vom Gradn. SeiAi die Menge derjeniger Permutationen vom Gradn, diei∈nals Fixpunkt enthalten. Die Menge aller fixpunktfreien Permutationen vom Gradnist dann

A\( [n

i=1

Ai).

SeiI eine Teilmenge vonn. Die Menge aller Permutationen vom Gradn, die alle Elemente aus Iinvariant lassen, ist

\

j∈I

Aj.

Diese Menge entspricht der Menge aller Permutationen von n\I, die nach Satz 10.14 die Mächigkeit (n− |I|)! besitzt. Diese Zahl hängt nur von der Mächtigkeit von I ab. Deshalb die vereinfachte Siebformel 9.12 anwendbar ist, so dass für die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen von Gradngilt

|A\( [n

i=1

Ai)|=n! + Xn

i=1

(−1)ⁱ n

i

(n−i)! = Xn

i=0

(−1)ⁱ n

i

(n−i)!.

⊓

⊔

10.5 Variationen

Variationen sind Permutationen mit Wiederholung. Ein Wort der L¨ange k

¨uber nwird einek-Variation vonngenannt.

Beispiel 10.19.Die 2-Variationen von 4 lauten 11, 12, 21, 13, 31, 14, 41, 22, 23, 32, 24, 42, 33, 34, 43 und 44.

Eine k-Variationx1x2. . . xk vonn entspricht einer Abbildungf :k→nmit f(i) =xi f¨ur 1≤i≤k, und umgekehrt. Die Menge allerk-Variationen vonn ist also identisch mit der Menge aller Abbildungen vonknach n.

Satz 10.20.Die Anzahl der Abbildungen vonk nach nist gleich n^k. Beweis. Es gilt

|n^k|=|n^k|=|n|^k =n^k, (10.19) wobei die erste Identit¨at aus Satz 6.10 und dem Gleichheitsprinzip folgt, w¨ahrend sich die zweite Gleichung aus Multiplikationsprinzip ergibt. ⊓⊔

(9)

10.5 Variationen 105 Die Zahln^kbeschreibt die Anzahl der Möglichkeiten,kElemente aus einer n-elementigen Menge auszuwählen, wobei jedes Element mehrfach ausgewählt werden darf und es auf die Reihenfolge der Elemente ankommt.

Einek-Variation vonnheißt vomTyp 1^k¹2^k². . . n^kⁿ,wenn sieki Buchsta- benienth¨alt. Der Typ einer Variation ist ebenfalls als symbolisches Produkt zu verstehen. F¨ur jedek-Variation vom Typ 1^k¹2^k². . . n^kⁿ gilt

k=k1+. . .+kn. (10.20)

Die Anzahl der k-Variationen vom Typ 1^k¹2^k². . . n^kⁿ wird Multinomialzahl vonk ¨uberk1, . . . , kn genannt, kurz

k k1, k2, . . . , kn

. (10.21)

Satz 10.21.F¨ur nat¨urliche Zahlenk,k1, . . . , kn mit k=k1+. . .+kn gilt k

k1, k2, . . . , kn

= k!

k1!k2!. . . kn!. (10.22) Beweis. In einem Wort der L¨ange k k¨onnen k1 Buchstaben 1 auf _k^k₁

Ar- ten platziert werden. In den verbliebenen k−k1 freien Stellen lassen sich k2

Buchstaben 2 auf ^k−k_k₂¹

Arten platzieren. Auf diese Weise fortfahrend ergibt sich

k k1, k2, . . . , kn

= k

k1

k−k1

k2

· · ·

k−k1−. . .−kn−1

kn

.

Daraus folgt mit Hilfe von (10.3) die Behauptung. ⊓⊔ Im Fallen= 2 werden aus Multinomialzahlen Binomialzahlen

k k1, k2

= k

k1

= k

k2

. (10.23)

Die Multinomialzahl _k₁_,...,k^k _n

beschreibt die Anzahl der M¨oglichkeiten, k Objekte, von denen jeweils k1, . . . , kn Objekte gleich sind, in beliebiger Reihenfolge anzuordnen.

Beispiel 10.22.Das Wort MISSISSIPPI entspricht dem Wort 12332332442, einer 11-Variation vom Typ 1¹2⁴3⁴4². Die Anzahl der W¨orter, die sich mit den Buchstaben des Wortes MISSISSIPPI bilden lassen, korrespondiert zur Anzahl der 11-Variationen vom Typ 1¹2⁴3⁴4²

11 1,4,4,2

= 34 650.

Die Multinomialzahl _k₁_,...,k^k _n

beschreibt die Anzahl der Abbildungen von knach n, in denen jeweilski Elemente auskaufiabgebildet werden.

(10)

Beispiel 10.23.Die 4-Variationen vom Typ 1²2¹3¹ lauten 1123, 1132, 1213, 1231, 1312, 1321, 2113, 2131, 2311, 3112, 3121 und 3211. Diese W¨orter entsprechen den Abbildungenf : 4→3, in denen jeweils zwei Elemente auf 1 und je ein Element auf 2 und 3 abgebildet werden. Die Anzahl dieser Abbildungen ist gleich

4 2,1,1

= 12.

Selbsttestaufgaben

10.1.Ein Bauer kauft drei Kühe, zwei Schweine und vier Hennen von einem Händler, der sechs Kühe, fünf Schweine und acht Hennen anbietet. Wie viele Möglichkeiten der Auswahl hat der Bauer?

10.2.In einem Behälter befinden sich fünf weiße und sechs rote Kugeln. Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Kugeln zu ziehen, so dass zwei Kugeln weiß und zwei Kugeln rot sind?

10.3.Eine Studentin hat in einer Prüfung sechs von acht Fragen richtig zu beant- worten. Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs dieser Fragen auszuwählen? Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die Studentin die ersten drei Fragen richtig beantwor- ten muss. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die Studentin mindestens vier der ersten fünf Fragen korrekt beanworten soll.

10.4.Zeige, dass f¨ur alle nat¨urlichen Zahlenn≥0 undm≥1 gilt Xn

i=0

m+i m

=

m+n+ 1 m+ 1

.

10.5.In einer Diskussionsrunde mit drei Jungen und zwei Mädchen sollen alle Jun- gen und Mädchen in einer Reihe sitzen. Wie viele Anordnungen gibt es, wenn beide Mädchen nebeneinander sitzen?

10.6.Bestimme die Anzahl der Wörter der Länge vier, die aus den Buchstaben des Wortes NUMERICAL gebildet werden können.

10.7.Wie viele W¨orter k¨onnen in der vorigen Aufgabe gebildet werden, wenn jedes Wort mit einem Konsonanten beginnen und enden soll?

10.8.Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten, fünf große Bücher, vier mittelgroße Bücher und drei kleine Bücher auf einem Regal so anzuordnen, dass alle Bücher gleicher Größe nebeneinander stehen.

10.9.Beweise die Gleichung (10.14).

10.10.Aus einern-elementigen Menge sindkElemente auszuw¨ahlen mit bzw. ohne Ber¨ucksichtigung der Reihenfolge und mit bzw. ohne Wiederholung der Elemente.

Gib die Anzahl in jedem der vier F¨alle an.

(11)

10.5 Variationen 107

10.11.Berechne die Anzahl der Wörter der Länge sechs, die aus den Buchstaben A, C, D, H, I und U ohne Wiederholung gebildet werden können, wobei die Wörter ICH und DU nicht als Teilwörter enthalten sein dürfen.

10.12.Wie viele W¨orter k¨onnen mit dem Wort HUGENOTTEN gebildet werden?

Wie viele W¨orter gibt es, die das Bigramm TT enthalten?

(12)

(13)

11 Partitionen

In diesem Kapitel wird die im letzten Kapitel begonnene Abz¨ahlungstheorie der klassischen Abbildungstypen mit Nebenbedingungen fortgesetzt.

11.1 Mengenpartitionen

Wachstumsbeschr¨ankte W¨orter

Ein Wortx=x1. . . xn der LängenüberNheißt wachstumsbeschränkt, wenn x1= 1 und xi≤max{x1, . . . , xi−1}+ 1 für 2≤i≤n. (11.1) Beispiel 11.1.Die wachstumsbeschränkten Wörter der Länge 3 lauten 111, 112, 121, 122 und 123.

Eine Partition der Mengen, die ausk Bl¨ocken besteht, wirdk-Partition von ngenannt.

Beispiel 11.2.Die 2-Partitionen von 3 lauten {{1},{2,3}},{{2},{1,3}}und {{3},{1,2}}.

Satz 11.3.Seienkundnnatürliche Zahlen mit1≤k≤n. Diek-Partitionen von n entsprechen den wachstumsbeschränkten Wörtern x = x1, . . . , xn der Längenmit der Eigenschaft

k= max{x1, . . . , xn}. (11.2) Beweis. Sei P = {P1, . . . , Pk} eine k-Partition von n. O.B.d.A. seien die Bl¨ocke von P so nummeriert, dass 1 ∈P1 und Pj die kleinste Zahl enth¨alt, die inP1, . . . , Pj−1 nicht vorkommt. Einer solchen PartitionP wird ein Wort x=x1. . . xn wie folgt zugeordnet

xi =j :⇐⇒ i∈Pj. (11.3)

(14)

Das so definierte Wortxist nach Definition vonP wachstumsbeschränkt und erfüllt die Bedingung (11.2). Diese Zuordnung liefert eine bijektive Abbildung von der Menge aller k-Partitionen von n auf die Menge aller wachstumsbe- schränkten Wörter der Längenmit der Eigenschaft (11.2). ⊓⊔ Beispiel 11.4.Die Beziehung zwischen den Partitionen von 3 und den wachs- tumsbeschränkten Wörtern der Länge 3 zeigt folgende Tabelle

Partitionen W¨orter {{1,2,3}} 111 {{1},{2,3}} 122 {{1,2},{3}} 112 {{1,3},{2}} 121 {{1},{2},{3}} 123 Blockstruktur von Partitionen

Wir klassifizieren Partitionen hinsichtlich ihrer Blockstruktur. Einek-Partition vonnhat denTyp1^k¹2^k². . . n^kⁿ,wenn siekiBlöcke der Mächtigkeitienthält.

F¨ur jedek-Partition vom Typ 1^k¹2^k². . . n^kⁿ gilt

k1+k2+. . .+kn =k und 1·k1+ 2·k2+. . . n·kn=n. (11.4) Beispiel 11.5.Die Partitionen vom Typ 1¹2¹3⁰sind{{1},{2,3}},{{2},{1,3}}

und{{3},{1,2}}.

Satz 11.6.Die Anzahl der k-Partitionen vom Typ1^k¹2^k². . . n^kⁿ ist gleich n!

k1!k2!. . . kn(1!)^k¹(2!)^k². . .(n!)^kⁿ. (11.5) Beweis. Die k-Partitionen vom Typ 1^k¹2^k². . . n^kⁿ werden erhalten durch F¨ullen des untenstehenden Ger¨usts mit den n-Permutationen vonn

k1

z }| {

| · | · |. . .| · |

k2

z }| {

| · ·| · ·|. . .| · ·|

k3

z }| {

| · · · | · · · |. . .| · · · |. . .

Nach Korollar 10.14 ist die Anzahl dieser Permutationen gleich n!. Dieselbe Partition entsteht auf zwei Arten. Erstens, wenn Blöcke gleicher Kardinalität vertauscht werden, wofür esk1!k2!. . . kn! Möglichkeiten gibt. Zweitens, wenn die Elemente eines Blockes vertauscht werden, wofür (1!)^k¹(2!)^k². . .(n!)^kⁿ

M¨oglichkeiten existieren. ⊓⊔

Die Anzahl der Partitionen vom Typ 1^k¹2^k². . . n^kⁿ beschreibt die An- zahl der Möglichkeiten, n unterscheidbare Kugeln auf k ununterscheidbare Behälter so zu verteilen, dasski Behälter jeweilsiKugeln enthalten.

(15)

11.2 Stirling-Zahlen 111

11.2 Stirling-Zahlen

Stirling-Zahlen zweiter Art

Die Anzahl der k-Partitionen vonnheißt Stirling-Zahl zweiter Art und wird mitS(n, k) bezeichnet. Eine Partition vonnkann h¨ochstensnBl¨ocke enthalten. Also ist S(n, k) = 0, fallsk > n.

Satz 11.7.F¨ur jede nat¨urliche Zahlngilt

S(n,1) = 1 und S(n, n) = 1. (11.6) F¨ur alle nat¨urlichen Zahlen nundk mit1< k < ngilt

S(n, k) =S(n−1, k−1) +k·S(n−1, k). (11.7) Beweis. Die einzige 1-Partition vonnist{n}und eine einzigen-Partition von nist{{1}, . . . ,{n}}.

Die Menge allerk-Partitionen vonnwird in zwei Teilmengen zerlegt. Sei Adie Menge allerk-Partitionen vonn, die{n}enthalten, und seiBdie Menge der ¨ubrigen k-Partitionen von n. Mit dem Additionsprinzip folgt S(n, k) =

|A|+|B|.

Jedes Element{P1, . . . , Pk−1,{n}} ∈Awird durch Fortlassen von{n}zu einer (k−1)-Partition{P1, . . . , Pk−1}vonn−1. Diese Zuordnung liefert eine bijektive Abbildung vonAauf die Menge aller (k−1)-Partitionen vonn−1.

Mit dem Gleichheitsprinzip folgt|A|=S(n−1, k−1).

Jede k-Partition P ={P1, . . . , Pk} von n−1 ist fortsetzbar zu n Parti- tionen P⁽¹⁾, . . . , P⁽ⁿ⁾ von B, so dass in P⁽ⁱ⁾ der Block Pi um das Element i erweitert wird. Die Zuordnung (i, P) 7→ P⁽ⁱ⁾ liefert eine bijektive Abbil- dung des kartesischen Produkts vonkund der Menge allerk-Partitionen von n−1 auf die MengeB. Mit dem Multiplikations- und Gleichheitsprinzip folgt

|B|=k·S(n−1, k). ⊓⊔

Die Stirling-Zahl S(n, k) beschreibt die Anzahl der M¨oglichkeiten, n unterscheidbare Kugeln aufkununterscheidbare Beh¨alter zu verteilen.

Bell-Zahlen

Die Anzahl der Partitionen einer n-elementigen Menge wird n-te Bell-Zahl genannt und mitB(n) bezeichnet. F¨ur jede nat¨urliche Zahlngilt

B(n) = Xn

k=1

S(n, k). (11.8)

Die ersten fünf Bell-Zahlen lauten B(1) = 1,B(2) = 2,B(3) = 5,B(4) = 15 und B(5) = 52. Ferner wird B(0) = 1 gesetzt. Die Bell-Zahl B(n) beschreibt nach den Sätzen 5.5 und 5.6 die Anzahl der Äquivalenzen auf einer n-elementigen Menge.

(16)

Satz 11.8.F¨ur jede nat¨urliche Zahln≥1 gilt B(n) =

Xn

k=1

n−1 k−1

B(n−k). (11.9)

Beweis. Sei k eine nat¨urliche Zahl mit 1≤k ≤n. Sei T ={i1, . . . , ik−1, n}

einek-Teilmenge vonn. Die Partitionen vonn, dieT als Element enthalten, entsprechen den Partitionen von n−k. Die Anzahl solcher Partitionen ist definitionsgem¨aß B(n−k). Die Anzahl aller k-Teilmengen von n, die n als Element besitzen, ist per definitionem ⁿ⁻¹_k−1

. Mit dem Multiplikationsprinzip folgt, dass ⁿ⁻_k−1¹

·B(n−k) die Anzahl der Partitionen vonnbeschreibt, die eine k-Teilmenge von nder Form{i1, . . . , ik−1, n} als Element enthalten. Daraus

folgt die Behauptung. ⊓⊔

Stirling-Zahlen erster und zweiter Art

Die Stirling-Zahlen erster und zweiter Art sind eng verkn¨upft.

Satz 11.9.F¨ur alle nat¨urlichen Zahlenn undk mitn≥kgilt Xn

l=k

S(n, l)s(l, k) = Xn

l=k

s(n, l)S(l, k) =δn,k, (11.10) wobei δn,k das Kronecker-Symbol bezeichnet

δn,k =

1falls n=k,

0sonst. (11.11)

Der Beweis wird durch vollständige Induktion nachnmithilfe der bewiesenen Formeln für die Stirling-Zahlen geführt. Um den Satz in der Sprache der Linea- ren Algebra zu formulieren, betrachten wir einen×n-MatrixAmit den Ein- trägenS(i, j) und einen×n-MatrixBmit den Einträgens(i, j). Beide Matri- zen sind untere Dreiecksmatrizen, denn im Fallei < jgiltS(i, j) =s(i, j) = 0.

Korollar 11.10.F¨ur die Stirling-Matrizen Aund B gilt A=B⁻¹. Surjektive Abbildungen

Satz 11.11.Die Anzahl der surjektiven Abbildungen von n auf k ist gleich k!·S(n, k).

Beweis. Jede k-Partition P = {P1, . . . , Pk} von n definiert eine surjektive Abbildung fP :n→k mit

fP(x) =i :⇐⇒ x∈Pi.

(17)

11.3 Zahlpartitionen 113 Die Komposition von fP mit einer Permutation π vom Grad k liefert nach Satz 6.6 eine surjektive AbbildungπfP :n→k. SeienP undQ k-Partitionen vonnundπundσPermutationen vom Gradk. AusπfP =σfQ folgtP =Q undπ=σ. Also gibt es nach dem Multiplikationsprinzipk!·S(n, k) surjektive Abbildungen der Form πfP von n auf k. Sei f : n → k eine surjektive Ab- bildung. Die Menge ihrer Urbilder,P ={f⁻¹(i)|i∈k}, ist einek-Partition

vonnmit f =fP. ⊓⊔

Satz 11.12.Die Anzahl der surjektiven Abbildungen vonn aufk ist gegeben durch

Xk

i=0

(−1)ⁱ k

i

(k−i)ⁿ. (11.12)

Beweis. Sei A die Menge aller Abbildungen von n nach k. Sei Ai die Men- ge derjeniger Abbildungen vonnnachk, in deren Wertebereich das Element i∈nnicht enthalten ist. Die Menge aller surjektiven Abbildungen vonnauf k ist dann gleichA\(Sk

i=1Ai). Sei I eine Teilmenge vonk. Die Menge aller Abbildungen f von nnachkmitf(n)∩I=∅ istT

j∈IAj. Diese Menge entspricht der Menge aller Abbildungen vonnin eine (k− |I|)-elementige Menge.

Letztere Menge hat nach Satz 10.20 die Mächigkeit (k−|I|)ⁿ. Diese Zahl hängt nur von der Mächtigkeit von I ab. Also ist die spezialisierte Siebformel 9.12 anwendbar, so dass für die Anzahl der surjektiven Abbildungen vonnauf k gilt

|A\( [k

i=1

Ai)|=kⁿ+ Xk

i=1

(−1)ⁱ k

i

(k−i)ⁿ= Xk

i=0

(−1)ⁱ k

i

(k−i)ⁿ.

⊓

⊔ Die Stirling-Zahlen zweiter Art sind verm¨oge der S¨atze 11.11 und 11.12 direkt berechenbar.

Korollar 11.13.F¨ur alle nat¨urlichen Zahlenn undk mit1≤k≤n gilt S(n, k) = 1

k!

Xk

i=0

(−1)ⁱ k

i

(k−i)ⁿ. (11.13)

11.3 Zahlpartitionen

Geordnete Zahlpartitionen

Ein Wortx1x2. . . xk der L¨angek¨uberNheißt einegeordnetek-Zahlpartition vonn, wennx1+x2+. . .+xk =n. Die Anzahl der geordnetenk-Zahlpartitionen vonnwird mitp(n, k) bezeichnet. Es giltp(n, k) = 0, fallsk > n.

(18)

Beispiel 11.14.Die geordnetenk-Zahlpartitionen von 5 lauten kgeord.k-Zahlpartitionen von 5 1 5

2 14, 41, 23, 32

3 113, 131, 311, 122, 212, 221 4 1112, 1121, 1211, 2111 5 11111

p(n,1) = 1 und p(n, n) = 1. (11.14) F¨ur alle nat¨urlichen Zahlen nundk mit1< k < ngilt

p(n, k) = n−1

k−1

. (11.15)

Beweis. Die einzige geordnete 1-Zahlpartition von n ist n und die einzige geordneten-Zahlpartition vonnist 11. . .1.

Sei x =x1x2. . . xk eine geordnete k-Zahlpartition von n. Wir ordnen x ein Worty=y1y2. . . yk−1 zu, wobei

yi=x1+. . .+xi, 1≤i≤k−1.

Das Worty ist eine (k−1)-Kombination vonn−1, denn

1≤x1< x1+x2< . . . < x1+x2+. . .+xk−1=n−xk≤n−1.

Umgekehrt sei y = y1y2. . . yk−1 eine (k−1)-Kombination von n−1. Wir weiseny ein Wortx=x1x2. . . xk zu, wobei

x1=y1, xi=yi−yi−1, f¨ur 2≤i≤k−1, und xk =n−yk−1. Dieses Wortxist per definitionem eine geordnetek-Zahlpartition vonn. Diese Zuordnungen sind invers zueinander. Sie liefern eine Bijektion zwischen der Menge aller geordneten k-Zahlpartition von n auf die Menge aller (k−1)- Kombination vonn−1. Mit dem Gleichheitsprinzip ergibt sich die Behaup-

tung. ⊓⊔

Beispiel 11.16.Die im Beweis des Satzes definierte Bijektion verdeutlicht die folgende Tabelle

geord. 3-Zahlpartition von 5 2-Kombination von 4

113 12

131 14

311 34

122 13

212 23

221 24

Die Zahlp(n, k) beschreibt die Anzahl der Möglichkeiten,nununterscheidbare Kugeln auf k unterscheidbare Behälter so zu verteilen, dass jeder Behälter mindestens eine Kugel enthält.

(19)

11.3 Zahlpartitionen 115

Ungeordnete Zahlpartitionen

Ein Wortx1x2. . . xkder L¨angek¨uberNheißt eineungeordnetek-Zahlpartition von n, wennx1≤x2≤. . .≤xk undx1+x2+. . .+xk =n. Die Anzahl der ungeordneten k-Zahlpartitionen von n wird mit P(n, k) bezeichnet. Es gilt P(n, k) = 0, fallsk > n.

Beispiel 11.17.Die ungeordnetenk-Zahlpartitionen von 5 lauten kungeord.k-Zahlpartitionen von 5

1 5 2 14, 23 3 113, 122 4 1112 5 11111

P(n,1) = 1 und P(n, n) = 1. (11.16) F¨ur alle nat¨urlichen Zahlen nundk mit1< k < ngilt

P(n, k) =P(n−k, k) +P(n−1, k−1). (11.17) Beweis. Die einzige ungeordnete n-Zahlpartition von n ist 11. . .1 und die einzige ungeordnete 1-Zahlpartition vonnistn.

Die Menge aller ungeordnetenk-Zahlpartitionen vonn wird in zwei Teil- mengen zerlegt. SeiAdie Menge aller ungeordnetenk-Zahlpartitionen vonn, die nur Zahlen≥2 enthalten, und seiB die Menge der ¨ubrigen ungeordneten k-Zahlpartitionen vonn. Mit dem Additionsprinzip folgtP(n, k) =|A|+|B|.

Ein Wort x1x2. . . xk ∈ A wird zu einer ungeordneten k-Zahlpartition y1y2. . . ykvonn−k, wenn von jedemxiEins subtrahiert wird, alsoyi=xi−1.

Diese Zuordnung liefert eine Bijektion von A auf die Menge aller ungeordneten k-Zahlpartitionen von n−k. Mit dem Gleichheitsprinzip ergibt sich

|A|=P(n−k, k).

Ein Wortx1x2. . . xk ∈B beginnt definitionsgem¨aß mit x1 = 1 und wird zu einer ungeordneten (k−1)-Zahlpartition x2. . . xk von n−1, wenn x1

weggelassen wird. Diese Zuordnung definiert eine bijektive Abbildung vonB auf die Menge aller ungeordneten (k−1)-Zahlpartitionen vonn−1. Mit dem Gleichheitsprinzip folgt|B|=P(n−1, k−1). ⊓⊔ Die ZahlP(n, k) spezifiziert die Anzahl der Möglichkeiten,nununterscheidbare Kugeln aufkununterscheidbare Behälter so zu verteilen, dass jeder Behälter wenigstens eine Kugel aufnimmt. Ferner läßt sichP(n, k) als die Anzahl aller Möglichkeiten interpretieren, die Zahl n als Summe von k positiven ganzen Zahlen darzustellen.

(20)

Beispiel 11.19.Die Zahl 10 kann aufP(10,3) = 8 Arten als Summe von drei positiven ganzen Zahlen geschrieben werden

10 = 1 + 1 + 8 = 1 + 2 + 7 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5

= 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 3 + 4.

Die ZählkoeffizientenP(n, k) sind unter den behandelten Zählkoeffizienten die einzigen, für die keine explizite Berechnungsvorschrift bekannt ist.

Selbsttestaufgaben

11.1.Beweise den Satz 11.9.

11.2.Gegeben seiennKugeln undrFächer. Die Kugeln werden in die Fächer an- hand einer Abbildungf:n→rplatziert. Einerseits kann nach den Abbildungstypen klassifiziert werden, je nachdem, obfinjektiv, surjektiv oder bijektiv ist oder keine dieser Eigenschaften hat. Die Injektivität besagt, dass in jedes Fach höchstens eine Kugel kommt, die Surjektivität, dass mindestens eine Kugel in jedes Fach gelegt wird, und die Bijektivität, dass jedes Fach genau eine Kugel aufnimmt. Zum an- deren kann danach klassifiziert werden, ob die Kugeln oder Fächer unterscheidbar oder ununterscheidbar sind. Diese Fragestellung führt auf insgesamt sechzehn Fälle, die in folgender Tabelle zusammengefasst sind:

f beliebigf injektivf surjektivf bijektiv Kugeln gef¨arbt

Fächer gefärbt Kugeln gefärbt Fächer einfarbig Kugeln einfarbig Fächer gefärbt Kugeln einfarbig Fächer einfarbig

Trage die entsprechenden Anzahlen ein.