Analysis f¨ur Physiker

Analysis f ¨ur Physiker

Prof. Dr. Rainer Weissauer

Ruprecht-Karls-Universit¨at Heidelberg Fakult¨at f¨ur Mathematik und Informatik

Mathematisches Institut

Vorlesungsskriptum SS/WS 2011/12 Bearbeitungsstand: 12. Dezember 2012

Adresse des Dozenten:

Ruprecht-Karls-Universit¨at Heidelberg Mathematisches Institut

Im Neuenheimer Feld 288

D-69120 Heidelberg, Deutschland Raum 205

weissaue@mathi.uni-heidelberg.de

http://www.mathi.uni-heidelberg.de/˜weissaue/

Vorwort

Dieses Skript richtet sich als Begleitmaterial der Vorlesung H¨ohere Mathematik f¨ur Physiker II+III vorrangig an die Studenten der Fachrichtung Physik. In dem zwei-semestrigen Zyklus wird versucht, die f¨ur Physikstudenten relevanten Methoden der Analysis darzustellen.

Die Vorlesung deckt dabei in zwei Semestern mathematische Inhalte ab, die normalerweise in den drei Vorlesungen Analysis I–III dargestellt werden. Dabei wurden notgedrungen einige wichtige Dinge ausgelassen, da auf die mathematische Strenge der Darstellung nicht verzichtet werden sollte. Kenntnisse aus der Vorlesung Lineare Algebra werden wesentlich vorausgesetzt.

Das heißt, die Vorlesung baut auf der Grundvorlesung Lineare Algebra I auf.

Begleitend zu der Vorlesung und dem ¨Ubungsbetrieb wurden einmal w ¨ochentlich in einer zus¨atzlichen Groߨubung Beispiele behandelt, die in der Vorlesung selbst nicht diskutiert werden konnten.

Das vorliegende Skript folgt in seinem Aufbau keineswegs konsequent der Vorlesung. Auch innerhalb der einzelnen Kapitel wurden in der Vorlesung Teile des Stoffes manchmal geringf¨ugig umgestellt, um vom Timing die ¨Ubungsaufgaben so effizient wie m ¨oglich mit der Vorlesung abzustimmen.

Kapitel V hat einen sehr speziellen Charakter. Hier wurden an einer Stelle des Skiptes spezifi- sche Anwendungen der Analysis geb¨undelt, die in der Vorlesung und zum Teil in der Groߨubung gestreut vorgestellt wurden. ¨Ahnliches gilt f¨ur Kapitel X. Kapitel XI wurde in der Vorlesung nicht behandelt. Es ist gedacht f¨ur interessierte Leser und gibt einen kleinen Ausblick.

Inhaltsverzeichnis

Vorwort iii

1 Der Konvergenzbegriff 1

1.1 Angeordnete K ¨orper . . . 1

1.2 Die Euklidsche Norm . . . 4

1.3 Metrische R¨aume . . . 6

1.4 Folgen in metrischen R¨aumen . . . 7

1.5 Die geometrische Folge . . . 9

1.6 Vollst¨andige metrische R¨aume . . . 10

1.7 Der Banachsche Fixpunktsatz . . . 11

1.8 Quaderschachtelung . . . 13

1.9 Reelle Zahlen . . . 16

1.10 Infimum und Supremum . . . 17

2 Stetige Abbildungen 21 2.1 Stetigkeit . . . 21

2.2 Eigenschaften stetiger Funktionen . . . 23

2.3 Der Zwischenwertsatz . . . 24

2.4 Dasε-δ-Kriterium . . . 25

2.5 Gleichm¨assige Stetigkeit . . . 26

2.6 Reellwertige stetige Funktionen . . . 26

2.7 Gleichm¨assige Konvergenz . . . 29

2.8 Vollst¨andigkeit vonC^pX^q . . . 29

2.9 Monotone Funktionenfolgen . . . 31

2.10 St¨uckweise stetige Funktionen . . . 33

2.11 Der eindimensionale Fall . . . 34

3 Integrale 37 3.1 Verb¨ande . . . 37

3.2 Monotone H ¨ullen . . . 38

3.3 Integrale . . . 38

3.4 Fortsetzung von Integralen . . . 40

3.5 Das mehrdimensionale Standardintegral ³ Xf^px^qdx . . . 41

3.6 Der Logarithmus . . . 43

4 Differentiation 45

4.1 Das Landausymbol . . . 45

4.2 Differenzierbarkeit . . . 46

4.3 Die Jacobi-Matrix . . . 49

4.4 Extremwerte . . . 50

4.5 Symmetrie der Hessematrix . . . 52

4.6 Lokale Maxima . . . 53

4.7 Der Hauptsatz . . . 54

4.8 Differentialgleichungen . . . 55

4.9 Stetig partiell differenzierbare Funktionen . . . 59

4.10 Der Umkehrsatz . . . 61

4.11 Substitutionsregel . . . 64

4.12 Differentialformen . . . 67

4.13 Beweis des Poincare Lemmas . . . 71

4.14 Satz von Stokes f¨ur Quader . . . 74

4.15 Analytische Funktionen . . . 75

5 Ausgew ¨ahlte Anwendungen I 79 5.1 Wegintegrale . . . 79

5.2 Holomorphe Funktionen . . . 81

5.3 Vektorfelder . . . 82

5.4 Orthogonale Gruppen . . . 84

5.5 Harmonische Funktionen . . . 86

5.6 Taylor Koeffizienten . . . 87

5.7 Harmonische Polynome . . . 88

5.8 Drehimpuls Operatoren . . . 90

5.9 Maxwell Gleichungen . . . 91

6 Lebesgue Integration 93 6.1 Das Lebesgue Integral . . . 94

6.2 Der VerbandL^pX^q . . . 95

6.3 Vertauschungss¨atze . . . 96

6.4 Anwendungen . . . 98

6.5 Nullmengen . . . 99

6.6 Messbare Funktionen . . . 100

7 Hilbertr ¨aume 101 7.1 Vorbemerkung . . . 101

7.2 L²-R¨aume . . . 103

7.3 Vollst¨andigkeit vonL^2pX^q . . . 104

7.4 C_c^pX,C^qliegt dicht . . . 105

7.5 Der FolgenraumL^2pZ^q . . . 106

7.6 Orthonormalbasen . . . 106

7.7 Fourier Reihen . . . 108

7.8 Stone-Weierstraß . . . 109

7.9 Reelle Fourier Transformation . . . 111

8 Integration auf Mannigfaltigkeiten 117 8.1 Partitionen der Eins . . . 117

8.2 Untermannigfaltigkeiten mit Rand . . . 118

8.3 Randintegrale . . . 119

8.4 Der Satz von Stokes . . . 120

8.5 Drehinvarianz . . . 121

8.6 Standardintegral auf der Kugeloberfl¨ache . . . 122

8.7 Greensche Formel . . . 124

9 Harmonische Analysis 127 9.1 Der HilbertraumL^2pS^q . . . 127

9.2 Poisson Kern . . . 128

9.3 Orthogonalit¨at . . . 130

9.4 Harmonische Funktionen sind analytisch . . . 132

9.5 Entwicklung auf Kugelschalen . . . 133

9.6 Die Potential Gleichung∆ϕρ . . . 135

10 Ausgew ¨ahlte Anwendungen II 139 10.1 Kugelvolumina . . . 139

10.2 Kugeloberfl¨ache . . . 140

10.3 Der Residuensatz . . . 141

10.4 W¨armeleitungskerne . . . 142

11 Ausblick 145 11.1 Konforme Lie Algebra . . . 145

11.2 Minkowski Raum . . . 146

11.3 Wellengleichung . . . 148

Die Anwendungen in Kapitel V ben¨otigen gewisse Voraussetzungen ¨uber die Differentiation.

Die Abh¨angigkeiten sind wie folgt:

Leitfaden f ¨ur Kapitel V.

• 4.5^ùñ5.3^ùñ5.4

• 4.9^ùñ5.5^ùñ5.6^ùñ5.7^ùñ5.8

• 4.12^ùñ5.9

• 4.14^ùñ5.1^ùñ5.2

Im ersten Semester habe ich Kapitel I-IV behandelt (ausschließlich der Sektionen 4.13 bis 4.15, die ich zu Beginn des zweiten Teils nach Kapitel VI bewiesen habe, da in diesen Abschnit- ten der Satz von der dominierten Konvergenz benutzt wird; man k¨onnte nat¨urlich hier die be- nutzten Vertauschungss¨atze auch erst einmal annehmen) und die Anwendungen 5.3-5.8. Die Be- handlung der Abschnitte aus Kapitel V in der Vorlesung wurde meistens durch ¨Ubungsaufgaben vorbereit und in der großen ¨Ubung vertieft.

Das Kapitel X bestand nur zum Teil aus ¨Ubungsmaterial, Themen der Groߨubung und der Vorlesung. (Die Abschnitte ab 10.5 sind gedacht als Lesestoff zur Anregung und weiteren Ver- tiefung).

Leitfaden f ¨ur Kapitel X.

• 7.9^ùñ10.4

• 8.4^ùñ10.1^ùñ10.2

• 9.5^ùñ10.3

In der ersten Vorlesung habe ich Kapitel I-IV behandelt (ausschließlich Abschnitt 4.13 und 4.14) sowie Kapitel V (ausschließlich Abschnitt 4.13 und 4.14). In den Abschnitten 4.13 und 4.14 wird die Vertauschung von Limesprozessen ben¨otigt. Deshalb habe ich sie erst im Winter- semester nach dem Kapitel VI diskutiert, da die ben¨otigten Vertauschungss¨atze sich dann unmit- telbar aus dem Satz von der dominierten Konvergenz ergeben. Die erste H¨alfte von Abschnitt 4.12 hatte ich in der Vorlesung bereits im unmittelbaren Anschluß an Abschnitt 4.9 dargestellt, die zweite H¨alfte dann nach Abschnitt 4.11 um in der Zwischenzeit das Kalk¨ul in der Groߨubung und in den ¨Ubungsaufgaben etwas vertrauter zu machen.

1 Der Konvergenzbegriff

1.1 Angeordnete K¨orper

Wir wiederholen an dieser Stelle den aus der Linearen Algebra bekannten Begriff des K¨orpers.

Es handelt sich dabei um einen Rechenbereich mit Multiplikation und Addition.

Genauer gilt: Ein K ¨orper ist ein Tupel^pK, ,,0,1^qbestehend aus einer MengeK, zwei Ver- kn¨upfungen :KK ^ÑK, genannt Addition, und:KK ^ÑK, genannt Multiplikation, sowie zwei verschiedenen Elementen0(Nullelement) und1(Einselement) mit gewissen Eigen- schaften. So soll zum einen das Tupel^pK, ,0^qeine abelsche Gruppe mit neutralem Element0 sein. D. h. man kann beliebige Elementea, b ^PK addieren, das heißt durch verkn¨upfen, so daß gilta bb a^PKsowiea 0a, und jede Gleichung

x ab

hat f¨ur gegebenesa, b^PKeine eindeutige L ¨osungx. Wir schreiben diese in der Formxba.

Zum anderen soll die Menge der von Null verschiedenen ElementeK ^Œ K eine abelsche Gruppe ^pK,,1^q definieren. Insbesondere ist daher f¨ur alle a, b ^P K mita ^ 0, b ^ 0die Gleichung

xab

eindeutig l¨osbar. Deren L ¨osung schreiben wir als x a^{b ba¹. F ¨ur gew ¨ohnlich lassen wir den Punkt f¨ur die Multiplikation meist weg und schreiben kurzabstattab. Istb 0und a^0, dann ist ¨ubrigensx0die einzige L ¨osung der Gleichungxab. Dies folgt aus dem Distributivgesetz, das in einem K ¨orper erf¨ullt sein soll. Im Distributivgesetz wirda^pb c^q ab acgefordert f¨ur allea, b, c^PKund es implizierta00f¨ur allea^PK.

Der Begriff des K ¨orpers ist bereits aus der Linearen Algebra bekannt. Typische Beispiele sind:

der K ¨orperQder rationalen Zahlen, der K ¨orperRder reellen Zahlen sowie der K ¨orper Cder komplexen Zahlen. F ¨ur die Analysis spielt der K ¨orperRder reellen Zahlen eine fundamentale Rolle. Seine Elemente stellen wir uns intuitiv vor als die Punkte auf einer l¨uckenlosen Geraden.

Wir sind von der Schule gewohnt in diesem K ¨orper zu rechnen.

Eine sehr wichtige Eigenschaft des K ¨orpers der reellen Zahlen besteht darin, daß dieser K ¨orper eine Anordnung besitzt. Eine Anordnung ist eine Relation x   y: Alle x und y aus einem K ¨orperKlassen sich also in Bezug auf diese Anordnung vergleichen. Man setzt formal y^¡xx yund

x^®y :^ðñ x yoderxy.

Die Anordnung auf dem K ¨orper der reellen Zahlen ist in der Physik sehr wesentlich, wenn es um die Parametrisierung der Zeit geht. Das Vorher und Nachher von Ereignissen spielt eine fundamentale Rolle bei der Kausalit¨at und dem physikalischen Begriff der Entropie.

Der Begriff eines angeordneten K ¨orpers l¨asst sich mathematisch in axiomatischer Weise defi- nieren. Ein angeordneter K ¨orper^pK, ^qist ein K ¨orperKzusammen mit einer ausgezeichneten TeilmengeP ^Œ K. Man nennt dannP den

”Kegel der positiven Zahlen“ des angeordneten K ¨orpers. Dies ist ein eindimensionales Analogon des in der Physik auftretenden vorderen Licht- kegels im Minkowskiraum. Eine Zahlx ^P K nennt man negativ oder man schreibtx ^P P, wenn ihr negativesxinP liegt.

Definition 1.1. Ein Tupel ^pK, ^q bestehend aus einem K¨orperK und einer Teilmenge P vonKheißt angeordneter K ¨orper, wenn gilt:

(1) K P ^{Y9 t}0^uY9 P, d. h.Kzerlegt sich disjunkt inP,Pund Null.

(2) P P ^ŒP, d. h. die Summe zweier Zahlen ausP ist wiederum inP . (3) P P ^ŒP, d. h. auch das Produkt zweier Zahlen ausP ist wieder inP.

Die MengeP in einem angeordneten K ¨orper definiert dann die Relation verm ¨oge der De- finition

x y :^ðñ yx ^P P . Insbesondere gilt dann per Definition

P ^tx^PK^|x^¡0^u.

Aus dem ersten Axiom eines angeordneten K ¨orpers folgt f¨ur zwei Zahlenx, y ^PK daher ent- weder x   y oder x y oder x ^¡ y im ausschliesslichen Sinn. Somit folgt unmittelbar

P ^tx^PK ^|x 0^u. Wir bemerken folgende Eigenschaft:

• Jedes Quadratx²einer ZahlxausKist positiv. Kurz:x^{2 P}P.

Dies ist klar f¨urx^PP nach dem dritten Axiom. Istxnicht inP, dann istx^PPund damit

px^{q2 P}P nach dem ersten Axiom. Alsox^{2 P}P wegenx^{2 p}1^q2x^{2 p}x^{q2 P}P. Hier haben wir benutztx ^p1^qxund^p1^qp1^q 1. Diese Eigenschaften gelten in jedem K ¨orper [benutze dazu das Distributivgesetz].

Man sieht daher, daß der K ¨orper der komplexen Zahlen keine Anordnung besitzen kann, denn

1i²ist ein Quadrat inC.

Bemerkung 1.2. Sei ^pK, ^q ein angeordneter K ¨orper. Dann gelten nach Definition 1.1 zus¨atzlich noch folgende Eigenschaften:

(1) Es gilt entwederx yoderxyoderx^¡y(im ausschließlichen Sinn) (2) Istx yundy z, dann istx z.

(3) Istx y, dann giltx z y zf¨ur allez^PK.

Beweis. (1) ist klar. Zu (2) beachte: Ausyx^PP undzy ^PP folgtzx^pzy^q

pyx^{q P}P P ^ŒP. Zu (3) beachte: Ausyx^¡0folgt^py z^qpx z^q yx^¡0.

Also folgtx z y zausx y.

Nat ¨urliche Zahlen. Wir bemerken, daß jeder angeordnete K ¨orper die nat¨urlichen Zahlen enth¨alt in der Form

N^t0,1,2,3, . . .^ut0, 1, 1 1, 1 1 1, . . .^u.

Beachte n¨amlich0   1, und wegen Eigenschaft (1) folgt dann durch Addition 1 0 1   1 1 2und dann analog21 1 3 1 1 1und so weiter. Insbesondere sind die Zahlen0,1,2,3, . . . damit paarweise verschieden. Die so definierte TeilmengeN^ŒKist unter Multiplikation und Addition abgeschlossen, wie man sofort mit Hilfe des Distributivgesetzes in K zeigt, und kann mit den nat¨urlichen Zahlen identifiziert werden.

Wegen der K ¨orperaxiome liegen daher die ganzen ZahlenZ^t. . . ,2,1,0,1,2, . . .^uals paarweise verschiedenen Zahlen in jedem angeordneten K ¨orper, und damit auch die Quotienten a^{bganzer Zahlenaundb ^0. Also ist der K ¨orper der rationalen Zahlen ein Teilk¨orper jedes angeordneten K ¨orpers:Q^ŒK.

Insbesondere enth¨altKnotwendigerweise unendlich viele Elemente. Endliche K ¨orper besit- zen daher keine Anordnung.

Es stellt sich nun die Frage, ob die Anordnung die charakteristischen Eigenschaften der reellen Zahlen Rbereits vollst¨andig beschreibt. Das ist nicht der Fall, denn der K ¨orper der rationalen Zahlen Qist auch ein angeordneter K ¨orper, aber verschieden vom K ¨orper der reellen Zahlen.

Wir wollen daher weitere Eigenschaften suchen, die charakteristisch f¨urRsind:

Definition 1.3. Ein angeordneter K¨orper^pK, ^qheißt archimedisch, wenn gilt: Jedesx ^P K ist kleiner als eine geeignete nat¨urliche ZahlnausN.

In einem archimedischen K ¨orper definiert man den Betrag^|x^|eines Elementx^PKwie folgt:

|x^| 0 gilt genau dann wenn x 0; und f¨ur x ^ 0sei per Definition ^|x^| xresp. x je nachdem obx ^P P oderx ^T P. Dann gilt nach Definition^|x^{| P} P f¨urx ^ 0, und man sieht sofort

|xy^||x^||y^|.

Definition 1.4. Ein archimedischer K¨orper ^pK, ^q heißt pythagor¨aisch, wenn gilt: Jede Zahl ausP ist ein Quadrat inK.

Der K ¨orperQder rationalen Zahlen ist archimedisch, aber nicht pythagor¨aisch.2ist positiv aber kein Quadrat inQ, weil die Gleichungn²2m²keine ganzzahligen L ¨osungenm, nbesitzt [Benutze die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung].

SeiK ein archimedischer K ¨orper. Zu jeder Zahly ^P P gibt es dann eine nat¨urliche Zahl n^PNmit der Eigenschaft0 η 1^{4f¨urη y^{n². Ist die positive Zahlη 1^{4ein Quadrat η ξ², dann auchy^pnξ^q2. Diese Bemerkung wird uns sp¨ater in Lemma 1.24 zeigen, daß ein vollst¨andiger archimedischer K ¨orper automatisch ein pythagor¨aischer K ¨orper ist.

In einem pythagor¨aischen K ¨orper besitzt jede nicht negative Zahly ^P K eine eindeutig be- stimmte nicht negative Quadratwurzel x₁ ^?y, d.h. eine eindeutig bestimmte nicht negative L ¨osungy1der Gleichungx²y 0. [ObdAy ^PP und es gibt eine L ¨osungx1 ^¡0nach An- nahme. Dann ist auchx₂x₁eine L ¨osung mitx₂ ^x₁wegenx₂ ^PP. In einem beliebigen

K ¨orper hat aber die Gleichungx²y^pxx₁^qpxx₂^q0h¨ochstens zwei L ¨osungen.] Der Absolutbetrag^|x^|einer Zahlx^PKkann daher in der Form^|x^|

?

x²geschrieben werden.

1.2 Die Euklidsche Norm

Wir wollen f¨ur einen pythagor¨aischen K ¨orperKdie Norm (oder auch L¨ange) eines Vektors imr-dimensionalen VektorraumK^rdefinieren. Betrachte denr-dimensionalen Standardvektor- raum

K^rtpx₁, . . . , x_r^q|x₁, . . . , x_r^PK^u

¨uber einem pythagor¨aischen K ¨orperK. Motivation: F ¨ur einen beliebigen Punktx^px₁, x₂, x₃^q im AnschauungsraumK³w ¨urde der Satz von Pythagoras den Abstandρvonxzum Nullpunkt liefern

x3

ρ

x₂ x1

px₁, x₂, x₃^q

c K³

durch die Formelρ² c² x²₃ ^px²₁ x²₂^q x²₃. Dadurch motiviert definiert man die Stan- dardnorm oder Euklidsche Norm auf demK^rf¨urx^px₁, .., x_r^qausK^rentsprechend als

kxk

b

x²₁ x²_r.

unter Benutzung von Satz 1.5. Offensichtlich giltkλxk |λ|kxkf¨ur alle SkalareλausK. Im eindimensionalen Fallr1istkxk|x|.

Satz 1.5. SeiK pythagor¨aisch und ein Vektorx ^px₁, . . . , x_r^{q P}K^rgegeben. Dann gilt:

x²₁ x²_r^PP oderx²₁ x²_r 0. Letzteres gilt genau dann, wenn x1 xr0.

Beweis. Den Beweis reduziert man durch Induktion nachrauf den Fallr 2. Dieser Fall sei als ¨Ubungsaufgabe gestellt.

Damit ist kvk wohldefiniert als Zahl in P ^Yt0^{u Œ} K. Man beachte hierbei: Ist ^pK, ^q pythagor¨aisch undx² y, dann gilty^PP^Yt0^u. Ist umgekehrty ^PP ^Yt0^u, dann giltx 0, fallsy 0undx,xsind die einzigen L ¨osungen, fallsy ^0. Genau eine davon liegt inP.

Definition 1.6. SeiKpythagor¨aisch. F¨urx, y^PK^rnennt man

px, y^qxyx1y1 xryr

das Standard-Skalarprodukt vonxundy.

Insbesondere giltkxk²xxf¨urx^px1, . . . , xr^qPK^r.

Satz 1.7 (Ungleichung von Schwarz). Seienx, y^PK^r. Dann ist

|xy|^®kxkkyk.

Gleichheit gilt genau dann, wennxundyproportional sind.

Beweis. ObdA seixty^0f¨ur allet^PK(d. h.xundyseien nicht proportional). Dann gilt

0 kxtyk², d. h.

0 ^pxty, xty^q

r

¸

i1

px_ity_i^q2 kxk²2t^px, y^q t²kyk², wegen^pxityi^q2

x²_i 2txiyi t²y_i². Sei nun o. B. d. A.y^0. Dann folgt t²2t^px, y^q

kyk²

kxk² kyk^{2 ¡}0

t²2t^px, y^q kyk²

px, y^q kyk²

2

¡ px, y^q2

kyk⁴ kxk² kyk²

t^px, y^q kyk²

2

¡

px, y^q2kxk²kyk² kyk⁴ . Setzt mantkyk^2px, y^q, dann folgt^px, y^q2kxk²kyk²  0.

Satz 1.8 (Dreiecksungleichung imK^r). Sei K pythagor¨aisch und seien x, y ^P K^r und λ^PK. Dann gilt^}λx^}|λ^|}x^}sowie^}x^}0x0, und

kx yk^®kxk kyk.

Beweis. Nach dem ¨Ubungsblatt 1 gen¨ugt eskx yk^{2 ®} kxk kyk

2

zu zeigen. Die linke Seite ist

px y, x y^qkxk² 2^px, y^q kyk², und die rechte Seite ist kxk kyk

2

kxk² 2kxkkyk kyk². Die Behauptung folgt daher aus2^px, y^q®2^|px, y^q|und der Schwarzschen Ungleichung

2^|px, y^q|®2kxkkyk.

Folgerung. Die Funktion^}.^}:V ^Ñ Kdefiniert eine Norm auf demK-VektorraumV, d.h.

es gilt: a)^}x^}¥0und^}x^}0^ðñx 0, b)^}λx^}|λ^|}x^}f¨ur alleλ^PK und allex^PV, c)^}x y^}¤}x^{} }}y^}f¨ur allex, y^PV.

1.3 Metrische R¨aume

Im Folgenden sei ^pK, ^q ein fest gew¨ahlter archimedischer K ¨orper (sp¨ater dann immer der K ¨orper der reellen Zahlen).

Definition 1.9. SeiXeine ganz beliebige Menge. Ein Tupel^pX, d^qmit einer Abbildung d:XX^ÑK, ^px, y^qÞÑd^px, y^q,

heißt metrischer Raum (bez¨uglichK), falls f¨ur die Abbildungdgilt:

(1) d^px, y^{q ¯}0f¨ur allex, y ^PX undd^px, y^q 0gilt genau dann, wennx y ist (Positi- vit¨at).

(2) F¨ur allex, y^PXistd^px, y^qd^py, x^q(Symmetrie).

(3) d^px, z^q®d^px, y^q d^py, z^qgilt f¨ur allex, y, z^PX(Dreiecksungleichung).

Man nennt die Funktiond^px, y^qdie Abstandsfunktion oder Metrik des metrischen Raumes

pX, d^q. In einem metrischen Raum gilt automatisch die folgende untere Dreiecksungleichung

|d^px, z^qd^px¹, z^q|®d^px, x^1q.

Beweis: Aus der Dreiecksungleichung d^px, z^{q ®}d^px, x^1q d^px¹, z^qfolgtd^px, z^qd^px¹, z^{q ®} d^px, x^1q. Durch Vertauschung vonxundx¹folgt daraus die Behauptung.

Ist^}.^}:V ^ÑKeine Norm auf einemK-VektorraumV, dann definiertd^px, y^q}xy^}eine Metrik aufV. [Beachted^py, x^q}yx^}}pxy^q}|1^|}xy^}}xy^}d^px, y^q sowied^px, z^q}xz^}}pxy^{q p}yz^q}¤}xy^{} }}yz^}d^px, y^q d^py, z^q.]

Das f¨ur uns wichtigste Beispiel eines metrischen Raumes ist der archimedische K ¨orper K selbst mit der Metrikd^px, y^{q |}xy^|. IstK ein pythagor¨aischer K ¨orper und ist^}.^}die Eu- klidsche Norm auf demr-dimensionalenK-VektorraumK^r, dann definiert

d^px, y^q kxyk

die sogenannte Standardmetrik aufV K^r. Den so definierten metrischen Raum nennt man denr-dimensionalen Euklidschen Raum.

1.4 Folgen in metrischen R¨aumen

Fast alle Aussagen der Analysis bauen auf den in diesem Abschnitt erl¨auterten Konzepten auf.

Wir beginnen mit dem Begriff einer Folge:

Definition 1.10. SeiXeine beliebige Menge. Eine Folge inXist eine Abbildung x:N0^t0,1,2,3, . . .^uÑX.

Anschaulich l¨aßt sich eine Folge als eine unendliche

”Durchnumerierung“ von Elementen interpretieren. Dies wirkt sich auch auf die Notation aus: Statt einer Abbildungsbeziehung, also einer Auflistung der Art

0^ÞÑx^p0^q, 1^ÞÑx^p1^q, 2^ÞÑx^p2^q,

...

verwenden wir Indizierungen zur Numerierung der betroffenen Elemente vonX, um die Folge zu beschreiben:

x^px₀, x₁, x₂, x₃, . . .^q.

Die Elementex₀, x₁, x₂,etc. heißen die Folgenglieder, bzw. kurz die Glieder vonx.

Bisher haben wir keine n¨aheren Anforderungen an die MengeXgestellt. Wir nehmen jetzt an, daßXein metrischer Raum ist. Wir wollen uns daher mit den Abst¨anden zwischen Folgegliedern befassen und durch folgende Definition insbesondere ganz bestimmte Folgen behandeln:

Definition 1.11. Sei^pX, d^qein metrischer Raum. Eine Folgex₀, x₁, x₂, . . . in^pX, d^qheißt Cauchyfolge, wenn zu jedemε^¡0ausKeine nat¨urliche ZahlN N^pε^qexistiert, so daß f¨ur allen, m^PN0gilt

n, m^¯N ^ñ d^pxn, xm^q ε.

Zur anschaulichen Bedeutung. Zun¨achst taucht hierbei die Zahl ε auf. Diese steht intuitiv gesprochen f¨ur etwas

”beliebig Kleines“. Man stellt sich dabei vor, dass egal wie kleinεgew¨ahlt wird, man trotzdem noch davon abh¨angende ZahlenN^pε^qwie behauptet finden kann. Man kann, wenn man nur weit genug mit dem Index geht, den Abstand zwischen Folgengliedern unter jede noch so kleine Schranke dr¨ucken. Anschaulich besteht das Wesen einer Cauchyfolge also darin, daß die Abst¨ande zwischen den Gliedern immer enger werden. Dies h¨angt substanziell von der gew¨ahlten Abstandsfunktion dab.

Definition 1.12. Eine Folgex₀, x₁, . . . in^pX, d^q heißt konvergent gegen einen Grenzwert x ^P X, wenn zu jedem ε ^¡ 0 einN N^pε^{q P} N0 existiert, so daß f¨ur allen ^¯ N^pε^qgilt d^px_n, x^q ε.

Zur Veranschaulichung. Wir fixieren einε^¡0und betrachten die offene Kugel Bε^px^{q t}y^PX^|d^px, y^q ε^u

umxmit dem Radiusε. F ¨ur eine gegenxkonvergierende Folgex_kliegen allex_kmitk^¯N^pε^q innerhalb vonBε^px^q. Dies sind fast alle (d.h. alle bis auf endlich viele) Folgenglieder der Folge, insbesondere immer unendlich viele. Dass immer nur endlich viele außerhalb einer beliebigen offenenε-Kugel, also inX^zB_ε^px^qliegen k¨onnen, soll die folgende Graphik veranschaulichen:

x ε

x₀ x₁ x₂

x3

x_N1

x_N

x_{N 1} x_{N 2}

Die Folgenglieder sammeln sich immer mehr in der N¨ahe vonx. Egal, wie kleinεwird, man findet immer unendlich viele Folgenglieder, deren Abstand zuxkleiner alsεist.

Nun nennen wir eine Folge^pxn^qn^PN₀ beschr¨ankt, wenn es y ^P Xund einC ^P K gibt, so daß f¨ur allengiltd^px_n, y^{q ®} C. Diesen Begriff wollen wir im Folgenden mit den bekannten Begriffen der Cauchyfolge und der konvergenten Folge verkn¨upfen:

Lemma 1.13. Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge. Jede Cauchyfolge ist beschr¨ankt.

Beweis. Zun¨achst beweisen wir die erste Aussage. Gegeben sei eine Folge ^pxn^qn^PN₀ mit ihrem Grenzwertx ^PX. Dann istd^px_n, x^{q  1}₂εf¨ur allen^¯N N^p1₂ε^q. Aus der Dreiecks- ungleichung

d^px_n, x_m^q®d^px_n, x^q d^px, x_m^q

folgt dannd^px_n, x_m^{q   1}₂ε ¹₂ε, alsod^px_n, x_m^q   ε, f¨ur allen, m ^¯ N. Somit ist^px_n^qeine Cauchyfolge.

Kommen wir nun zum zweiten Teil. Im Falleε1giltd^px_n, x_m^q 1f¨urn, m ^¯N nach der Cauchyeigenschaft. Setze nuny xN. Dann ist

d^px_n, y^qd^px_n, x_N^q 1

f¨ur allen^¯N. Also istd^pxn, y^q®C f¨urCmax d^px0, y^q, . . . , d^pxN1, y^q,1^q.

Lemma 1.14. Seix₀, x₁, . . . eine Folge in^pX, d^q, welche gegenx ^PXundy ^PXkonver- giert. Dann istxy.

Beweis. Wir f¨uhren einen Widerspruchsbeweis. W¨ared^px, y^{q ¡} 0, dann existiert f¨urε d^px, y^q wegen der Konvergenz der Folge xn ein N N^p1₂ε^q ausN0 mitd^pxn, x^{q   1}₂εf¨ur n ^¯N^p1₂ε^q. Analog existiert einM M^p1₂ε^{q P}Nmitd^px_n, y^{q   1}₂εf¨urn^¥M. Aufgrund der Dreiecksungleichungd^px, y^q®d^px, x_n^q d^px_n, y^qund der Symmetried^px, x_n^qd^px_n, x^q folgt f¨ur allen^¯max^pN, M^q

d^px, y^q  ε .

Wir erhalten einen Widerspruch zu der Annahmeεd^px, y^q. Es folgtxy.

Dieses Lemma rechtfertigt es von dem Grenzwert einer Folge zu sprechen. Daß eine Folge

px_n^q_nPNgegen einen Grenzwertx^PXkonvergiert, wird h¨aufig durch folgende Schreibweisen

nlim^Ñ8xnx oder

x_n^ÝÝÝÑ

n^Ñ8 x

angedeutet. Bei letzterer Schreibweise wird der Ausdruckn^Ñ8teilweise auch ¨uber den Pfeil geschrieben oder ganz weggelassen.

Eine Teilfolge einer gegebenen Folge^pxn^qn^PNist eine Auswahl^pxn_k^qk^PN, die ihrerseits auch wiederum eine Folge ist und deren Glieder allesamt auch in dieser Reihenfolge (jedoch mit beliebig großen L ¨ucken dazwischen) Glieder der Folge^px_n^q_nPNsind. Zum Beispiel ist die Folge

x0, x2, x4, x6, . . .

eine Teilfolge einer Folge^px_n^q_nPN, bei der jedes zweite Glied (immer genau die mit ungeradem Index) herausgenommen wurde. Diesen Begriff wollen wir nun noch mit dem Begriff einer be- schr¨ankten Folge verkn¨upfen. Nicht jede beschr¨ankte Folge ist konvergent. So hat beispielsweise die Folgex_n^p1^qnkeinen Grenzwert, ist aber beschr¨ankt.

1.5 Die geometrische Folge

Lemma 1.15. In einem archimedischen K¨orperKkonvergiert im Fall^|q^| 1jede geome- trische Folgex_nCqⁿgegen Null.

Beweis. Seiε ^¡ 0 gegeben. Nach Annahme gilt ^|q^|   1und damit^|q^{|1 ¡} 1. Somit hat man^|q^|1 1 xf¨ur einx^¡0. Die Ungleichungd^pCqⁿ,0^q  εist dann ¨aquivalent zu der Ungleichung

C^{ε ^p1 x^qn.

Man zeigt aber leicht^p1 x^{qn ¯}1 nxmittels Induktion nachn. Im Falln0undn1 ist dies trivialerweise richtig. Ist n ^¯ 1, dann ist ^p1 x^qn gr¨oßer als 1 nx verm ¨oge der Induktionsannahme^p1 x^{qn1 ¯}1 ^pn1^qxwegen

p1 x^qp1 x^{qn1 ¯p}1 x^qp1 ^pn1^qx^q1 nx ^pn1^qx^2¯1 nx .

Das Archimedische Axiom garantiert die Existenz einer nat¨urlichen ZahlNgr¨oßer alsC^{xε 1^{x. F ¨ur allen^¯Ngilt dann

C^{ε 1 nx . Daraus folgt wegen1 nx^®p1 x^qndas Lemma.

Dies hat die folgende Konsequenz: Die geometrische Reihe s_n 1 q q² qⁿ konvergiert f¨ur|q| 1und hat in diesem Falle den Grenzwert

lim_nÑ8

°n

i0qⁱ ₁¹

q. Dies folgt aus der verallgemeinerten Binomialformel

p1q^qp1 q q^nq1q^{n 1} , die man leicht durch Induktion nachnbeweist. Diese Formel zeigts_n1¹

q

q^{n 1} 1q . Also d

sn, 1 1q

C^|q^|n f¨urC ^|q^{p1q^q|. Aus dem letzten Lemma folgt daher d^ps_n,₁¹

q^q   εf¨urn ^¯ N^pε^q. Das zeigt die Behauptung. Analog zeigt man

Lemma 1.16. In einem archimedischen K¨orperKkonvergiert im Fall^|q^| 1die geometri- sche Reihes_n

n

°

i0

cqⁱgegen den Grenzwert ₁^c

q.

1.6 Vollst¨andige metrische R¨aume

Definition 1.17. Ein metrischer Raum^pX, d^qheißt vollst¨andig, wenn jede Cauchyfolge in

pX, d^qkonvergiert.

Definition 1.18. Ein metrischer Raum^pX, d^q heißt folgenkompakt, wenn jede Folge aus

pX, d^qeine konvergente Teilfolge besitzt.

Ein folgenkompakter metrischer Raum ist automatisch vollst¨andig, denn eine Cauchyfolgexn

konvergiert gegenxgenau dann wenn eine Teilfolge der Cauchyfolge gegenxkonvergiert.

Definition 1.19. Eine Teilmenge Aeines metrischen Raumes^pX, d^q heißt abgeschlossen, wenn gilt: Seixn^PAeine in^pX, d^qkonvergente Folge mit Grenzwertx lim

n^Ñ8xn ^PX, dann giltx^PA.

Beispiel 1.20. Die Intervalle^ra, b^s, oder auch ^ra,^{8q t}x ^P K^|x ^¯ a^uoder^p8, a^s

tx^PK^|x^®a^u, sind abgeschlossene Teilmengen inK.

Beweis. Wir zeigen pars pro toto, daß f¨ur eine Folgex₀, x₁, . . . von Zahlen inK mit dem Grenzwert xgilt: Aus xn ^¯ af¨urn 0,1, . . . folgt auch x ^¯ a. Dies sieht man wie folgt:

W¨arex a, dann giltd^px_n, x^q εf¨ur fast allenbei Wahl vonε:ax^¡0. Anderseits gilt dann aber auch

d^px_n, x^qx_nxxlo_nomoona

¯0

ax

loomoon

ε

¯ε f¨ur allen, und wir erhalten einen Widerspruch.

Analog sind Quader der GestaltA^ra₁, b₁^s...^ra_r, b_r^sabgeschlossene Teilmengen des Euklidschen RaumesR^r.

Satz 1.21. Jede abgeschlossene TeilmengeAeines vollst¨andigen metrischen Raumes^pX, d_X^q versehen mit der eingeschr¨ankten Metrik ist ein vollst¨andiger metrischer Raum^pA, dX^q.

Beweis. Sei eine Cauchyfolgex_nin^pA, d^qgegeben. Dann ist per Definitionx_neine Cauchy- folge in^pX, dX^q. Nach Annahme existiert alsox lim

n^Ñ8xnin^pX, dX^q. WeilAabgeschlossen ist, giltx^PA. Also ist per definitionemx^PAder Grenzwert vonx_nin^pA, d_X^q.

Satz 1.22. Jede folgenkompakte TeilmengeAeines metrischen Raumes^pX, dX^q(aufgefasst als metrischer Raum durch Einschr¨ankung der Metrik) ist beschr¨ankt und abgeschlossen in

pX, d_X^q.

Beweis. W¨are A nicht beschr¨ankt, g¨abe es eine Folge x_n aus A mit d_X^px₀, x_n^{q ¯} n.

Dies liefert einen Widerspruch, denn f¨ur jede Teilfolge x˜_n einer solchen Folge gilt erst recht dX^px0,x˜n^{q ¯} n. Somit bes¨asse xnkeine konvergente (und damit beschr¨ankte) Teilfolge. Ein Widerspruch zur Folgenkompaktheit vonA!

Um zu zeigen, daß A abgeschlossen ist, betrachten wir eine beliebige Folge x_n aus Amit Grenzwertxin^pX, dX^q. Dann konvergiert aber auch jede Teilfolgex˜nder Folgexngegen den Grenzwertxin^pX, d_X^q. Anderseits ist^pA, d_X^qfolgenkompakt nach Annahme. Somit existiert eine konvergente Teilfolgex˜_nder Folgex_nmit einem Grenzwerta^PA. Aus der Eindeutigkeit des Grenzwertes (Lemma 1.14) folgt daherx a. Somit istx^PA. Also istAeine abgeschlos- sene Teilmenge von^pX, dX^q.

1.7 Der Banachsche Fixpunktsatz

Satz 1.23. Sei^pX, d^qein vollst¨andiger metrischer Raum undF: X ^Ñ Xeine kontraktive Abbildung eines metrischen Raumes^pX, d^qin sich, d. h. es gebe eine reelle Konstante0 κ 1 mit

d F^pξ^q, F^pη^q

®κd^pξ, η^q