Kerne und Kernumwandlungen, Nuklidkarte 24

7.2 Kernphysik

Kerne und Kernumwandlungen, Nuklidkarte 24

a)

Resultat:

bester Exponent: x = 0.27, also nicht ganz 1/3 bester Radius: r ₁ = 2.1 fm

b)

Material Helium Sauerstoff Strontium Antimon Gold Wismut Kernradius

r in fm

3.0 4.6 7.0 7.8 8.5 8.9 Nukleonenzahl 4 16 89 122 197 209 Näherung in fm 2.3 3.7 6.5 7.2 8.5 8.7

Relativer Fehler 23% 20% 7% 8% 0% 2%

Die Näherung ist für grosse Nukleonenzahlen A gut.

25

a) ₃ ^{17 3}

3 0

kg/m 10

3 . 4 2

3 3

4 = ⋅

= ⋅

= ⋅

= r

m r

A m V

m _{n n}

π π

ρ ⁽ m _n = ^{1 . 661} ⋅ ^{10 − 27 kg} )

b) Die Masse der Erde beträgt m = 5 . 97 ⋅ 10 ²⁴ kg . Ihr Volumen wäre dann = = 2 . 61 ⋅ 10 ⁷ m ³ .

ρ

V m

Das ist eine Kugel mit dem Radius 184 m 4

3 3 =

= π

R V .

1 3

rA

26

a) Beachten Sie: A = N + Z

N ≅ 0 . 691 ⋅ Z ^{1 . 174}

b) Ni hat 28 Protonen, und damit werden 35 ( ≈ 0 . 691 ⋅ 28 ^{1 . 174} ) Neutronen erwartet, die Nukleonenzahl müsste demnach 63 sein.

Tatsächlich hat Nickel 58 bis 65 Nukleonen.

Sn hat 50 Protonen, und damit werden 68 Neutronen erwartet, die Nukleonenzahl müsste demnach 118 sein. Tatsächlich hat Zinn 112 bis 124 Nukleonen.

27

4 He

2 , ¹⁶ ₈ O , Ca ⁴⁰ ₂₀ , Ca ⁴⁸ ₂₀ , Pb ²⁰⁸ ₈₂

56 Ni

28 ist magisch, hat aber zu wenige Neutronen und ist deshalb instabil.

132 Sn

50 ist auch magisch, hat aber zu viele Neutronen und ist instabil.

28

218 214 214 214

84 82 83 84

( , , ) Po α β β → Pb → Bi → Po

218 218 214 214

84 85 83 84

( , , ) Po β α β → At → Bi → Po

218 218 218 214

84 85 86 84

( , , ) Po β β α → At → Rn → Po

29

a)

U235

7.0 10⁸a

Th 231

25.5 h

Pa231

3.3 10⁴a

Ac227

21.8 a

Th 227

18.7 d

Ra 223

11.4 d

Rn 219

3.96 s

Fr 223

21.8 m

At 219

0.9 m

Bi 215

7.6 m

Po215

1.8 ms

At 215

0.1 ms

Pb211

36.1 m

Bi 211

2.17 m

Po211

0.52 s

Tl 207

4.8 m

Pb207

22.1 %

U 238

4.5 10⁹a

Th234

24.1 d

Pa234

1.17 m

U 234

2.5 10⁵a

Th 230

7.5 104a

Ra 226

1.6 10³a

Rn 222

3.83 d

Po218

3.05 m

At 218

2 s

Pb 214

26.8 m

Bi 214

19.9 m

Po 214

3 107s

Tl 210

1.3 m

Pb 210

22.3 a

Bi 210

5 d

Po 210

138 d

Tl 206

4.2 m

Pb 206

24.1 %

Th232

14 Mia a

Ra 228

5.75 a

Ac228

6.1 h

Th 228

1.9 a

Ra 224

3.66 a

Rn 220

55.6 s

Po 216

0.15 s

At 216

0.3 ms

Pb 212

10.6 h

Bi 212

61 m

Po 212

46 s

Tl 208

3.1 m

Pb 208

52.4 %

Pu 241

13.4 a

Am241

432 a

Np 237

2.1 10⁶a

Pa233

27 d

U233

1.6 10⁵a

Th 229

7.9 103a

Ra 225

14.8 d

Ac225

10.0 d

Fr 221

4.9 m

At 217

0.03 s

Bi 213

45.6 m

Po213

4.2 s

Tl 209

2.16 m

Pb209

3.25 h

Bi 209

100 %

b) Uran-Radium Zerfallsreihe: U ²³⁸ ₉₂ , Ra ²²⁶ ₈₈ , Pb ²⁰⁶ ₈₂ Neptunium-Zerfallsreihe: Pu ²⁴¹ ₉₄ , Np ²³⁷ ₉₃ , Bi ²⁰⁹ ₈₃ Uran-Actinium-Zerfallsreihe: U ²³⁵ ₉₂ , Ac ²²⁷ ₈₉ , Pb ²⁰⁷ ₈₂ Thorium-Reihe: Th ²³² ₉₀ , Pb ²⁰⁸ ₈₂

Bindungsenergie 30

a) Das ²⁷ Al-Atom setzt sich aus 13 Protonen, 14 Neutronen und 13 Elektronen zusammen. Die Summe der Massen seiner Bestandteile beträgt

13( m _p + m _e ) 14 + m _n = 27.22303 u

Das Massendefizit des Kerns beträgt demnach 27.22303u − 26.98154u = 0.24149u.

b) Pro Nukleon sind dies 8.9441 mu, was einer Energie von 1 . 3348 ⋅ 10 ^{− 12} J entspricht.

c) Aluminium besteht zu 100% aus ²⁷ Al-Atomen. 1.0 kg Aluminium enthält

23 25

1000 6.02 10 Atome 2.23 10 Atome.

26.98 ⋅ ⋅ = ⋅

Jedes Atom weist eine Bindungsenergie von 0.2415 u ! 3.60 10 ⋅ ^{− 11} J auf.

Ein Kilogramm Aluminium weist demnach die Bindungsenergie J

10 8.03 J

10 60 . 3 10 23 .

2 ⋅ ²⁵ ⋅ ⋅ ^{− 11} = ⋅ ¹⁴ auf.

Rechnet man mit einem Energiepreis von 15 Rp/kWh, so entspricht dies einem Kapital von 33 Millionen Franken.

31

ν e

β + +

→ p ⁻ n

Masse des Neutrons: m _n = 1 . 6749272 ⋅ 10 ^{− 27} kg Masse des Protons: m _p = 1 . 6726216 ⋅ 10 ^{− 27} kg Masse des Elektrons: m e = 0 . 0009109 ⋅ 10 ^{− 27} kg Masse des Neutrinos: m ν ≈ 0

Das Massendefizit beträgt: ∆ m = m _n − ( m _p + m _e + m _ν ) = 1 . 3947 ⋅ 10 ^{− 30} kg Die Zerfallsenergie ist ∆ ⋅ = m c ² 1.2535 10 ⋅ ^{− 13} J 0.78237 MeV. !

Das ist die obere Grenze für die Energie des β ⁻ -Teilchens. Einen wesentlichen Teil dieser Energie nimmt das Neutrino mit. Einen kleinen Bruchteil erhält das Proton durch den Rückstoss.

32

Die Masse des Protons beträgt 1 . 672622 ⋅ 10 ^{− 27} kg . Das Deuterium weist eine Atom- masse von 2.0141018 u auf. Das sind 3 . 344494 ⋅ 10 ^{− 27} kg. Dies entspricht gerade der Masse des Deuteriumkerns und des Positrons zusammen, weil das Deuteriumatom ein Elektron in der Schale hat. Das Massendefizit beträgt demnach

kg 10 5 . 7 kg 10 344494 .

3 kg 10 672622 .

1

2 ⋅ ⋅ ^{− 27} − ⋅ ^{− 27} = ⋅ ^{− 31}

=

∆ m

J 10 74 .

6 ¹⁴

2 = ⋅ −

⋅

∆

= m c

E pro Fusion.

Zusätzlich hat man die Energie 16 . 37 ⋅ 10 ^{− 14} J aus der Fusion des Positrons mit einem Elektron.

Das ergibt total 23 . 11 ⋅ 10 ^{− 14} J pro Fusion.

1 Gramm Deuterium enthält etwa 2 . 99 ⋅ 10 ²³ Atome. Die bei der Bildung von 1 Gramm Deuterium aus der Fusion von Protonen frei werdende Energie beträgt 69.1 GJ.

33

a) Die Atommasse von ²³⁵ U beträgt 235.044 u. Dieses Atom enthält 92 Protonen, 143 Neutronen und 92 Elektronen. Die Summe der Massen dieser Bestandteile beträgt 236.959 u. Das gesamte Massendefizit beträgt also 1.915 u. Das ergibt pro Nukleon 8.15 mu, was einer Kernbindungsenergie von 1 . 218 ⋅ 10 ^{− 12} J pro Nukleon entspricht.

b) Die Atommasse von ¹²⁷ I beträgt 126.904 u. Dieses Atom enthält 53 Protonen, 74 Neutronen und 53 Elektronen. Die Summe der Massen dieser Bestandteile beträgt 128.056 u. Das gesamte Massendefizit beträgt also 1.152 u. Das ergibt pro Nukleon 9.07 mu, was einer Kernbindungsenergie von 1 . 356 ⋅ 10 ^{− 12} J pro Nukleon entspricht.

c) Pro Spaltung wird die Energie 235 ⋅ ( 1 . 356 ⋅ 10 ^{− 12} − 1 . 218 ⋅ 10 ^{− 12} ) J = 3.24 ⋅ 10 ^-11 J frei.

d) In einem Kilogramm ²³⁵ U sind

235 10 02 .

6 ⋅ ²⁶ Kerne enthalten, die insgesamt eine Energie von 8 . 3 ⋅ 10 ¹³ J liefern.

e) Die vom KKW Gösgen in einem Jahr produzierte elektrische Energie beträgt

9 16

tot 330 24 3600 10 J 2.9 10 J.

E = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

f) Das KKW benötigt also mindestens E η ^tot = 8.7 10 ⋅ ¹⁶ J pro Jahr aus der Kernspaltung.

Weil aus 1 kg ²³⁵ U auch etwa 1 kg (999 g) Spaltprodukte entstehen, erzeugt das KKW Gösgen mindestens ₁₃

16

10 3 . 8

10 7 . 8

⋅

⋅ kg Spaltprudukte pro Jahr. Das ist rund 1 t pro

Jahr.

Zerfallsgesetze 34

a) Anzahl «Atome» zu Beginn: N ₀

Nach der n-ten Runde sind noch ( 1 − p ) ⁿ N ₀ «Atome» vorhanden.

Aus ( 1 − p ) ⁿ N ₀ = N ₀ / 2 folgt

( ^p )

n −

= − 1 ln

2 ln b) Für p = 1 / 6 :

( ^p )

n −

= − 1 ln

2

ln ; 4 Für p = 1 / 3 :

( ^p )

n −

= − 1 ln

2

ln ; 2 c) p = 1 − 2 ^{− 1 / n} ; 0.13

d) Der Aktivität entspricht die Zahl der Einerwürfe pro Runde. Diese «Atome»

zerfallen nämlich in der Zeitspanne bis zum nächsten Wurf.

35

0

0 0

0.05

x x

I I e e

I I

µ µ

− ⋅ − ⋅

= = ⋅ = ^{⇒ x = −} _µ ^{1 ln 0.05} ( ) ; 0.46 mm

36

d _W = d − d _K

2 , k = I ₀

I = e ^{2 µ}

^W

^d

^W

^{+ µ}

^K

^d

^K

= e ^µ

^W

^{(d −d}

^K

^{)+ µ}

^K

^d

^K

= e ^µ

^W

^{d +( µ}

^K

^{− µ}

^W

^)d

^K

; d _K = lnk − µ W d µ K − µ W

37

a) 0.72 : 99.28

b) Halbwertszeit Uran-235: 7.04·10 ⁸ a; Halbwertszeit Uran-238: 4.46·10 ⁹ a c) Anfangsverhältnis: q ₀

Heutiges Verhältnis: q _h Halbwertszeit Uran-235: τ ₂₃₅ Halbwertszeit Uran-238: τ ₂₃₈

( )

235 238 0

238 235

ln ln 2

h

q t q

τ τ

τ τ

 

 

 

= − ; 6.5·10 ⁹ a

38

a) A: Die Anzahl Zerfälle pro Sekunde in der Probe (hier also 0.25 Bq)

A 0 : Die Anzahl Zerfälle pro Sekunde in der gleichen Menge einer frischen Pflanze (hier also 30.6 Bq)

λ 2 ln

2

1 =

T : Die Halbwertszeit (5730 Jahre für ¹⁴ C)

0

ln A t A

λ

 

 

 

= − ; 40·10 ³ Jahre

b) A

t = ∆ A

∆ λ

1 ; 3·10 ² Jahre, also [39'700 Jahre, 40'300 Jahre]

oder Sie wiederholen die Rechnung mit A' = 0.258 Bq und A'' = 0.242 Bq.

Dies ergibt: t' und t''.

Die Differenzen zu t betragen:

t – t' = 3·10 ² Jahre und

t'' – t = 3·10 ² Jahre

(Achtung es ist nur eine Stelle signifikant)

39

a) Annahme: Alles Blei stammt aus dem Uran N 0 : Anzahl Uran-Atome als der Stein erstarrte N U : aktuelle Anzahl Uran-Atome im Stein N Pb : aktuelle Anzahl Blei-Atome im Stein

λ 2 ln

2

1 =

T : Die Halbwertszeit von Uran-238 Aus N U = N 0 e ^{− λ t} und N ₀ = N _U + N _Pb folgt

Pb Pb

Pb U Pb

ln ^U ln 1 ln 1 ^U

U U

N N m M

N N N m M

t λ λ λ

     

+ +

 +     

     

= = =

− ; 3.24 Milliarden Jahre

b) Angenommen, der Stein hat schon Blei enthalten, dann ist der Stein jünger.

Bei den 3.24 Milliarden Jahren handelt es sich also um eine obere Grenze.

Aktivität

40

a) ₀ ^{0 10 10}

1/ 2 1/ 2

ln 2 ^A ln 2 3.66 10 Bq (man definiert 1Ci 3.70 10 Bq)

N mN

A = T = MT = ⋅ = ⋅

b) Bis heute (2004) sind seit 1898 106 Jahre verstrichen. ₀ 2 ^{1/ 2} 0.956 ₀

t

A A = ⋅ ⁻ T = A ; Abnahme um 4.45%

41

a) ₀ ^{0 11}

1/ 2 1/ 2

ln 2 ln 2

1.7 10 Bq N mN A

A = T = MT = ⋅

b) 1 . 6 10 m/s

2 J m 10 49 . 8 ˆ MeV 30 .

5 = ⋅ ¹³ = ² ⇒ = ⋅ ⁷

= ⁻ v v

E _α

c) P = A E ₀ ⋅ _α = 0.14 W d)

Pb

3.9 C T P t

∆ = cm = °

42

1 Gramm ¹³¹ I hat eine Aktivität von ₀ ¹⁵

1/ 2

ln 2 4.6 10 Bq mN A

A = M T ⋅ = ⋅

Damit kann man rund 10 ¹² Liter Milch vergiften. Das entspricht der gesamten schweizerischen Milchproduktion von über 280 Jahren!

43

0

e ^t 0.10 I

I

− λ

= = mit _{1 2}

1 2

ln 2 ln10

t ln 2 T

λ = T ⇒ = ⋅ ; 5300 a

44

Index 1 für ¹⁰⁸ Ag und Index 2 für ¹¹⁰ Ag.

0 2

1 A A

A + = =35 kBq,

2 1 2 1 , 1

2 1 , 2 2 1 2 1 2 1

N N T T N N A

A = =

λ

λ _, 1

2

51.839 110 48.161 108 N

N

= ⋅

⋅ ,

2 1 ,

T 1 : 24.6 s und T _{2 , 1 2} : 2.37 min

0

1 2 1,1/ 2

1 2,1/ 2

1 A A

N T N T

= +

; 5.6 kBq ₂ ⁰

1 2,1/ 2 2 1,1/ 2

1 A A

N T N T

= +

; 29 kBq

Zu Beginn gehen 5.6 kBq auf das Konto von ¹⁰⁸ Ag und 29 kBq auf das von ¹¹⁰ Ag.

Radiometrische Grössen 45

a) 2 Wochen b) 26 mSv

46

a) In 18 g Wasser hat es 2 mol Wasserstoffatome.

In 1 Liter Wasser hat es 2 6 . 02 10 ²³ 6 . 65 10 ²⁵ 18

1000 ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ Wasserstoffatome.

Davon sind 2 . 22 ⋅ 10 ⁸ Tritiumatome.

Bq, 40 . 2 0

ln

0 2 / 1

0 = ⋅ N =

A T also weniger als 1 Zerfall pro Sekunde.

b) Weil T _Biol << T _Radiol ist, können Sie T 1/2 = T Biol = 12 d verwenden.

% 6 . 5 056 . 0 1

1 ¹²

2 2 ln

ln

0

2 /

1 = − = =

−

∆ = e ⁻ e ⁻

N

N _T ^t

c) Pro Tag werden 4 . 44 ⋅ 10 ⁸ Tritiumatome aufgenommen (siehe Teilfrage a)).

So viele müssen in einem Tag wieder verschwinden, d.h. 5.6% von x muss 10 8

44 .

4 ⋅ ergeben. Daraus folgt x = 7 . 9 ⋅ 10 ⁹ Tritiumatome im Körper.

d) Die Aktivität des Tritiums bleibt konstant: ln 2 14 Bq.

2 / 1

=

⋅

= x

A T

e) Die Äquivalentdosis in einem Jahr ist 6 . 3 nSv.

3

1 ⋅ ∆ =

⋅

⋅

= A E t

m

H q _β

Diese Dosis ist gegenüber der restlichen „natürlichen“ Dosis von 4 mSv/a völlig irrelevant.

47

a) ⁴⁰ K → ⁴⁰ Ca + β ⁻ + ν

b) Die folgende Rechnung gilt für ein Körpergewicht von 75 kg. Darin hat es 150 g Kalium. Davon sind m = 18 mg ⁴⁰ K. ln 2 4 . 7 kBq.

2 / 1

0 = ⋅ ⋅ N _A =

M m

A T Da die

Halbwertszeit sehr gross ist, bleibt die Aktivität während eines Jahres nahezu konstant. In einem Jahr registriert der Körper also A ₀ ⋅ ∆ t = 1 . 5 ⋅ 10 ¹¹ Zerfälle .

c) Sv/a 0.16 mSv/a

75

10 6 . 1 5 . 0 10 5 .

1 ⋅ ¹¹ ⋅ ⋅ ⋅ ¹³ =

= ⁻

H

48

a) ⁹⁰ Sr → ⁹⁰ Y + β ⁻ + v

b) 6 . 02 10 6 . 7 10 ergibt 5 . 1 MBq

g 90

g mit 10

2 ln

0 15

6 23 0

2 / 1

0 = 0 N = ⁻ ⋅ ⋅ = ⋅ A =

T A N

c) Wegen der relativ grossen Halbwertszeit von 28 Jahren, bleibt die Aktivität im ersten Jahr etwa konstant. Die Äquivalentdosis im ersten Jahr beträgt demnach

0 1 ; 0.17 Sv.

3

H q A E t

m ^β

≈ ⋅ ⋅ ⋅ ∆

d) Leukämie ist eine Störung der Bildung von Blutkörperchen.

49

2 2

10 0 ; 90 Bq 8 h 365 0.3 mSv/h 9 1 m 10 Bq 0.5 m

p

H A t h r r

   

= ⋅ ⋅ ⋅     ⋅ ⋅ ⋅ ⋅     ; 3·10 ^–4 mSv

also etwa 0.3 Sv µ pro Jahr. Die jährliche Strahlungsbelastung der Schweizer

Bevölkerung ist im Mittel 4 mSv. Diese zusätzliche Belastung wäre also absolut

vernachlässigbar.