Dr. Regula Krapf Wintersemester 2019/20
Lineare Gleichungssysteme
Aufgabe 1. Betrachten Sie das Gleichungssystem
(I) x+ 2y= 5 (II) 2x+ 3y= 8
Welche Methoden zur Lösung dieses Gleichungssystems kennen Sie? Geben Sie zwei verschiedene Lösungswege an.
Wir betrachten jetzt ein allgemeines lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbe- kannten:
(I) a11x+a12y=b1 (II) a21x+a22y=b2
Geben Sie eine geoemtrische Interpretation des Gleichungssystems. Der Einfachheit halber seien a12, a22,0. Welche Möglichkeiten für die Anzahl Lösungen gibt es?
Definition. Einlineares Gleichungssystembestehend ausmGleichungen innUnbekannten ist ein System von Gleichungen der Form
a11x1+. . .+a1nxn=b1 a21x1+. . .+a2nxn=b2 ... ... ... am1x1+. . .+amnxn=bm.
Üblicherweise stellt man ein solches Gleichungssystem kompakt in Matrixschreibweise dar:
Ax=b, wobei
A=
a11 . . . a1n ... ... am1 . . . amn
, x=
x1
... xn
undb=
b1
... bm
.
Dabei wirdAals (m×n)-Matrixbezeichnet, undxist ein Vektor mitnEinträgen. Die Menge aller (m×n)-Matrizen (mit Einträgen inR) wird als Rm×n bezeichnet, die Menge aller Vektoren mitn Einträgen (ausR) wird alsRnbezeichnet.
DieMatrix-Vektor-Multiplikationist dabei definiert als
A·x:=
a11x1+. . .+a1nxn ...
am1x1+. . .+amnxn
.
DieLösungsmengeist dann
Lös(A, b) :={x= (x1, . . . , xn)∈Rn|Ax=b}.
Beispiel. Stellen Sie das lineare Gleichungssystem aus Aufgabe 1 in Matrixschreibweise dar.
Definition. SeiAeine Matrix mit Einträgenaij,i∈ {1, . . . , m}, j∈ {1, . . . , n}. Ein Eintragaij,0 vonA heißtPivotelement, falls es in jeder Zeile einen Eintragaij (genanntPivotelement) gibt, für welches alle Einträge links vonaij und alle Elemente unterhalb bzw. links unterhalb vonaij gleich 0 sind.
Genauer: In deri-ten Zeile gibt es einen Eintragaij, sodassail= 0 für allel < j undakl= 0 für alle k > iundl≤j.
Eine Matrix in Zeilenstufenform sieht beispielsweise wie folgt aus:
∗ × × × ×
∗ × × ×
∗ × ×
0
∗
,
wobei∗einen Eintrag inR\ {0}und×einen beliebigen Eintrag inRdarstellt.
Beispiel. Geben sie alle Möglichkeiten an, wie eine 2×2-Matrix in Zeilenstufenform aussehen kann, d.h. verschiedenen Möglichkeiten, wie die Pivotelemente verteilt sind.
Aufgabe 2. Geben sie alle Möglichkeiten an, wie eine 3×3-Matrix in Zeilenstufenform aussehen kann, d.h. verschiedenen Möglichkeiten, wie die Pivotelemente verteilt sind.
Man kann jede Matrix durchelementare Zeilenumformungenin Zeilenstufenform bringen: Elemen- tare Zeilenumformungen sind:
• Vertauschung von Zeilen;
• Multiplikation aller Einträge einer Zeile mit demselben Faktorλ∈R\ {0};
• Addition desλ-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile für einλ∈R. Beispiel. Bringen Sie die folgende Matrix in Zeilenstufenform:
2 3 −1 1 −3 4 5 −6 11
Aufgabe 3. Bringen Sie die folgende Matrix in Zeilenstufenform:
0 1 2 9 3 4 5 9 6 7 8 9 9 9 9 9
Um ein lineares GleichungssystemAx=bzu lösen, erweitert man die Matrix und fügt den Vektor bals zusätzliche Spalte hinzu:
Definition. SeiA∈Rm×nundb∈Rm. Dann definiert man die (umb)erweiterte MatrixvonAals
(A, b) :=
a11 . . . a1n b1 ... ... ... am1 . . . amn bm
.
Satz. Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ändert sich nicht durch elementare Zeilenumformungen:
(1) Vertauschung von Zeilen;
(2) Multiplikation einer Zeile mit einem Faktorλ∈R\ {0};
(3) Addition eines Vielfachen einer Zeile zur anderen Zeile.
Umformungen der Form (1), (2) und (3) werden alselementare Zeilenumformungenbezeichnet.
Beweis.
Um ein lineares GleichungssystemAx =b zu lösen, bringt man (A, b) in Zeilenstufenform, d.h.
man erhält eine Matrix (A0, b0). Gemäß dem Satz gilt Lös(A, b) = Lös(A0, b0), und Lös(A, b) lässt sich leicht bestimmen. Dieses Verfahren wird alsGauß-Algorithmusbezeichnet.
Beispiel. Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme:
(1) 2x1−3x2+ 4x3= 8 (2) 2x1+ 3x2− x3= 12 3x1+ 4x2−5x3=−4 x1−3x2+ 4x3= −12 4x1−6x2+ 3x3= 1 5x1−6x2+ 11x3=−24
Aufgabe 4. Ist das lineare Gleichungssystem (2) aus dem obigen Beispiel immer noch lösbar, wenn man die Zahl−24 durch eine beliebige Zahlc,−24 ersetzt?
Aufgabe 5. Welche der linearen Gleichungssysteme gegeben durch folgende erweiterte Matrizen sind lösbar? Falls sie lösbar sind, sind sie eindeutig lösbar? Falls es mehrere Lösungen gibt, welche Variablen sind unabhängig?
(1)
1 2 3 0 1 1
(2)
1 2 3 1 0 0 0 1
(3)
1 2 3 1 0 0 0 0
(3)
0 2 3 1 0 0 4 1
Wir geben nun ein Kriterium an, mit welchem man feststellen kann, wie viele Lösungen ein linea- res Gleichungssystem besitzt:
Definition. DerRangeiner MatrixA, in Zeichen rg(A), ist die Anzahl der Zeilen in der Zeilenstu- fenform vonA, welche nicht aus Nullen bestehen.
Satz. Ein lineares GleichungssystemAx=bfür eine MatrixA∈Rm×nundb∈Rn (1) istnicht lösbar, falls rg(A)<rg(A, b).
(2) isteindeutig lösbar, falls rg(A) = rg(A, b) =n.
(3) hatunendlich viele Lösungen, falls rg(A) = rg(A, b)< n.
Aufgabe 6. Bringen Sie das folgende lineare Gleichungssystem in Zeilenstufenform. Beschreiben Sie die Lösbarkeit des Gleichungssystems in Abhängigkeit vonc.
x1+ 2x2−3x3= 3
−x1+ 6x2−5x3= 21
−3x1+ 2x2+ x3= 3c
