Aufgabe2: W¨armekapazit¨aten Aufgabe1: Energieumwandlung Musterl¨osung¨Ubung4

Physikalische Chemie I Musterl¨osung ¨Ubung 4 FS 2008

Musterl¨ osung ¨ Ubung 4

Aufgabe 1: Energieumwandlung

a) Zum L¨osen dieser Aufgabe geht man davon aus, dass die gesamte potentielle Energie des WassersE_pot =ghm, zur Erw¨armung desselben verwendet wird, wobeihdie Fallh¨ohe und m die Masse des Wassers ist. Die ¨ubertragene W¨armemenge Q kann ¨uber die spezifische W¨armekapazit¨atc^∗_p(H₂O) und die Temperatur¨anderung ∆T berechnet werden:

E_pot=Q=C_p∆T =c^∗_pm∆T =ghm

Aufl¨osen nach ∆T und Einsetzen vonE_potf¨uhrt dann zu der gefragten Temperaturdifferenz

∆T = E_pot

C_p = mgh mc^∗_p = gh

c^∗_p = 2.295 K. (1.1)

Das Wasser erw¨armt sich also durch seinen Fall um 2.295^◦C.

b) Wie wir in Gleichung (1.1) sehen, k¨urzt sich die Masse heraus, was bedeutet, dass die Temperatur¨anderung unabh¨angig von der Wassermenge ist.

c) Gar nicht. Denn die Reibung ist ja gerade der Prozess, der zur Erw¨armung des Wassers f¨uhrt. Im lufgef¨ullten Raum wird der Wasserfall also schon im Fallen aufgeheizt, w¨ahrend dies im luftleeren Raum erst beim Aufprall passieren w¨urde.

Aufgabe 2: W¨ armekapazit¨ aten

a) Zuerst definieren wir einige Variablen, um uns die Schreibarbeit zu erleichtern:

C₁ ≡C_H2O C₂ ≡C_Hg

Die Anfangstemperaturen des Wassers T_H2O = T₁ und des Quecksilbers T_Hg = T₂ sind unterschiedlich, ihre Endtemperatur ist hingegen gleich:

Tf1 =Tf2 ≡Tf

F¨ur die W¨armemenge, die vom Wasser aufgenommen und vom Quecksilber abgegeben wird, gilt wegen der Energieerhaltung Q₁ = −Q₂. Mit konstanten W¨armekapazit¨aten gestaltet sich die Integration einfach und die Endtemperatur findet man durch Aufl¨osen der Gleichung nach T_f:

Q2 = Z Tf

T2

C2dT = Z Tf

T1

C1dT C₂(T_f −T₂) = −C₁(T_f −T₁)

T_f(C₂+C₁) = C₂T₂+C₁T₁ T_f = C₂T₂+C₁T₁

C2+C1

Die W¨armekapazit¨at von Quecksilber betr¨agt 27.801 J K⁻¹mol⁻¹. Die Molmasse von Queck- silberMHg ist 200.6 g mol⁻¹, also hat man f¨ur 100 g Quecksilber eine W¨armekapazit¨at von C₂ = 13.859 J K⁻¹. Somit kommen wir auf eine Endtemperatur von T_f = 20.264^◦C.

1

Physikalische Chemie I Musterl¨osung ¨Ubung 4 FS 2008

b) F¨ur die Definition der W¨armekapazit¨at (ohne Festlegung auf C_p oder C_V) gilt δQ=CdT =

a− b

T

dT

und nach Trennung der Variablen mit anschliessender Integration kommen wir auf das Zwischenergebnis

Z

δQ = Z

C(T)dT.

Als untere Integrationsgrenze w¨ahlen wir eine beliebige TemperaturT_i und als obere Gren- ze 2T_i. Integration und Vereinfachen f¨uhrt dann zum Endergebnis

Q = Z 2Ti

Ti

CdT = Z 2Ti

Ti

a− b

T

dT

= [a T −b lnT]^2T_T ⁱ

i =a2T_i−b ln(2T_i)−a T_i+b ln(T_i)

= a T_i+b (ln(T_i)−ln(2T_i)) =a T_i+b ln 1

2

= a Ti−b ln(2).

Die W¨armemenge, die man ben¨otigt um die Temperatur T_i zu verdoppeln, ist demnach Q=a T_i−b ln(2).

c) Analog zur letzten Aufgabe gilt auch hier Q =

Z 2Ti

Ti

CdT = Z 2Ti

Ti

(d+eT +f T²+gT³+. . .)dT

=

dT + e

2T²+ f

3T³+g

4T⁴+. . . 2Ti

Ti

= d(2T_i−T_i) + e

2(4T_i²−T_i²) + f

3(8T_i³−T_i³) + g

4(16T_i⁴ −T_i⁴) +. . .

= dT_i +3eT_i²

2 + 7f T_i³

3 +15gT_i⁴ 4 +. . .

Aufgabe 3: Reversible isotherme und adiabatische Kompression

a) Da das System komprimiert wird, also Kraft von aussen auf das System wirkt, ist das Vorzeichen der Arbeit f¨ur beide Systeme positiv. W¨ahrend aber im isothermen System die aufgenommene Arbeit vollst¨andig als W¨arme wieder ins Bad abgef¨uhrt wird, bleibt sie im adiabatischen Fall als innere Energie im System drin, was zu einer Temperaturerh¨ohung von System B f¨uhrt. Der Druck schliesslich nimmt wegen der Volumenverkleinerung in beiden Systemen zu, in System B wird er jedoch am Schluss gr¨osser sein, weil zus¨atzlich auch noch die Temperatur angestiegen ist. Die folgende Tabelle gibt einen ¨Uberblick:

System W Q ∆U ∆T ∆p

A isotherm + - 0 0 +

B adiabatisch + 0 + + +

2

Physikalische Chemie I Musterl¨osung ¨Ubung 4 FS 2008 b) Um quantitative Werte zu bekommen benutzen wir die Formeln f¨ur das ideale Gasgesetz pV = nRT, die Definition der Arbeit als δW = −pdV, sowie f¨ur System B die Adiaba- tengleichung pV^κ =const, wobei

κ= c_p

c_V = c_V +R

c_V = 28.3145 J K⁻¹mol⁻¹

20 J K⁻¹mol⁻¹ = 1.4157 der Quotient der W¨armekapazit¨aten gem¨ass Gl. (3.37) aus dem Skript ist.

Als erstes wollen wir kurz den Druck p₁ bestimmen, den wir nachher wieder brauchen werden. Mit der idealen Gasgleichung erhalten wir

p₁ = nRT1

V₁ = 1.198 bar.

Im isothermen System A bleibt die innere Energie konstant und somit gilt wegen der Energieerhaltung f¨ur Arbeit und W¨arme

W_A=−Q_A= Z WA

0

δW = − Z V2

V1

p(V)dV

= −

Z V2

V1

nRT₁

V dV =−nRT₁ Z V2

V1

dV V

= −nRT₁(lnV)^V_V²

1 =−nRT₁ln V₂

V₁

= −0.1 mol·8.3145 J K⁻¹mol⁻¹·288.15 K·ln

0.1 L 2.0 L

= 717.72 J.

Weil die Temperatur von System A konstant bleibt, erh¨alt man den neuen Druck als p_A= nRT_A

V_A = nRT₁

V₂ = 23.958 bar.

F¨ur das adiabatische System B k¨onnte man im Prinzip analog vorgehen und das Integral W_B=

Z WB

0

δW =− Z V2

V1

p(V)dV =− Z V2

V1

p₁ V₁

V κ

dV

l¨osen, wo man nun die Adiabatengleichung f¨ur den Druck als Funktion des Volumens eingef¨uhrt hat. Einfacher aber ist es, zuerst Druck und Temperatur von System B zu bestimmen und dannW_B uber die ¨¨ Anderung der inneren Energie ∆U zu finden. Einsetzen in die Adiabatengleichung ergibt einen Druck von

p₁V₁^κ =p₂V₂^κ ⇒ p₂ =p_B =p₁ V₁

V₂ κ

= 1.198 bar·20^1.4157 = 83.24 bar.

Das f¨uhrt zu einer Endtemperatur von T_B =p_BV_B/nR= 1001.13 K. Dies bedeutet, dass die innere Energie um ∆U_B = nc_V∆T = 1425.95 J zugenommen hat. Weil in System B kein W¨armeaustausch m¨oglich ist, gilt folglich auch W_B = ∆U_B. Zusammenfassend gilt also

System W/J Q/J ∆U/J T₂/K p₂/bar A isotherm 717.7 -717.7 0 288.15 23.96 B adiabatisch 1426 0 1426 1001.13 83.24

3

Physikalische Chemie I Musterl¨osung ¨Ubung 4 FS 2008 c) Ein ideales W¨armebad ist ein System, das jede beliebige W¨armemenge aufnehmen oder abgeben kann, ohne dabei selber w¨armer oder k¨alter zu werden. Unter reellen Bedingungen ist dies jedoch nur n¨aherungsweise der Fall. In unserem Beispiel empf¨angt das W¨armebad von System A die W¨armemenge Q = 717.72 J. Da es nur 10 L gross ist, besitzt es eine W¨armekapazit¨at von

C_p =c^∗_p(H₂O)·m_H2O=c^∗_p(H₂O)·%_H2O·V = 41.84kJ K,

wobei wir die Dichte von Wasser %H2O= 1 kg/L verwendet haben. Damit ergibt sich eine Temperatur¨anderung von nur gerade ∆T =Q/C_p = 0.01715 K, was mit Sicherheit zu ver- nachl¨assigen ist. Das bedeutet, dass bereits ein relativ kleines W¨armebad sich ann¨ahernd ideal verh¨alt, wenn der W¨armefluss nicht allzu gross ist.

4