PD Dr. T. Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie Ubungsblatt 3¨
Musterl¨osung zu Aufgabe 5
Zusatzaufgabe 5. (Zariski-Topologie auf dem Spektrum eines kommutativen Ringes) Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Ideal inR ist eine Teilmenge I ⊆ R mit folgenden Eigenschaften:
(1)a, b∈I ⇒a+b∈I, (2) a∈I, r∈R⇒ar, ra∈I.
Ein Idealp(Rheißt Primideal, falls f¨ur allef, g∈Rausf 6∈pundg6∈pauch f g6∈p folgt. Bezeichne Spec(R) die Menge aller Primideale inR. Zeigen Sie:
(a) Alle Mengen der Form
UJ :={p∈Spec(R) :J 6⊆p} (J ⊆R ein Ideal) bilden eine Topologie auf Spec(R) (genannt die Zariski-Topologie.) L¨osung: Offenbar istU{0} =∅,UR=∅.
Sei I eine Menge von Idealen. Dann ist die SummeJ :=P
I∈II ⊆R wieder ein Ideal undUJ =S
I∈IUI, denn f¨ur jedes p∈Spec(R) gilt:
p∈UJ ⇔ J 6⊆p ⇔ ∃I ∈ I :I 6⊆p ⇔ ∃I ∈ I :p∈UI.
Seien I, J Ideale und bezeichne IJ ⊆R die Menge aller endlichen Summen von Produkten der Form ab mita ∈I und b ∈ J. Dann ist IJ ein Ideal und UIJ = UI∩UJ, denn f¨ur jedesp∈Spec(R) gilt:
p∈UI∩UJ ⇔ ∃f ∈I, g∈J :f, g6∈p
⇔ ∃f ∈I, g∈J :f g6∈p ⇔ IJ6⊆p ⇔ p∈UIJ. Hier wird f¨ur die zweite ¨Aquivalenz verwendet, dassp ein Primideal ist.
(b) Alle Mengen der Form
Uf ={p∈Spec(R) :f 6∈p} (f ∈R) bilden eine Basis der Zariski-Topologie.
L¨osung: Wir zeigen zun¨achst, dass Uf f¨ur jedes f ∈R offen ist. Bezeichne (f) = Rf ⊆R das vonf erzeugte Hauptideal. Dann gilt f¨ur jedes p∈Spec(R)
f ∈p ⇒ (f)⊆p, f 6∈p ⇒ (f)6⊆p, also Uf =U(f).
Jede offene Menge UJ ist Vereinigung von Mengen der FormUf: nach Definition ist UJ =S
f∈JUJ.
Schließlich folgt aus der Definition von PrimidealenUf∩Ug =Uf g.
(c) IstS ein weiterer kommutativer Ring mit Eins und π:R→S ein Ringhomomor- phismus, so ist die Abbildung
π∗: Spec(S)→Spec(R), p7→π−1(p) stetig bez¨uglich der Zariski-Topologie.
L¨osung: Das Urbild jeder offenen Menge ist offen, weil (π∗)−1(Uf) = Uπ(f) f¨ur jedes f ∈R: Istq∈Spec(S), so gilt
π∗(q)∈Uf ⇔ f 6∈π−1(q) ⇔ π(f)6⊆q ⇔ q∈Uπ(f).
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