¨Ubungsblatt 6

Quantenfeldtheorie I WS 06/07 Prof. Jan Plefka

Ubungsblatt 6 ¨

Abgabe bis 11.01.07, Besprechung 16.01.07

Aufgabe 1: Zweipunktsfunktion in der φ

Theorie (10 Punkte) Geben Sie die Entwicklung der Zweipunktsfunktion hΩ|T {φ(x) φ(y)}|Ωi der φ

Theorie bis zur Ordnung λ

graphisch und explizit im Impulsraum an, ohne die Integrationen auszuf¨ uhren. Bestimmen Sie ferner den Divergenzgrad der entstehenden Feynmangraphen.

Hierbei verstehen wir unter dem Divergenzgrad die naive UV-Divergenz, die bei der Integration ¨ uber den Impulsraum entsteht, z.B.

Z

d

p 1

p

− M

∼ Λ

, Z

d

p 1 p

− M

1

(p − q)

− M

∼ log Λ Hier ist das erste Integral ist quadratisch divergent mit Divergenzgrad 2, das zweite logarithmisch mit Divergenzgrad 0. Λ bezeichnet eine per Hand eingef¨ ugte obere Impulsgrenze (“cutoff”). Negative Divergenzgrade bezeich- nen konvergente Integrale.

Aufgabe 2: Quellterm als Wechselwirkungshamiltonian (10 Punkte) Wir betrachten nun die Klein-Gordon Theorie mit dem Wechselwirkungsterm in der Hamiltonfunktion

H

(t) = − Z

d

x j(t, ~ x) φ

(t, ~ x)

wobei j(t, ~ x) ein von aussen aufgepr¨ agtes gegebenes “Quellfeld” ist. Zeigen Sie nun, dass die Vakuumenergiedichte dieser Theorie h0| exp[−i R

d

x j (x) φ

(x)] |0i in f¨ uhrender Ordnung in j (x) durch

h0| exp[−i Z

d

x j(x) φ

(x)] |0i = 1 − 1

2 hN i + O(j

) gegeben ist. Hierbei ist

hN i =

Z d

p (2π)

|j(E

, ~ p)|

2 E

mit j (p) :=

Z

d

x j(x) e

1

was sich als durch die Wechselwirkung erzeugte mittlere Teilchendichte in- terpretieren l¨ aßt.

K¨ onnen Sie die gesamte “St¨ orungsreihe” in j(t, ~ x) aufsummieren? Das heisst berechnen Sie h0| exp[−i R

d

x j(x) φ

(x)] |0i exakt!

Frohe Weihnachten und ein erfolgreiches 2007!

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