1 Zum Vergleich (einstufig): Startmasse 3∙10 kg; Endmasse 1,45∙10 kg nach 300 s

Anwendung der Raketengleichung:

Saturn-V-Rakete v

_r

= 4000 m/s t = 100 s pro Stufe

Erste Stufe: Startmasse 3∙10

⁶

kg; Endmasse 1∙10

⁶

kg Zweite Stufe: Startmasse 9∙10

⁵

kg; Endmasse 2∙10

⁵

kg Dritte Stufe: Startmasse 1,8∙10

⁵

kg; Endmasse 2,5∙10

⁴

kg

Insgesamt verbrauchter Treibstoff: 28,55∙10

⁵

kg, abgeworfene Masse 1,45∙10

⁵

kg Zum Vergleich (einstufig): Startmasse 3∙10

⁶

kg; Endmasse 1,45∙10

⁵

kg nach 300 s

Das wäre weniger als v

₂

= 11,2 km/s, die "zweite kosmische Geschwindigkeit", die benötigt wird, um ohne weiteren Antrieb das Gravitationsfeld der Erde zu verlassen.

1

t t g

m v m

v t

v  

_r

   ) ln ( )

(

₀ ⁰

m/s 3413 s

100 m/s

81 , 1 9 ln 3 m/s 4000 m/s

0 ) s 100

(    

²

 

v

m/s 8448 s

100 m/s

81 , 2 9 ln 9 m/s 4000 m/s

3413 )

s 200

(    

²

 

v

km/s 15 m/s 15363 s

100 m/s

81 , 5 9 , 2 ln 18 m/s 4000 m/s

8448 )

s 300

(    

²

  

v

2

2

300 s 9175 m/s

m/s 81 , 45 9 , 1 ln 30 m/s 4000 m/s

0 ) s 300

( v

v       

Experiment: Attwood-Fallmaschine

Die Gewichtskraft der Masse m beschleunigt die Masse M + m

Die Fallbewegung ist somit viel langsamer als beim freien Fall. Die Beschleunigung ist die gleiche, wenn sowohl die Masse m als auch die Masse M verdoppelt werden.

 

m M g m a a

m M g

m

F        

X

M

a

m F

Experiment: Flaschenzug

Diese einfachen Maschinen wurden vor > 2000 Jahren erfunden. Feste Rollen erleichtern die Arbeit (z.B. Kran), aber n lose Rollen reduzieren die erforderliche Kraft um einen Faktor 2n, wobei die Reibung vernachlässigt sei.

Man verwendet zur Beschreibung das

"Prinzip der virtuellen Verrückung", d.h. infinitesimal kleine gedachte Verschiebungen im Einklang mit den Zwangsbedingungen. Trägheitskräfte werden also vernachlässigt. Betrachte "Arbeit" = Kraft∙Weg Gewicht des Körpers Weg:

Zugkraft∙Weg:

Die Gesamtarbeit ist im Gleichgewicht 0:

ds F W

₁



₁



ds n F

W

₂



₂

 2 

F F ds

n F ds

F

₁

 

₂

 2   0 

₂



¹

3

Experiment: Actio = Reactio

Eine Kraft bewirkt eine gleich große Gegenkraft, bzw. Summe der Kräfte in einem abgeschlossenen System ist null:

Dies entspricht dem Impulserhaltungssatz.

Bei dem Versuch stehen zwei Studierende auf zwei Rollwagen und ziehen an einem Tau. Die Endposition hängt nicht davon ab, welcher von beiden zieht.

const.

0  





  

 

i i

i i

i i i i

p p

dt p d

F    

Experiment: Elastische Stöße

Ein nach rechts bewegter Schlitten A stößt mit Geschwindigkeit v

₀

auf einen ruhenden Schlitten B.

M

_A

= M

_B

: A bleibt stehen, B bewegt sich mit v

₀

nach rechts

M

_A

> M

_B

: Beide Schlitten bewegen sich mit v < v

₀

nach rechts, A langsamer als B

M

_A

< M

_B

: Beide Schlitten bewegen sich mit v < v

₀

, und zwar B nach rechts, nach links.

2.1.6 Energie und Energieerhaltungssatz

Der Impuls ändert sich ohne den Einfluss äußerer Kräfte nicht, er ist eine Erhaltungsgröße.

Aus der Kombination von Masse und Geschwindigkeit ergibt sich eine weitere wichtige Größe:

2. Newtonsches Axiom

mit v multipliziert ergibt

kinetische Energie

Das Produkt aus Kraft F und Weg x heißt Arbeit. Alle Formen von Energie können in Arbeit umgewandelt werden. Energie wird manchmal als "gespeicherte Arbeit" bezeichnet. Energieformen sind z.B. kinetische Energie, potenzielle Energie (Körper entgegen der Gravitation gehoben, Feder zusammengedrückt), Wärme, elektrische Energie, chemische Energie oder Kernenergie.

Für die Summe aller Energieformen in einem abgeschlossenen System gilt der Energieerhaltungssatz:

Die Energie in einem abgeschlossenen System ist eine Erhaltungsgröße, aber Energieformen können sich ineinander umwandeln. Beispiel: senkrechter Wurf nach oben, kinetische Energie nimmt ab,

potenzielle Energie nimmt zu, ihre Summe bleibt konstant.

Arbeit (work)

Leistung (power) Arbeit pro Zeit

4

 

^{2 2}

2 1 2

1 m v E m v

dt v d v m x dt F

v d F

v m a m F



 



 



 























kin





x F W  



 t P  W

    J (Joule)

s m 1 kg m

N

₂

2

1

1   



 E W

  1 W (Watt)

s J s

m 1 kg s

m N

3

2

 



 1 1

P

James Prescott Joule James Watt Bei der "Stromrechnung" bezahlt man nicht den elektrischen Strom, sondern Energie,

nämlich die in Anspruch genommene elektrische Leistung (in Watt oder kW) mal der

5

Rechenbeispiel: Senkrechter Wurf nach oben

kinetische Energie = Arbeit (potenzielle Energie)

Die Anwendung von Erhaltungssätzen kann die Berechnung erleichtern, bzw. ermöglichen, insbesondere wenn es nicht auf den zeitlichen Verlauf der Bewegung, sondern auf bestimmte Anfangs- und Endzustände ankommt.

gH gT

v

g T H

gT gT

gT T

v H

gT v

gT v

2

2 2

1 2

1 0

0

2 2

2 0

0 0

























gH v

gH v

mgH mv

E

_kin

2 2

2 1

0 2

0 2

0

   



Anmerkung: Erghaltungssätze können auf fundamentale Symmetrien zurückgeführt werden (Noether-Theoreme)

Energieerhaltung  Homogenität der Zeit Impulserhaltung  Homogenität des Raums

Drehimpulserhaltung  Richtungsinvarianz des Raums

(mehr zum Drehimpuls demnächst)

Emmy Noether (1882 - 1935)

2.1.7 Systeme von Massenpunkten

Mit dem Gravitationsgesetz haben wir eigentlich schon Systeme von zwei Massenpunkten betrachtet, die Kräfte aufeinander ausüben. Allerdings wurde eine Masse (Erde) immer als ortsfest angenommen, was nicht ganz richtig ist.

Grundbegriffe

Schwerpunkt von zwei gleichen Massen m:

Schwerpunkt von zwei verschiedenen Massen m

_1/2

:

Schwerpunkt mehrerer Massen m

_i

:

Die Summe aller Impulse ist konstant:

Der Schwerpunkt bewegt sich so, als ob alle Massen in ihm vereinigt wären und die äußeren Kräfte an ihm angreifen. Wenn z.B. die Summe der äußeren Kräfte null ist, bewegt sich der Schwerpunkt gleichförmig geradlinig (Impulserhaltung).

 

m m

r m r r m

r r

_S







 





_{1 2} ^{1 2}

2

1  







1 1

2 1 1 1

m m

r m r r

_S

m







 



 

für jede Dimension:

arithmetisches Mittel

mit den Massen gewichteter Mittelwert



 











   





^N

i i N

i

i N i

i i N

i

i i

S

m r M m

m M r m r

1 1

1

1

1 





S N

i

i N i

i

N

i

i i

i

M r

M r m M

r m p

P 



 

  









 

 

^

 

1

1 1











^N

i

S

i

M r

F F

1



 



7

Beispiel: Erde und Mond, der Schwerpunkt ist ca. 4500 km vom Erdmittelpunkt entfernt kg km

10 604,7

kg km

370.000 kg

10 597,4 km

22 22

10 4467 3

, 7

0

²²













  r

S

12 12

2 1

2 1 12 1

2 2

1 2

12 2

21 2

1 12 1

1 1

1 F F

m m

m F m

m a m

m a F m

a F m

a F       

 

   



 

 



 



 













 

M 2

E M E

M

kg

kg

kg m

m m

m m

M







 

 



  7 , 26 10 0 , 988

10 7 , 604

10

4391

₂₂

22



44

Statt der Bewegung beider Körper um den gemeinsamen Schwerpunkt kann man die Bewegung der leichteren Körpers (z.B. Mond) um den Schwerpunkt des schwereren Körpers (z.B. Erde)

betrachten, wenn man statt der leichteren Masse die "reduzierte Masse"  verwendet, z.B. Mond:

m

_E

m

_M



_M

e e

e

p

kg kg

m

m m













^{ }

9995 , 0

10 11 , 9 10

67 ,

1

^{27 31}



Beispiel: Proton und Elektron im Bohrschen Atommodell

Beispiel zur Bewegung des Schwerpunkts eines starren Körpers:

In einem Video wird ein Besen wird geworfen. Sein Schwerpunkt

beschreibt eine Wurfparabel (rot), während andere Teile des Besens,

z.B. die Bürste, eine kompliziertere Bewegung ausführen (blau).