1 0 0C C 0C C: 0C C 1A b

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(1)Klausur FWP-Fach Mathematik Plus: Lösungshinweise Prüfungsdatum: 23. Januar 2013 – Prüfer: Etschberger Studiengang: International Management und Betriebswirtschaft. Aufgabe 1. 25 Punkte. Gegeben ist die reelle Zahl b sowie die Matrix 0 b 1 B1 b B B0 0 ADB B0 0 B @0 0 0 0. 0 1 b 0 0 0. 0 0 1 b 0 0. 0 0 0 1 b 0. 1 0 0C C 0C C: 0C C 1A b. a) Berechnen Sie det A in Abhängigkeit von b. b) Für welche b ist A invertierbar? c) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A.. Hochschule Augsburg BW –. Klausur. – Wintersemester 2013 – FWP-Fach Mathematik Plus – 23. Januar 2013 – (Seite 1 von 2). Lösungshinweis: 0 b B0 B a) det A D b det B B0 @0 0. 1 b 0 0 0. 0 1 b 0 0. 0 0 1 b 0. 1 0 0C C 0C C 1A b. 0 1 B0 B 1 det B B0 @0 0. b) A invertierbar , det A ¤ 0 , b ¤ 0; 1; C1 c) A ./: Hauptdiagonale b stattb, also: A ./ D . a/4 . a/2 1 D 0, Eigenwerte bei: D a (vierfach), D a ˙ 1.. 1 b 0 0 0. 0 1 b 0 0. 0 0 1 b 0. 1 0 0C C 6 0C CDb 1A b. b 4 D b 4 .b 2. 1/.

(2) Aufgabe 2. 25 Punkte. Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die Aussage A.n/ W. n X. . 1/. k 1. 2. k D . 1/. kD1. n 1. n2 C n 2. für alle n 2 N wahr ist.. Lösungshinweis: Anfang: 1 X. . 1/k. 1. k 2 D . 1/0 12 D 1 D . 1/1. 1. kD1. . 12 C 1 2. Induktionsschritt n ! n C 1: nC1 X. Hochschule Augsburg BW –. Klausur. – Wintersemester 2013 – FWP-Fach Mathematik Plus – 23. Januar 2013 – (Seite 2 von 2). kD1. . 1/k. 1. k 2 D . 1/.nC1/. 1. .n C 1/2 C. n X. . 1/k. 1. kD1. n2 C n D . 1/n .n C 1/2 C . 1/n 1 2 2 n n n 2 D . 1/ n C 2n C 1 2 2 2 2 2n C 4n C 2 n n D . 1/n 2 2 n C 2n C 1 C nC1 D . 1/n 2 2 .n C 1/ C .n C 1/ D . 1/n 2. k2.

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