Mathematik f¨ur Informatiker II Integrierbare Funktionenf:R→R
Anwendungen der Integralrechnung
Bogenl¨ange
Satz C.166
Der Graph y =f(x)einer stetig differenzierbaren Funktion f : [a,b]→R hat die L¨ange
L= Z b
a
p1 +f0(x)2dx.
Beispiel C.167
Kreisbogeny =√ 1−x2. Es gilt y0= −x
√1−x2 und somit (y0)2= x2 1−x2. Damit gilt f¨ur den Kreisbogen
`= Z a
0
p1 + (y0)2dx= Z a
0
r 1 1−x2dx=
Z a
0
√dx
1−x2 = arcsina.
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Anwendungen der Integralrechnung
Definition C.168
Eineebene Kurve(Kurve inR2) wird beschrieben durch zwei stetige (differenzierbare) Funktionenx(t),y(t) (a≤t≤b). Der Punkt
P(t) = x(t)
y(t)
, a≤t≤b
ver¨andert sich stetig mitt(Zeit) und durchl¨auft eine Kurve. Man nennt das System der beiden Gleichungen
x=x(t), y=y(t)
eineParameterdarstellungder Kurve,tdenParameter und [a,b] das Parameterintervall. Die Kurve wird mit wachsendemtin positiver Richtung durchlaufen.
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Anwendungen der Integralrechnung
Beispiel C.169
1. Die Parameterdarstellungx=rcost,y =rsintf¨ur 0≤t≤2π beschreibt einen Kreis mit Radiusr.
2. Die Parameterdarstellungx=acost,y=bsint f¨ur 0≤t≤2π beschreibt eine Ellipse xa22+yb22= 1.
Satz C.170
Die L¨ange eines Kurvenbogens mit stetig differenzierbarer Parameterdarstellung x=x(t), y =y(t)f¨ur a≤t≤b betr¨agt
L= Z b
a
q x0(t)2
+ y0(t)2
dt.
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Anwendungen der Integralrechnung
Beispiel C.171
F¨ur den Kreisumfang gilt L=
Z 2π
0
p(−rsint)2+ (rcost)2dt= Z 2π
0
r dt= 2πr.
Bemerkung:
Man kann eine Kurve auch beschreiben durch einen Zeiger, der um den Nullpunkt gedreht wird und dessen L¨anger sich mit dem Winkelϕ ver¨andert:
r=r(ϕ) (α≤ϕ≤β)
heißt dann diePolardarstellungder Kurve. F¨ur die L¨ange erh¨alt man L=
Z β
α
s r(ϕ)2
+dr(ϕ) dϕ
2
dϕ.
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Anwendungen der Integralrechnung
Beispiel C.172
1. F¨ur den Kreis (konstanter Radius) giltr(ϕ) =rf¨ur 0≤ϕ≤2πund damit
L= Z 2π
0
√r2dϕ= 2πr.
2. Es istr(ϕ) =aϕf¨ura>0 und 0≤ϕ≤ ∞die Polardarstellung einer Spirale Nach einem Umlauf (0≤ϕ≤2π) betr¨agt die L¨ange
L= Z 2π
0
p(aϕ)2+a2dϕ=a Z 2π
0
pϕ2+ 1dϕ
=a 2
ϕp 1 +ϕ2
2π
0 +arsinhϕ
2π 0
=a 2 2πp
1 + 4π2+arsinh2π
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Anwendungen der Integralrechnung
Sektorfl¨achen
Wir wollen den Fl¨acheninhalt berechnen, den ein Fahrstrahl von 0 nach c(t) f¨ur eine Funktionc: [a,b]→R2uberstreicht.¨
Dazu approximieren wir die Fl¨ache durch Dreiecksfl¨achen:
SeiZ={t0=a<t1< . . . <tn=b}eine Zerlegung von [a,b].
Die Fl¨ache des durch die Eckpunkte 0,c(ti) =
xi yi
,c(ti+1) = xi+1
yi+1
festgelegten Dreiecks betr¨agt 1
2|xiyi+1−xi+1yi|,
womit die Gesamtfl¨ache aller durch die Zerlegung entstandenen Dreiecke A(Z) =1
2
n−1
X
i=0
(xiyi+1−xi+1yi)
ist (geeignete Orientierung vorausgesetzt, damit die Betr¨age entfallen k¨onnen).
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Anwendungen der Integralrechnung
Definition C.173 (Orientierter Fl¨acheninhalt)
Der Fahrstrahl an der Kurvec: [a,b]→R2¨uberstreicht den orientierten Fl¨acheninhaltF(c), wenn es zu jedem >0 einδ >0 gibt, so dass f¨ur jede ZerlegungZ von [a,b] mitη(Z)≤δgilt:
|A(Z)−F(c)| ≤.
Satz C.174 (Sektorformel von Leibnitz)
Sei c: [a,b]→R2eine stetig differenzierbare Kurve. Dann ¨uberstreicht der Ortsvektor c(t) =
x(t) y(t)
im Zeitintervall[a,b]die Fl¨ache
F(c) =1 2
Z b
a
(xy˙−xy)dt.˙
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Anwendungen der Integralrechnung
Beispiel C.175
Der Fahrstrahl an den orientierten Kreisbogen x=rcost
y=rsint t∈[0, ϕ]
¨uberstreicht die orientierte Fl¨ache 1
2 Z ϕ
0
(xy˙−xy)˙ dt=1 2
Z ϕ
0
rcost·rcost+rsint·rsint dt=r2 2ϕ.
F¨urϕ= 2πergibt sichπr2 (die Kreisfl¨ache).
