Algebraische Geometrie - Ein Einblick

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Algebraische Geometrie - Ein Einblick

Die algebraische Geometrie ist eine faszinierende mathematische Disziplin. Da sie auf zahlreiche, erst im Hauptstudium gelehrte mathematische Gebiete aufbaut, gilt sie als äußerst schwierige und allenfalls nur für wenige Experten zugängliche mathematische Disziplin.

In diesem Artikel soll ein Versuch gemacht werden, einen kleinen möglichst anschaulichen Einblick in diese Materie zu vermitteln. Der Artikel erhebt keinerlei Anspruch auf Vollständigkeit. Für ein weiteres Studium der Inhalte sowie für die exakten Voraussetzungen der vorgestellten Sätze verweise ich auf die weitergehende Literatur, einige Standardwerke findet man in den Literaturhinweisen.

Der Name algebraische Geometrie besagt, dass mit algebraischen Methoden Geometrie gemacht wird.

Wir m¨ussen also erst einmal grob kl¨aren, was Algebra und Geometrie bedeuten. Beide Begriffe sind aus der Schulmathematik bekannt.

Die Algebra lässt sich recht einfach charakterisieren: Hier werden algebraische Gleichungen (also Po- lynomgleichungen) untersucht. Die Grundaufgabe der Algebra lautet: Lösen dieser algebraischen Glei- chungen. Nun, das lernt man ja schon in der Schule: Die Lösungen von linearen bzw. quadratischen Gleichungen sind gerade die Nullstellen der entsprechenden linearen bzw. quadratischen Funktionen.

In Spezialfällen findet man mit der Schulmathematik auch die Lösungen (Nullstellen) von Gleichungen höheren Grades.

In der algebraischen Geometrie werden dagegen algebraische Gleichungen als algebraische R¨aume, also als Kurven, Fl¨achen etc., betrachtet. Damit kommen wir zu dem zweiten Begriff, der Geometrie.

Wir alle haben eine Vorstellung von Geometrie, da Geometrie ja zum Schulstoff geh¨ort. In der Schule wird euklidische Geometrie gelehrt. Hier untersucht man verschiedenste geometrische Figuren und lernt, deren Fl¨achen bzw. Volumina zu berechnen. Aber auch dasxy-Koordinatensystem, in dem Graphen von Funktionen dargestellt werden, ist ein Modell der euklidischen Geometrie. Die euklidische Geometrie wird in der Schule als Modell des uns umgebenden Raumes dargestellt.

Der Alltag lehrt uns aber, dass die euklidische Geometrie nicht ausreicht, unsere Welt zu beschreiben.

Nur ein Beispiel: Längen- und Breitengrade sind jedem Schüler z. B. aus dem Erdkundeunterricht oder vom Blick auf das GPS im Auto der Eltern bekannt. Hierbei handelt es sich um ein Koordinatensystem der zweidimensionalensphärischen Geometrie. Dass es auf einer Kugeloberfläche Zweiecke, Dreiecke etc.

gibt, und dass es die sph¨arische Trigonometrie gibt, um diese zu berechnen, ist leider ”kein Bestandteil heutiger mathematischer Schul- und Allgemeinbildung mehr” (vgl. [SS] p.253). Dies soll nur ein kleiner Hinweis darauf sein, dass es außer der euklidischen Geometrie noch viele weitere Geometrien gibt.

Für die algebraische Geometrie stellt die projektive Geometrie den zweckmäßigen Rahmen dar. Man könnte sie sozusagen die Mutterdisziplin aller klassischen Geometrien nennen (vgl. [SS] p.445).

Der vorliegende Artikel versucht, anhand von ebenen algebraischen Kurven, insbesondere der elliptischen Kurven, einige Methoden der algebraischen Geometrie anschaulich zu erklären. Dazu werden in Abschnitt 1 der reelle projektive Raum, Kegelschnitte und ebene Quadriken erklärt. Dieses sollte für interessierte Schüler der Sekundarstufe II verständlich sein. Abschnitt 2 diskutiert den komplexen projektiven Raum und verschiedene Aspekte der elliptischen Kurven auf anschaulichem Niveau. Der dritte Abschnitt schließlich stellt einige klassische Sätze der Geometrie algebraischer Kurven und abelsche Varietäten für den tiefer interessierten Leser vor.

Ab Abschnitt 2.5 werden vermehrt Begriffe aus der komplexen Analysis und der algebraischen Geometrie verwendet, die nicht alle an dieser Stelle erklärt werden sollen oder können. Die Definition oder Erklärung vieler dieser Begriffe ist aber für ein Verständnis des gesamten Textes nicht immer nötig. Begriffe oder Abschnitte, die in diesem Sinne einfach überlesen werden können, werden mit (zwVnn) ( = zum weiteren Verständnis nicht nötig) gekennzeichnet.

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1. Kegelschnitte

1.1 Der reelle projektive Raum

Aus der Schule sind der ein-, zwei- und dreidimensionale euklidische Raum bekannt: die reelle Zahlenge- rade, auch mitRbezeichnet, diexy-KoordinatenebeneR²und das dreidimensionalexyz-Koordinatensystem als Modell f¨urR³:

x x

y

z

x y

R R² R³

Die Elemente dieser R¨aume sind im eindimensionalen Fall Zahlen x ∈ R, Zahlenpaare oder Punkte (x|y) ∈ R² bzw. Zahlentripel oder Punkte (x|y|z) ∈ R³. Im Folgenden werden wir statt (x|y) bzw.

(x|y|z) die Notation (x, y) bzw. (x, y, z) verwenden.

Die Idee des projektiven Raumes ist eng verbunden mit der Idee der Perspektive und Zentralprojek- tion. Die Perspektive wurde erst in der Renaissance entwickelt - erstaunlich sp¨at, wenn man bedenkt, dass unsere optische Wahrnehmung vielmehr der Zentralperspektive als der Euklidischen Geometrie entspricht.

Jeder Punkt, den wir sehen, entspricht einem Sehstrahl. Da wir nicht nach hinten schauen k¨onnen, repr¨asentiert dieser Sehstrahl (bzw. Punkt) eine Gerade durch unser Auge. Um dieses mathematisch zu beschreiben, stellen wir uns ein xyz- Koordinatensystem, dessen Ursprung in unserem Auge liegt, vor. Nun sind die Punkte dieses neuen Raumes die Geraden durch den Ursprung (Auge).

Bekanntlich sieht man mit einem Auge nur zweidimensional.

Der oben beschriebene Raum ist dementsprechend ebenfalls zweidimensional: der zweidimensionale projektive Raum, auch projektive Ebene genannt. Sie wird mit P² abgek¨urzt, das Mengen-P steht f¨ur projektiv und der Exponent gibt die Di- mension an. Es gilt also:

z

x y

P²=

Geraden durch 0 inR³ .

Projektive R¨aume gibt es in jeder Dimension, allgemein definiert man denn-dimensionalen projektiven Raum als:

Pⁿ=

Geraden durch 0 inRⁿ⁺¹ .

Die Elemente eines projektiven Raumes sind Geraden durch den Nullpunkt, kurz Ursprungsgeraden.

Das ist natürlich gewöhnungsbedürftig. Wir sind es gewohnt, dass Elemente von geometrischen Räumen Punkte sind. Deswegen spricht man auch bei Elementen projektiver Räume von Punkten (obwohl sie ja eigentlich Geraden sind).

Um dieses besser zu verstehen, betrachten wir zun¨achst den eindimensionalen projektiven Raum, auch projektive Gerade genannt.P¹ist nach Definition die Menge aller Ursprungsgera- den der euklidischen EbeneR². Was lehrt die Schulmathematik

¨

uber Geraden durch (0,0) inR²? Jede solche Gerade (ausge- nommen dery-Achse) hat eine Gleichung der Formy=mxmit der Steigung m= _x^y²^−y¹

2−x₁ = _∆x^∆y. Umgekehrt, jede Zahlm∈R legt eine Ursprungsgerade, n¨amlich die Gerade y =mx, fest.

Aus der Zahl m ∈ R wird somit ein Punkt (genauer die Ge- rade y=mx) auf der projektiven GeradeP¹. Auf diese Weise kann man sich die reelle Zahlengerade R als Teilmenge der projektiven GeradeP¹ vorstellen.

(x ,y )

₁ ₁

(x ,y )

₂ ₂

x y

Δ Δ x

y

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Mathematiker sagen dazu, die Zuordnung R3mnach{y=mx} ∈P¹ definiert eineEinbettung

R,→P¹, m=_∆x^∆y 7→ Geradey=mx. (1)

Bemerkung 1. Eine Einbettung ist eine injektive Abbildung, d. h. zu jedem Wert geh¨ort genau ein Urbild. Einbettungen werden durch den Zuordnungspfeil ,→gekennzeichnet.

Was ist nun mit der y-Achse? Hier gibt es keine Steigung der Form m= _x^y²^−y¹

2−x1 =^∆y_∆x, denn ∆xwäre gleich 0 und man darf ja nicht durch 0 teilen. Nähern sich die Geraden aber der y- Achse an, werden also immer steiler wie in der nebenstehenden Graphik, so wird ihre Steigung immer größer und im Grenz- wert (auch das kennen wir aus der Schule) wird die Steigung unendlich:

m_y-Achse = lim

∆x→0

∆y

∆x =∞

x

y

Wenden wir uns wieder der Einbettung R,→P¹ zu, so sehen wir, dass das Bild von R inP¹ (also die Wertemenge) alle Punkte des P¹ erfasst bis auf den einen Punkt, der der y-Achse mit der Steigung∞ entspricht. Damit gilt mengentheoretisch, dass

R∪ {∞}=P¹.

Das l¨asst sich nun wieder sehr gut anschaulich vorstellen: Gleich einem Maßband, das die reelle Zahlen- gerade darstellt, ist so die projektive Gerade das an beiden Enden zusammengeklebte Maßband und∞ ist der Klebepunkt:

m=-1

m=0 m=1

m=-1 m=0 m=1

8

R ⇒ {∞} ∪R=P¹

In diesem Bild ist P¹ eine geschlossene Kurve, hat also keinen Anfang und kein Ende. Mathematiker sagen dazu:

”Die projektive GeradeP¹ist kompakt.“ Analoges gilt übrigens für alle projektiven Räume.

Wenden wir uns nun dem zweidimensionalen Fall zu: Die projektive Ebene P² ist als Menge der Geraden durch den Ur- sprung im Raum R³ definiert. Das ist am Anfang schwer be- greiflich. Stellen wir uns dazu eine beliebig aufgestellte Lein- wand in R³ vor, d. h. die Leinwand darf nicht den Ursprung enthalten. Stellen wir uns diese Leinwand als die reelle Ebe- ne R², also unendlich ausgedehnt, vor. So schneiden, wie ne- benstehend dargestellt, fast alle Urprungsgeraden diese Ebe- ne R² in genau einem Punkt. In der zweiten nebenstehenden Graphik ist zus¨atzlich die zur ersten Leinwand parallele Ebe- ne durch Null eingezeichnet. Die Ursprungsgeraden in dieser Ebene schneiden die erste Leinwand nicht. Die Gesamtheit der Ursprungsgeraden in der zweiten Ebene ist wie zuvor als ein eindimensionaler projektiver Raum P¹ zu interpretieren. So- mit kann man sich den zweidimensionalen projektiven Raum P²(also die Menge der Ursprungsgeraden inR³) als reelle Ebe- ne R² (n¨amlich die Schnittpunkte der Ursprungsgeraden mit der ersten Leinwand) zusammen mit einer projektiven Gerade P¹vorstellen. Diese projektive Gerade wird in diesem Zusam- menhang die∞-ferne Gerade genannt.

P¹∪R²=P²

R²

P¹

P²

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1.2 Homogene Koordinaten

Wie rechnet man mit Punkten in projektiven R¨aumen? Dazu braucht man homogene Koordinaten, die in diesem Abschnitt erkl¨art werden sollen.

Beginnen wir mit den homogenen Koordinaten des P¹. Die allgemeine Geradengleichung in R² lautet Ax+By=C, mitA, B, C ∈R. Bei einer Ursprungsgeraden, also einer Geraden durch den Nullpunkt, mussC= 0 gelten. Durch Umstellen und Umbenennen der Koeffizienten (a=B, b=−A) erhalten wir die Gleichung

ay=bx, (2)

wobei entweder a6= 0 oder b6= 0. Jede Ursprungsgerade, also jeder Punkt desP¹, kann so beschrieben werden. Dabei sind die beiden Koeffizientena undb aber nicht eindeutig, sie k¨onnen mit jeder reellen Zahl α6= 0 multipliziert werden, denn die Gleichung αay = αbx beschreibt die gleiche Gerade. Eine Kurzschreibweise f¨ur diesen Sachverhalt bieten die homogenen Koordinaten, mit einem Doppelpunkt getrennte Zahlenpaare:

ay=bx ↔ (a:b)∈P¹ (3)

Der Doppelpunkt bedeutet, dass mit einer beliebigen Zahlα6= 0 multipliziert werden darf:

(a:b) = (α a:α b) (4)

In dieser Terminologie l¨asst sich auch die Einbettung (1) beschreiben. Die Gerade ay =bx hat, falls a6= 0, die Steigungm_ay=bx=_a^b und somit gilt:

R ,→ P¹

m_ay=bx=_a^b 7→ (a:b) = (1 : ^b_a) = (1 :m_ay=bx)

Jetzt können wir die Geradengleichung (2) und die Koeffizientenaundbzur Seite legen und, wenn wir nur mit den folgenden Größen arbeiten, wird es übersichtlicher: Eine Zahl m∈Rwird auf den Punkt (1 :m)∈P¹abbgebildet, umgekehrt entspricht der Punkt (X₀:X₁)∈P¹der Zahl ^X_X¹

0 ∈R, fallsX₀6= 0.

Ist aber X₀ = 0, so gilt nach der Regel (4), dass (0 : X₁) = (0 : 1) und dieser Punkt entspricht dem Punkt ∞:

R∪ {∞} ' P¹

R3m ↔ (1 :m)∈P¹

X1

X₀ ← (X0:X1)

∞ ↔ (0 : 1)

Die homogenen Koordinaten desP²werden analog definiert. Ein beliebiger Punkt vonP²wird dargestellt durch:

(x0:x1:x2) = (α x0:α x1:α x2)∈P²,

wobei wieder x0, x1 und x2 nicht gleichzeitig null sein d¨urfen, das Tripel (x0 :x1: x2) aber mit jeder reellen Zahl α6= 0 multipliziert werden darf. Wir verwenden f¨ur die homogenen Koordinaten den P² Kleinbuchstaben, um sie nicht mit den homogenen Koordinaten desP¹ zu verwechseln.

Den Sachverhalt P¹∪R² ' P² kann man folgenderma- ßen wiedererkennen: Die TeilmengenR² und die∞-ferne Gerade P¹ sind die Bilder (also Wertemengen) der Ein- bettungen

R²,→P², (x, y)7→(1 :x:y), und P¹,→P², (X0:X1)7→(0 :X0:X1).

Ublicherweise wird die projektive Ebene durch die neben-¨ stehende Graphik skizziert. Die horizontale Achse entspricht der x-Achse des R² ⊂ P² und wird durch die Gleichung{x₂= 0}beschrieben, die vertikale Achse entspricht dery-Achse und hat die Gleichung{x1= 0}. Die- se beiden Achsen schneiden sich im Punkt (1 : 0 : 0), dem Bild des Ursprungs (0,0) vonR². Die∞-ferne Gerade hat

8- ferne Gerade

( x : x : 0 )₀ ₁ ( 0 : x : x )

1

( x : 0 : x )02 2

(1:0:0) (0:0:1)

(0:1:0)

♘

♖ ♞

♜

♔ ♚

(5)

hier die Gleichung {x₀ = 0}. Als Geraden inP² sind die x- bzw. diey-Achse selbst wieder projektive Geraden und sind je durch einen ∞-fernen Punkt geschlossen. Der∞-ferne Punkt derx-Achse ist der Punkt (0 : 1 : 0), derjenige der y-Achse ist (0 : 0 : 1). Als Punkte im Unendlichen m¨ussen diese beiden Punkte auf der ∞-fernen Geraden liegen, diese ist deswegen in der Graphik als die Gerade durch diese beiden Punkte skizziert. Leider spiegelt die Graphik nicht die Tatsache wider, dass die drei Koordinatenachsen jeweils geschlossen sind. Deswegen wurden hier die beiden Enden jeder Geraden je mit einem weißen bzw. schwarzen Schachsymbol gekennzeichnet. Die Geraden muss man sich an gleichen Symbolen, jeweils schwarz mit weiß, verklebt denken. W¨urde man in dieser Graphik die Enden der Geraden verbinden, so erhielte man weitere Schnittpunkte.

Diese Problematik wird klarer bei der Betrachtung der beiden nachfolgenden Photos, die ein Modell der reellen projektiven Ebene, aus zwei Perspektiven aufgenommen, zeigen.

Aufgabe 1.2.1:

Zeige, dass parallele Geraden inR² einen gemeinsamen Fernpunkt haben.

Aufgabe 1.2.2:

Zeige, dass sich zwei verschiedene Geraden inP² genau in einem Punkt schneiden.

Aufgabe 1.2.3:

Eine 2×2-Matrix ^{a b}_{c d}

mit Determinantead−bc6= 0 definiert eine sogenannteProjektivit¨at P= ^{a b}_{c d}

:P¹7→P¹, die auf den homogenen Koordinaten durch Multiplikation wirkt:

Da ^{a b}_{c d} X0

X1

= ^aX_bX⁰^+cX¹

0+dX1

, gilt P(X0:X1) = (aX0+cX1 : bX0+dX1).

Finde die Projektivit¨aten, die die rationalen Funktionen a) x 7→ x+ c, b)x7→c·x, c)x7→ −_x¹, d)x7→1 +_x¹ und e)x7→ _x−1^x fortsetzen.

Aufgabe 1.2.4:

Ein Fixpunkt einer Projektivit¨at P:P¹7→P¹ ist ein PunktpmitP(p) =p.

a) Bestimme die Fixpunkte vonP = ^{1 2}₂₋₁ .

b) Zeige, dass eine nicht triviale Projektivit¨at, also P 6= ^{1 0}_{0 1}

, h¨ochstens zwei Fixpunkte haben kann.

c) Finde eine Projektivit¨at des P¹ mit Fixpunkt (1 : −1), welche die Punkte (0 :−1) und (2 : 0) vertauscht.

(6)

Aufgabe 1.2.5:

F¨ur Punkte A= (a0:a1:a2), B= (b0:b1:b2) undC= (c0:c1:c2)∈P² sind ¨aquivalent:

i) A, B undC sind kollinear.

ii) Die Geraden GA : a0xx +a1x1 +a2x2 = 0, GB : b0xx +b1x1 +b2x2 = 0 und GC: c0xx+c1x1+c2x2= 0 schneiden sich in einem Punkt.

iii) deta0a1a2

b0 b1 b2

c0 c1 c2

= 0 Aufgabe 1.2.6:

Zwei Punktea, b∈ Rⁿ (hier k¨onnen wir einfach n= 1 oder 2 annehmen, es geht aber auch allgemeiner) definieren eine GeradeG:=abinR². Ein Punktxauf dieser Geraden l¨asst sich folgendermaßen schreiben

x=a+t(b−a) = (1−t)a+tb mit einem eindeutig bestimmtent∈R. DasTeilverh¨altnis vonxbez¨uglichaundbist definiert durch

T V(x;a, b) := t t−1.

Fallst= 1 oder ¨aquivalentx=b, so definiert manT V(b;a, b) =∞.

a) Bezeichne mit ∞G den ∞-fernen Punkt der Geraden G. Zeige, dass sich T V zu einer BijektionT V :G∪ {∞G} →P¹ fortsetzen l¨asst.

b) Zeige, dass

T V(b;a, x) = 1−T V(x;a, b), T V(x;b, a) = 1 T V(x;a, b), T V(a;b, x) = 1− 1

T V(x;a, b), T V(a;x, b) = T V(x;a, b) T V(x;a, b)−1. c) Zeige, dass f¨ur drei paarweise verschiedene Punktex, a, b∈Rgilt

T V(x;a, b)·T V(a;b, x)·T V(b;x, a) =−1. d) Zeige, dass f¨ur vier paarweise verschiedene Punktex, a, b, c∈Rgilt

T V(x;a, b)·T V(x;b, c)·T V(x;c, a) = 1.

1.3 Kegelschnitte

Die allgemeine quadratische Funktion lautet:

f(x) =ax²+bx+c

mit reellen Zahlena6= 0, bundc. Aus der Schule ist bekannt, dass der Graph vonf eine Parabel inR² ist, die diex-Achse keinmal, einmal oder zweimal schneidet. In der algebraischen Geometrie betrachtet man statt der Funktion f(x) =ax²+bx+cdie algebraische Gleichung in den zwei Variablenxundy

y=ax²+bx+c. (5)

Statt des Graphen von f betrachtet man des Weiteren die so genannte affine algebraische Kurve von (5) inR²:

(x, y)∈R²

y=ax²+bx+c . (6)

(7)

Nun wird mittels der EinbettungR²,→P²mit:

R²3(x, y) = ^x_x¹

0,^x_x²

0

7→(1 :x:y) = 1 : ^x_x¹

0 : ^x_x²

0

= (x0:x1:x2)∈P²

die algebraische Kurve (6) als Kurve im projektiven Raum P² angesehen und m¨oglicherweise mit ∞- fernen Punkten vervollst¨andigt. Man sagt dazu, die Kurve wird in P²eingebettet bzw. man betrachtet ihren projektiven Abschluss. Dazuhomogenisieren wir die Gleichung (5); wir setzenx=^x_x¹

0 undy= ^x_x²

0

und multiplizieren mitx²₀, um die Nenner zu entfernen:

x0x2=ax²₁+bx0x1+cx²₀ (7) Diese Gleichung ist nunhomogen, dass heißt, jedes Monom (also jeder Summand) hat denselben Grad.

Erf¨ullt ein Punkt (x₀, x₁, x₂)∈R³ die Gleichung (7), so auch jedes Vielfache (α x₀, α x₁, α x₂). Damit macht es Sinn zu sagen, dass der Punkt (x₀ : x₁ : x₂) ∈P² die Gleichung erf¨ullt. Also beschreibt (7) eineprojektive algebraische Kurve in P²:

(x0:x1:x2)∈P²

x0x2=ax²₁+bx0x1+cx²₀

Da die Gleichung (7) vom Grad zwei ist, wird die Gleichung, aber auch die projektive Kurve selber, Quadrik genannt. Im Fall der Normalparabel f(x) = x² erh¨alt man auf diese Weise die homogene Gleichung

x₀x₂=x²₁ (8)

und die zugeh¨origen Kurven inR² undP²sehen ungef¨ahr so aus:

(0, 0) x y

affine Parabel inR²

8- ferne Gerade

( x : x : 0 )₀ ₁ ( 0 : x : x )

1

( x : 0 : x )02 2

(1:0:0) (0:0:1)

(0:1:0)

projektive Kurve inP²

Da, wie oben erwähnt, das Modell desP²fehlerhaft ist, erscheint hier der projektive Abschluss der Nor- malparabel verzerrt. Deshalb gibt uns dieses Bild nicht Aufschluss über die Form der projektiven Kurve sondern nur über die Schnittpunkte mit der ∞-fernen Gerade. Diese berechnet man durch Einsetzen der Gleichung{x0= 0} in die Gleichungx0x2=x²₁. So erhält man die Gleichung

0 =x²₁.

Das bedeutet, dass die ∞-ferne Gerade die projektive Kurve x0x2 = x²₁ genau im Punkt (0 : 0 : 1) schneidet. Da aber die Gleichung 0 =x²₁quadratisch ist, ist die Gerade{x0= 0}Tangente an die Kurve in (0 : 0 : 1) und der Schnitt hat die Vielfachheit 2.

Die affine Parabel wurde hier also durch Hinzufügen des∞-fernen Punktes (0 : 0 : 1) projektiv abgeschlossen. Besonders fällt auf, dass die projektive Kurve x0x2=x²₁ geschlossen, also kompakt ist. Das gilt für alle projektiven Kurven.

Ein weiterer Vorteil der algebraisch-geometrischen Vorgehensweise ist, dass man auch Kurven betrachten kann, die zu keinen Funktionen geh¨oren, also nicht in der Formy=f(x) mit einer Funktionfgeschrieben werden k¨onnen. Um bei den Kegelschnitten zu bleiben, betrachten wir dazu nun das Beispiel der Ellipse.

Die affine bzw. die homogene Gleichung lautet:

affine Gleichung: x² a² +y²

b² = 1, homogene Gleichung: x²₁ a² +x²₂

b² =x²₀

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Die zur homogenen Gleichung gehörige projektive Kurve schneidet die∞-ferne Gerade{x₀ = 0} nicht (siehe Aufgabe 1.3.7). Der Grund dafür ist natürlich, dass die Ellipse schon in R² geschlossen und vollständig sichtbar ist:

x y

(0, 0)

affine Ellipse inR²

8- ferne Gerade

( x : x : 0 )₀ ₁ ( 0 : x : x )

1

( x : 0 : x )02 2

(1:0:0) (0:0:1)

(0:1:0)

Um die Liste der nicht ausgearteten Kegelschnitte vollst¨andig zu machen, wenden wir uns nun den Hyperbeln zu. In der Schule lernen wir die Hyperbeln als Graphen der gebrochen rationalen Funktion f(x) =_x¹ kennen. Die entsprechende affine bzw. homogene Gleichung lautet:

affine Gleichung: y= 1

x, homogene Gleichung: x2

x₀ =x0

x₁ ⇔ x₁x₂=x²₀

An der äquivalenten zweiten Darstellung der homogenen Gleichung erkennen wir, dass es sich hier, wie bei der Parabel und Ellipse, wieder um eine quadratische Gleichung (Quadrik) handelt. Die affine Kurve ist bekannt, das Bild der projektiven Kurve könnte in unserem Modell der projektiven Ebene ungefähr so aussehen:

(0, 0) x y

affine Hyperbel inR²

8- ferne Gerade

( x : x : 0 )₀ ₁ ( 0 : x : x )

1

( x : 0 : x )02 2

(1:0:0) (0:0:1)

(0:1:0)

♚

♖

♜

♔

Rechnerisch (siehe Aufgabe 1.3.7), aber auch in der Graphik, erkennt man, dass die projektive Hyperbel die∞-ferne Gerade{x0= 0} in den beiden Punkten (0 : 0 : 1) und (0 : 1 : 0) schneidet.

Warum erscheint sie nun nicht geschlossen wie die projektiven Kurven zuvor? Das liegt wieder an der Fehlerhaftigkeit des Modells der projektiven Ebene. Wie am Ende von Abschnitt 1.2 erkl¨art, sind die Koordinatenachsen als Geraden in P² geschlossene Kurven. Ebenso muss man sich die Hyperbel¨aste miteinander verklebt denken, jeweils sind schwarze und weiße Symbole zu verbinden.

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Eine andere M¨oglichkeit ist, die Ansicht soweit zu verschieben und zu verzerren, dass der linke Hyperbelast nicht mehr links, sondern auf der anderen Seite sichtbar wird. Wie das aussehen k¨onnte, wird in der nebenstehenden Graphik gezeigt.

Zusammenfassend sehen wir nun, dass der so genannteprojek- tive Abschluss der nicht-ausgearteten Kegelschnitte Parabel, Ellipse und Hyperbel jeweils eine kompakte Quadrik inP² ist, die die ∞-ferne Gerade in einem, keinem oder zwei Punkten schneidet.

Ellipse, Parabel und Hyperbel sind in P²projektiv ¨aquivalent (vgl. Aufgabe 1.3.8).

8- ferne Gerade

( x : x : 0 )₀ ₁ ( 0 : x : x )

1

( x : 0 : x )02 2

(1:0:0) (0:1:0)

(0:0:1)

Aufgabe 1.3.7:

Berechne die Schnittpunkte und ihre Vielfachheiten von a) der Ellipse ^x_a²¹2 + ^x_b2²² = x²₀ und b) der Hyperbelx₁x₂=x²₀ mit der Geraden{x0= 0}.

Aufgabe 1.3.8:

SeiP =a₁₁ a₁₂a₁₃ a₂₁ a₂₂a₂₃ a₃₁ a₃₂a₃₃

eine 3×3 - Matrix mit Determinante detP 6= 0. Diese definiert eine Projektivit¨atP :P²→P², die auf den homogenen Koordinaten durch Multiplikation mit der MatrixP wirkt: Da

a11a12a13

a21a22a23

a31a32a33

x0

x1

x2

=a11x0+a12x1+a13x2

a21x0+a22x1+a23x2

a₃₁x₀+a₃₂x₁+a₃₃x₂

, gilt

P(x0:x1:x2) = (a11x0+a12x1+a13x2 : a21x0+a22x1+a23x2 : a31x0+a32x1+a33x2).

Zwei QuadrikenQ₁= 0 undQ₂= 0 inP²heißenprojektiv ¨aquivalent, wenn es eine Projekti- vit¨at P mit

Q1 P(x0:x1:x2)

=Q2(x0:x1:x2)

gibt. Zeige, dass die Quadriken QParabel(x0 : x1 : x2) = x0x2−x²₁ = 0, QEllipse(x0 : x1 : x2) =^x_a²¹2+^x_b2²²−x²₀= 0 undQHyperbel(x0:x1:x2) =x1x2−x²₀= 0 projektiv ¨aquivalent sind.

Aufgabe 1.3.9:

Untersuche, ob die QuadrikenQ1(x0 : x1 :x2) =x²₀−x²₁−x²₂ = 0 und Q2(x0 : x1 :x2) = x²₁−x²₂= 0 projektiv ¨aquivalent sind.

2. Elliptische Kurven und der komplexe projektive Raum

In der Schule werden auch Funktionen h¨oheren Grades untersucht. Betrachten wir als Beispiel die Funktion dritten Gradesf(x) =x³−x. Nun ersetzen wir die Funktion wieder durch die affine Gleichung und betrachten die affine Kurve

(x, y)∈R²|mit y=x³−x .

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Ver¨andern wir nun die Gleichung y =x³−x, indem wir y durch sein Quadrat ersetzen, so treten wir aus der Schulmathematik heraus. Die so erhaltene Kurve ist eine affineelliptische Kurve

(x, y)∈R²|mit y²=x³−x .

Wie wir im Folgenden sehen werden, verbirgt sich hinter den elliptischen Kurven eine F¨ulle von inter- essanter Geometrie. Anhand dieser elliptischen Kurven sollen nun verschiedenste Methoden der algebraischen Geometrie erkl¨art werden.

2.1 Der komplexe projektive Raum

Um ein vollst¨andiges Bild eines geometrischen Objektes, wie zum Beispiel einer affinen Kurve, zu erhalten, haben wir im vorangegangenen Abschnitt die Kurve gemeinsam mit dem sie umgebenden Raum R² projektiv abgeschlossen. Wir haben also die ganze Situation im projektiven Raum P² betrachtet.

Diese Maßnahme reicht aber in vielen F¨allen nicht aus, um alle Eigenschaften einer Kurve zu entdecken.

Ein weiterer Schritt zur Vervollständigung des Bildes ist der algebraische Abschluss. Das heißt hier, man ersetzt die reellen Zahlen R durch ihren so genannten algebraischen Abschluss, den Körper der komplexen Zahlen C. Der Grund für diese Maßnahme liegt an der folgenden Tatsache:

Hauptsatz der Algebra

Ein Polynom vom Grad n¨uber einem algebraisch abgeschlossenen K¨orper hat genaun Nullstellen.

Diese Nullstellen sind nat¨urlich mit Vielfachheiten zu berechnen. (So hat zum Beispiel das Polynom (x+ 1)(x−1)²= 0 insgesamt drei Nullstellen, bei x = −1 eine Nullstelle der Vielfachheit 1 und bei x= +1 eine Nullstelle der Vielfachheit 2.) ¨Uber den komplexen Zahlen schneidet deshalb jede Parabel die x-Achse in 2 Punkten und jede Kubik hat genau 3 Nullstellen. Aus dem Satz folgt aber auch, dass jede andere Gerade eine Parabel bzw. eine Kubik in genau 2 bzw. 3 Punkten schneidet.

Die komplexen Zahlen Clernt man manchmal in der Schule, spätestens aber im Studium kennen (für eine Einführung in die komplexen Zahlen siehe auch [M1] und [M2]).

Als Vektorraum ist Cisomorph zur reellen EbeneR². Diex-Achse vonR² entspricht dabei der reellen Achse Re und die y-Achse der imagin¨aren Achse Im. Eine komplexe Zahl x+iy ∈ C stellt man sich als Punkt (x, y) oder Vektor ^xy

∈ R² vor. Man sagt zu C deshalb auch komplexe Zahlenebene. Der projektive Abschluss der komplexen Zahlenebene, der eindimensionale komplexe projektive RaumP¹(C), ist dieRiemannsche Zahlenkugel:

1 x i

1 i iy

Re x+iy Im

8

Komplexe Zahlenebene Riemannsche Zahlenkugel C ^π // C∪ {∞}=P¹(C) =P¹

Analog wie im Reellen gibt es hier genau einen ∞-fernen Punkt und eine EinbettungC,→P¹(C) der komplexen Zahlen in den projektiven Raum.

Man kann den Zusammenhang zwischen Riemannscher Zahlenkugel und der komplexen Zahlenebene auch mittels der stereographischen Projektion verstehen. Dabei ist die komplexe Zahlenebene genau das Bild der stereographischen Projektion der Riemannschen Zahlenkugel mit dem Punkt∞als Projekti- onszentrum (zur stereographischen Projektion siehe [M3]).

(11)

Die Riemannsche Zahlenkugel P¹(C) ist auch ein Beispiel einer algebraischen Kurve. Darauf werden wir sp¨ater weiter eingehen.

Natürlich gibt es wie im Reellen auch komplexe projektive Räume höherer Dimension:

Pⁿ(C)

Leider kann man sich aber schon P²(C) nicht mehr bildlich vorstellen, da dieser Raum die reelle Di- mension 4 hat. Rechnerisch ändert sich aber nicht viel. Für die komplexen projektiven Räume gelten dieselben Regeln der homogenen Koordinaten

(Z0:Z1)∈P¹(C) und (z0:z1:z2)∈P²(C),

mit Z0, Z1, z0, z1, z2∈Cwobei wieder (Z0, Z1)6= (0,0) und (z0, z1, z2)6= (0,0,0). Um auf die Verwen- dung der komplexen Zahlen hinzuweisen, wurde hier und wird im Folgenden die Variable x bzw. x_i durch z bzw.z_i ersetzt. Wie zuvor wird mittels Groß- und Kleinschreibung zwischen den homogenen Koordinaten vonP¹(C) und P²(C) unterschieden. Da von nun an nur noch ¨uber den komplexen Zahlen gearbeitet wird, schreiben wir

Pⁿ(C) =Pⁿ. Aufgabe 2.1.10:

Eine Funktion f(z) := ^αz+β_γz+δ mit komplexen Zahlen α, β, γ und δ mit αδ−βγ 6= 0 heißt M¨obius-Transformation (siehe auch [M4]). Der Definitionsbereich von f istDf =C\{−_γ^δ} und der Wertebereich istWf =C\{^α_γ}(fallsγ6= 0), andernfallsDf=CundWf =C.f kann zu einer bijektiven Abbildungf :P¹→P¹ fortgesetzt werden, indem manf (γ:−δ)

:= (0 : 1) undf (0 : 1)

:= (γ:α) setzt. Zeige, dass dieM¨obius-Transformationf eine Projektivit¨at ist.

Aufgabe 2.1.11:

Sindx, y, a, bkomplexe Zahlen, so ist ihrDoppelverh¨altnisdefiniert durch DV(x, y, a, b) := (x−a)

(x−b) : (y−a)

(y−b) = (x−a)(y−b) (x−b)(y−a). a) Zeige, dassDV(x, y, a, b) = ^{T V}_{T V}^(x;a,b)_(y;a,b).

b) Das Doppelverh¨altnis l¨asst sich zu einer AbbildungDV :P¹→P¹ fortsetzen.

c) Zeige, dass das Doppelverh¨altnis unterM¨obius-Transformationen invariant ist.

Aufgabe 2.1.12:

Beweise: Zu je drei verschiedenen komplexen Zahlenz1, z2, z3undv1, v2, v3gibt es genau eine M¨obius-Transformationf mitf(zi) =vi f¨uri= 1,2,3.

Aufgabe 2.1.13:

Beweise: Zwei Quadrupelx, y, a, bundx⁰, y⁰, a⁰, b⁰komplexer Zahlen sind genau dann projektiv

¨aquivalent, wenn ihre Doppelverh¨altnisse gleich sind.

Aufgabe 2.1.14:

Finde die M¨obius-Transformation f, die die Punkte 1, i,−1 auf 0, 1,∞ in der gegebenen Reihenfolge abbildet.

Aufgabe 2.1.15:

Seienx, y, a, bpaarweise verschiedene komplexe Zahlen. Man sagt, das Punktepaarx, ytrennt die Punkte a, b harmonisch, wenn DV(x, y, a, b) = −1. Zeige, das x, y das Paar a, b genau dann harmonisch trennt, wenn es eineM¨obius-Transformation gibt, diea, b fixiert undx, y vertauscht.

(12)

2.2 Elliptische Kurven in P

²

Eine elliptische Kurve ist nach Definition eine singularit¨atenfreie (zwVnn) ebene Kurve vom Grad 3.

Die allgemeine Gleichung einer affinen elliptischen Kurve ist (vgl. [Si] p.46) y²=az³+bz²+cz+d.

Durch eine Koordinatentransformationen kann diese Gleichung auf dieWeierstraßsche Normalform

y²= 4z³−g₂z−g₃ (9)

gebracht werden (vgl. Aufgabe 2.2.16).

Bemerkung 2. Die Bezeichnung der Koeffizienten g2 und g3 beruht auf dem Zugang zu elliptischen Kurven via der Weierstraßschen℘-Funktion. Hierbei sind die Koeffizienten die Eisensteinreihen g2= 60G4 undg3 = 140G6 und h¨angen ausschließlich vom Periodengitter der ℘-Funktion ab. Hierauf soll im Folgenden nicht weiter eingegangen werden. N¨aheres dazu findet man in [FB].

Durch Homogenisieren von (9) erhalten wir den projektiven Abschluss der affinen elliptischen Kurve, also die Kubik:

E: z₀z₂²= 4z³₁−g₂z₀²z₁−g₃z₀³

Nach dem Hauptsatz der Algebra schneidet eine Kubik jede Gerade genau dreimal. Insbesondere schneidet die elliptische Kurve Edie∞-ferne Gerade dreimal. Rechnerisch erhalten wir Folgendes:

E∩ ∞-ferne Gerade =

z0z₂²= 4z₁³−g2z₀²z1−g3z₀³ ∩ z0= 0

=

(0 :z₁:z₂)

0 = 4z³₁ ={(0 : 0 : 1)}

Das bedeutet, die elliptische Kurve E schneidet die∞-ferne Gerade in dem Punkt (0 : 0 : 1). Da sich aber dieser Punkt als L¨osung der Gleichung 0 = 4z³₁ ergibt, hat dieser Schnittpunkt die Vielfachheit drei.

In der algebraischen Geometrie sagt und schreibt man (zwVnn), dass D:=E·

z₀= 0 = 3 (0 : 0 : 1) ein Divisor vom Grad drei auf E ist. Die Schreibweise E·

z₀ = 0 bedeutet etwa ”Durchschnitt mit Vielfachheit”. Divisoren und Linearsysteme werden in Abschnitt 3.2 diskutiert.

Aufgabe 2.2.16:

Finde die Koordinatentransformation, die die allgemeine Gleichungy² =az³+bz²+cz+d einer elliptischen Kurve auf dieWeierstrasssche Normalform bringt.

Aufgabe 2.2.17:

Zeige, dass der projektive Abschluss der affinen Kubik K : y = x³−x geometrisch zur Neilschen Parabel mit der affinen Gleichung y² = x³ ¨aquivalent ist (siehe auch Aufgabe 2.5.20) .

2.3 Die ¨ Uberlagerung E −→ P

¹

Wie zuvor erwähnt ist nebenE auchP¹eine algebraische Kurve. Anhand dieser Kurven kann man das Phänomen der Überlagerung erklären. Genauer, die elliptische KurveEist eine doppelte Überlagerung von P¹. Das sieht man am einfachsten so: Die elliptische Kurve E ist mengentheoretisch die Menge der Lösungen (z, y) der affinen Gleichung (9) zusammen mit dem ∞-fernen Punkt (0 : 0 : 1). Nun definiert man die Abbildung Vergiss y: (z, y) 7→ (1 : z) und bildet gleichzeitig den ∞-fernen Punkt (0 : 0 : 1)∈P² auf den∞-fernen Punkt (0 : 1)∈P¹ ab. Da in der Gleichung (9) die Variable y nur als

(13)

Quadrat vorkommt, gibt es zu jedem Punkt (z, y)∈E auch noch den Punkt (z,−y)∈E und unter der Abbildung Vergißy werden diese beiden Punkte auf denselben Punkt (1 :z)∈P¹ abgebildet:

Vergiss y:











y²= 4z³−g2z−g3 ∪ {∞} = E

2:1

(z,±y) _

(0 : 0 : 1) _

z= (1 :z) (0 : 1) P¹

Die AbbildungE−→P¹ ist damit vom Grad 2, dass heißt, (fast) jeder Bildpunkt hat zwei Urbilder in E. Die 3 Nullstellenp₁, p₂ undp₃von 4z³−g₂z−g₃ definieren PunkteP₁= (1 :p₁), P₂= (1 :p₂) und P₃ = (1 :p₃)∈P¹, die wie auch der Punkt ∞= (0 : 1) jeweils nur ein Urbild haben. Man sagt: E ist eine doppelte ¨Uberlagerung von P¹, verzweigt in den vier Punkten P₁P₂, P₃ und (0 : 1). In Abschnitt 3.4 werden wir diese ¨Uberlagerung topologisch betrachten und so ein anschauliches Bild erhalten.

2.4 Das Additionstheorem

Unter den algebraischen Kurven nehmen die elliptischen Kurven eine Sonderstellung ein, denn sie haben die Struktur einerabelschen Gruppe. Aus geometrischer Sicht beruht dieses auf dem

A

B

C

A + B = - C

Additionstheorem:

Drei Punkte A, B und C auf einer elliptischen Kurve haben genau dann die Sum- me Null, wenn sie auf einer Geraden liegen:

A+B+C= 0.

Das Additionstheorem lässt sich auch rein analytisch mit Hilfe der Weierstraßschen ℘-Funktion beweisen (siehe dazu [FB]). In der vorliegenden Arbeit soll diese Gruppeneigenschaft geometrisch be- gründet werden. Dazu müssen wir uns eingehender mit den vielfältigen Eigenschaften elliptischer Kurven beschäftigen. Zunächst betrachten wir dazu Thetafunktionen.

2.5 Thetafunktionen

Die klassischeRiemannsche Thetafunktion ist die Funktion:

ϑ(v) =ϑ(v, z) =X

k∈Z

e^kπi(kz+2v) (10)

mit komplexen Zahlen v und z, wobei z einen positiven Imaginärteil hat: Imz > 0. ϑ ist komplex differenzierbar in v und z (zwVnn). Bei der Summendarstellung der Funktion handelt es sich um eine Fourierreihe (zwVnn). Ausschlaggebend für die Eigenschaften der Thetafunktion ist die Periodizität der Exponentialfunktion e:C→C:

e^2πi·k= 1, f¨ur alle k∈Z. (11)

Damit lassen sich die folgenden Funktionaleigenschaften der Thetafunktion nachweisen (f¨ur Beweise siehe Aufgabe 2.5.18 oder [BL2] Abschnitte 3.2 und 8.5):

1.ϑist periodisch bez¨uglichZ⊂C:

ϑ(v+n) =ϑ(v) f¨ur allev∈Cundn∈Z und (12) 2.ϑist semiperiodisch bez¨uglich der ganzzahligen Vielfachen der komplexen Zahlz:

ϑ(v+nz) =e^−πi(n²^z+2nv)ϑ(v) f¨ur allev∈Cundn∈Z. (13)

(14)

Aus derRiemannschen Thetafunktion leiten sich die so genannten Thetafunktionen mit Charakteristik _m

n

ab. Wir ben¨otigen nur die drei Thetafunktionen mit den Charakteristiken ₀

0

,h₁

3

0

i

und h₂

3

0

i . Dazu ersetzt man in Definition (10)kdurch (k+^c₃) mitc= 0,1 oder 2 und erh¨alt:

ϑ^c

3

0

(v) :=X

k∈Z

e^(k+^c³^)πi ^(k+^c³^)z+2v

f¨ur c= 0,1,2.

Nach Definition ist die Thetafunktion ϑ₀

0

identisch zur Riemannschen Thetafunktionϑ. Diese drei neuen Thetafunktionen haben ebenfalls die Funktionalgleichungen (12) und (13) (vgl. Aufgabe 2.5.19):

ϑ^c₃

0

(v+n1z+n23) =e^−πi(n²¹^z+2n¹^v)ϑ^c₃

0

(v) f¨ur alle n1, n2∈Zundv∈C. (14) Bei der Definition der Riemannschen Thetafunkti-

on wurde vorausgesetzt, dass die komplexe Zahl z einen positiven Imagin¨arteil hat. Das heißt, z liegt in der so genannten oberen Halbebene der komplexen Zahlenebene. Deshalb spannen die ganzzahligen Vielfachen vonz und 3, also alle komplexen Zahlen der Formn₁z+n₂3 mitn₁, n₂∈Z, ein Gitter

Zz+Z3⊂C

in der komplexen Zahlenebene auf (siehe nebenste-

hende Graphik). Re

Im

3 z 0 Wir betrachten nun die Abbildung:

φ:C3v7→

ϑ₀

0

(v) :ϑh₁

3

0

i

(v) :ϑh₂

3

0

i (v)

∈P² (15)

Da die drei Thetafunktionen derselben Funktionaleigenschaft (14) genügen und da bei homogenen Ko- ordinaten gleiche Faktoren gekürzt werden können, ist diese Abbildung periodisch bezüglich des Gitters Zz+Z3. Das heißt:

φ(v+w) =φ(v) f¨ur alle v∈C und alle w∈Zz+Z3.

Die Abbildungφinduziert eine projektive Einbettung des QuotientenraumesC/(Zz+Z3):

C ^φ

,,Y

YY YY YY YY YY YY YY Y

π P²

C/(Zz+Z3)

% fff^ϕffffffff22

Der Quotient C/(Zz+Z3) wird im n¨achsten Abschnitt genauer besprochen. Mehr zu der Einbettung ϕfindet man in Abschnitt 3.3.

Aufgabe 2.5.18:

Beweise die Funktionaleigenschaften (12) und (13) derRiemannschen Thetafunktionϑ. Hin- weis: Benutze die Reihendarstellung vonϑ.

Aufgabe 2.5.19:

Beweise die Funktionaleigenschaft (14) der Thetafunktionenϑ^c₃

0

. Aufgabe 2.5.20:

Bestimme die affine und homogene Gleichung der Bildkurve der Abbildungϕ1:P¹→P² mit (Z0:Z1)7→(Z₀³:Z0Z₁²:Z₁³). Um welche Kurve handelt es sich und was sind die∞-fernen Punkte? Zeichne die affine Kurve, was f¨allt auf?

Aufgabe 2.5.21:

Bestimme die affine und homogene Gleichung der Bildkurve der Abbildungϕ₂:P¹→P² mit (Z₀:Z₁)7→(Z₀³:Z₀Z₁²−Z₀³ :Z₁³−Z₀²Z₁). Um welche Kurve handelt es sich und was sind die∞-fernen Punkte? Zeichne die affine Kurve, was f¨allt auf?

(15)

2.6 Thetarelationen

Das Bild projektiver Einbettungen (wie oben definiert) wird durch Thetarelationen beschrieben. Die klassischenRiemannschen Thetarelationen (zwVnn) lauten:

2^g·ϑ[a](v1, Z)·ϑ[a+b1](v2)·ϑ[a+b2](v3, Z)·ϑ[a−b1−b2](v4, Z) = X

c∈¹₂Z^2g/Z^2g

e^4πi(a^t¹^c²^−a^t²^c¹⁾·ϑ[c](v1+v2+v3+v4, Z)·ϑ[c+b1](v1+v2−v3−v4, Z)

·ϑ[c+b2](v1−v2+v3−v4, Z)·ϑ[c−b1−b2](v1−v2−v3+v4, Z) mit Z∈Hg, derSiegelschen oberen Halbebene der Dimensiong,v1, . . . , v4∈C^g, unda, b1, b2∈ ¹₂Z^2g (siehe [K]). Hier ben¨otigen wir die kubischen Thetarelationen (zwVnn) (vgl. [BL1]):

Θ(y₁,y₂),ρ(0)· X

z∈Z6

ρ(z)·ϑ^L_y0

1+y₂⁰+y3+2z·ϑ^L_y0

1−y₂⁰+y3+2z·ϑ^L_−2y0 1+y3+2z

= Θ_(y⁰

1,y₂⁰),ρ(0)· X

z∈Z6

ρ(z)·ϑ^L_y

1+y₂+y₃+2z·ϑ^L_y

1−y₂+y₃+2z·ϑ^L_−2y

1+y₃+2z

Hiervon ben¨otigen wir nur den Spezialfall der Dimensiong= 1 und mit dem Geradenb¨undelL=O(3) zuvor. In diesem Fall reduzieren sich die kubischen Thetarelationen zu der folgenden Gleichung (vgl.

[BL2] Exercise 7.(8)) (zwVnn):

ϑ₀

0

³ +ϑh₁

3

0

i3

+ϑh₂

3

0

i3

= 3^Θ_Θ^(0,0),1⁽⁰⁾

(0,6),1(0)ϑ₀

0

ϑh₁

3

0

i ϑh₂

3

0

i

(16) Der Term 3^Θ_Θ^(0,0),1⁽⁰⁾

(0,6),1(0) ist eine komplexe Konstante6= 0, die sich mit gewissen Thetafunktionen berechnen l¨asst, f¨ur uns hier aber nicht von Bedeutung ist. (16) ist eine Relation zwischen den Komponenten der Abbildung (15). Ersetzt man hierϑ₀

0

, ϑh₁

3

0

i

undϑh₂

3

0

i

durch die homogenen Koordinatenfunktionen z₀, z₁undz₂ vonP², so erhalten wir die Gleichung

z³₀+z₁³+z₂³= 3^Θ_Θ^(0,0),1⁽⁰⁾

(0,6),1(0)z₀z₁z₂. (17)

Dies ist die Gleichung der Bildkurve vonφbzw.ϕ. Da dieses eine Gleichung vom Grad 3 ist, istφ(C) eine elliptische Kurve, die wieder mit E bezeichnet werden soll. Daϕ:C/(Zz+Z3),→P² eine Einbettung ist, ergeben sich die folgenden Identifikationen:

E'C/(Zz+Z3)'

(z0:z1:z2)

z₀³+z³₁+z₂³= 3^Θ_Θ^(0,0),1⁽⁰⁾

(0,6),1(0)z0z1z2 ⊂P² Aufgabe 2.6.22:

Berechne die Schnittpunkte der elliptischen KurveE : z³₀+z₁³+z³₂ = 3^Θ_Θ^(0,0),1⁽⁰⁾

(0,6),1(0)z₀z₁z₂ mit der∞-fernen Geradez₀= 0.

2.7 Die elliptische Kurve E als komplexer Torus

Betrachten wir zun¨achst den QuotientenC/(Zz+Z3). Wie in Abschnitt 2.5 gezeigt wurde, istZz+Z3 ein Gitter inC. Der QuotientC/(Zz+Z3) ist nach Definition die Menge aller Nebenklassenv:=v+Zz+Z3 mitv∈C(vgl. Aufgabe 2.7.23). Anschaulich kann man sich den Quotienten folgendermaßen vorstellen:

Man betrachtet im GitterZz+Z3 das von den vier Eckpunkten 0,3, z undz+ 3 gebildete Fundamen- talparallelogramm und identifiziert gegen¨uberliegende Seiten. So entsteht ein komplexer Torus:

b=d

a=c c

d b

a z

0 3

¼

(16)

Hierbei ist πdie Projektion:

π:C−→C/(Zz+Z3) =E mit v7→v:=v+Zz+Z3

Die komplexen Zahlen C sind als K¨orper insbesondere auch eine abelsche Gruppe. Diese Gruppen- struktur induziert eine Gruppenstruktur auf dem komplexen Torus E=C/(Zz+Z3) und wir erhalten die geometrische Erkl¨arung des Additionstheorems.

Fassen wir zusammen: Die elliptische Kurve E wird durch die algebraische Gleichung z₀³+z₁³+z₂³= 3^Θ_Θ^(0,0),1⁽⁰⁾

(0,6),1(0)z0z1z2

beschrieben, ist also eine projektive algebraische Kurve. Damit ist aber auch der komplexe Torus E = C/(Zz +Z3) algebraisch. Als algebraischer komplexer Torus der Dimension 1 ist E schließlich eine projektive algebraische Kurve vom Geschlecht 1 (siehe auch Abschnitt 3.1).

Aufgabe 2.7.23:

Seienuundv∈Cundn∈Zz+Z3. Zeige, dass inE=C/(Zz+Z3) gilt:

a) u=v genau dann, wennu−v∈Zz+Z3.

b) n= 0.

c) u+v=u+v.

3. Einige S¨atze ¨ uber algebraische Kurven

In diesem letzten Teil sollen einige klassische Aussagen und Sätze der algebraischen Geometrie, insbesondere der Kurventheorie, vorgestellt werden. Unter Kurve verstehen wir hier immer eine glatte, das heißt singularitätenfreie Kurve (zwVnn). Beispiele für Kurven mit Singularitäten findet man in Aufgaben 2.5.20 und 2.5.21.

3.1 Das Geschlecht einer algebraischen Kurve

Eine projektive algebraische Kurve C vom Geschlecht g kann man sich topologisch als eine kompakte Fl¨ache mitg L¨ochern vorstellen:

+2

¸g +1

¸g

¸2

¸1

g

¸2

¸g

Neben dieser anschaulichen Erkl¨arung kann das Geschlechtg einer KurveCz. B. auch ¨uber die Dimen- sionen bzw. Ordnungen der folgenden Kohomologie bzw. Homologiegruppen definiert werden:

H⁰(C,O(K))'C^g, H1(C,Z)'Z^2g.

Die KohomologieH⁰(C,O(K)) wird im nächsten Abschnitt erklärt. Die Elemente der Homologiegruppe H₁(C,Z) sind Äquivalenzklassen von geschlossenen Zykeln, also reell eindimensionalen geschlossenen Kurven auf C. Zwei solche Zykel sind äquivalent, wenn sie stetig ineinander deformierbar sind. So sind beispielsweise die in der obigen Graphik eingezeichneten Zykel λ1 und λ2 nicht äquivalent, da sie sich um verschiedene Löcher winden. Die Zykel λ1, . . . , λ2g sind Repräsentanten eines Erzeugendensystems fürH1(C,Z)'Z^2g. An dieser Definition bzw. der Graphik erkennt man sofort, dass die KurvenP¹ das Geschlecht 0 (da kein Loch) undE das Geschlecht 1 (da ein Loch) haben.

(17)

3.2 Divisoren

EinDivisor D auf einer KurveCist eine formale endliche Summe von Punkten aufC:

D=n₁P₁+· · ·+n_kP_k, mit n_i∈Z und P_i∈C.

Der Grad des Divisors ist

degD:=n1+· · ·+nk.

Beispiel 1. Am Ende von Abschnitt 2.2 haben wir schon einmal einen Divisor kennengelernt, den Divisor

D:=E·

z₀= 0 = 3 (0 : 0 : 1) auf der elliptischen KurveE=

z0z₂²= 4z₁³−g2z₀²z1−g3z₀³ .

Jede rationale Funktion f auf C definiert einen Divisor. Dazu berechnet man die Nullstellen N vonf und ihre OrdnungenνN (wie man es aus der Schule kennt). Ebenfalls berechnet man alle PoleP vonf und ihre OrdnungenνP. Die Pole sind hierbei gerade die Nullstellen des Nenners. (So hat beispielsweise die Funktionz7→ ^1−z_z2 beiz= 1 eine Nullstelle der Ordnung 1 und beiz= 0 einen Pol der Ordnung 2.) Der Divisor der Funktion f ist nun

(f) = X

N Nullstelle vonf

νNN− X

PPol vonf

νPP.

Die Divisoren (f) heißenHauptdivisoren. Rationale Funktionen auf einer algebraischen Kurve bed¨urfen eigentlich einer genaueren Definition, wir wollen es hier bei einer Erkl¨arung mittels eines Beispiels belassen:

Beispiel 2. Rationale Funktionen auf C = P¹ sind Quotienten ^p(Z_q(Z⁰^,Z¹⁾

0,Z₁) mit homogenen Polynomen p und q in Z0 und Z1 und degp = degq. Betrachten wir beispielsweise f(Z0, Z1) := ^Z_Z¹

0. f hat in (1 : 0) eine einfache Nullstelle und in ∞= (0 : 1) einen einfachen Pol. Der Hauptdivisor von f ist also

f₁

= (1 : 0)−(0 : 1) und deg f

= 1−1 = 0.

Wie in diesem Beispiel gilt allgemein f¨ur den Grad von Hauptdivisoren: deg f

= 0.

Beispiel 3. Ein weiteres Beispiel f¨ur einen Divisor ist der Verzweigungsdivisor der doppelten ¨Uber- lagerungVergiss y : E7→P¹ aus Abschnitt 2.3. Die vier Verzweigungspunkte bilden den so genannten Verzweigungsdivisor R=P1+P2+P3+ (0 : 1) aufP1.

Sind

D₁= X

P∈C

n_PP undD₂=X

P

m_PP

Divisoren auf einer KurveC (nach Definition sind in dieser Darstellung nur endlich viele Koeffizienten n_P 6= 0 bzw.m_p6= 0), so definiert man die Addition

D₁+D₂=X

P

(n_P +m_P)P und die Ordnungsrelation

D₁≥D₂, falls n_P ≥m_P f¨ur alle P ∈C.

Die rationalen Funktionenf aufC, deren Hauptdivisor f

in diesem Sinne≥ −D ist, bilden bez¨uglich der Addition von Funktionen und der Skalarmultiplikation, also der einfachen Multiplikation mit einer komplexen Zahl, einen komplexen Vektorraum. Dieser Vektorraum stimmt mit der 0-ten Kohomologie H⁰(C,O(D)) des DivisorsD ¨uberein. Es gilt also:

H⁰(C,O(D)) :=

f

f ist eine rationale Funktion aufCmit f

≥ −D .