11 Übungsblatt zur Experimentalphysik III
11.1 Gesamtspin und Multiplizität
Es sindderGesamtspin unddieMultiplizität von Na,Mg,Ne zu bestimmen. Es folgt:
N a [N e] 3s 1 ⇒ S = 1 2 ⇒ M = 2 M g [N e] 3s 2 ⇒ S = 0 ⇒ M = 1 N e [N e] ⇒ S = 0 ⇒ M = 1
Betrachtenwirnoch den angeregtenZustandvon
M g
fürdiesen gilt:M g [N e] 3s 1 3p 1 ⇒ S = 1 ⇒ M = 3 (T riplett) M g [N e] 3s 1 3p 1 ⇒ S = 0 ⇒ M = 1 (Singulett)
Der
3s 2 Zustandistenergetischgünstiger alsder3s 1 3p 1 Zustand,daheristder3s 1 3p 1
3s 1 3p 1
ZustandauchderangeregteZustand,diesliegtanderEnergieniveaustrukturderOrbita-
le,wobeiesgünstigerist
3s
vollzubesetzen,bevormandie3p
Schaleanfängtaufzufüllen.Innerhalb des
3s 1 3p 1 Zustand sind das Singulett und Triplett zu unterscheiden, wobei dasTriplettenergetischgünstigerist,dawirdieHund'scheRegel anwenden können,wo-
nachzuerst dieSpinsparallel anzuordnensind, wobei für
S = 1,
dasTriplett↑↑
bzw.↓↓
möglich ist undfür
S = 0,
dasSingulett↑↓
bzw.↓↑ .
11.2 2-Teilchen-System in einer Raumdimension
Fürdie Ortswellenfunktion dieses Systemsgilt:
Ψ S,A (x 1 , x 2 ) = 1
√ 2 [ψ a (x 1 ) ψ b (x 2 ) ± ψ b (x 1 ) ψ a (x 2 )] ,
(1)mitpositivemVorzeichenfürdiesymmetrischeLK.DieEin-Teilchen-Wellenfunktionen
sollenauf
1
normiertsein, weiterhinsollgeltena 6 = b
und dieOrthogonalität mit:Z
dx ψ a ∗ (x) ψ b (x) = 0
Es ist zu zeigen,dassderErwartungswert desAbstandes derbeiden Teilchen mit:
D (x 1 − x 2 ) 2 E
S,A = D (x 1 − x 2 ) 2 E
u ∓ Z
dx ψ a ∗ (x) xψ b (x)
2
,
berechnet werdenkann,wobei
h . . . i u den Erwartungswert desAbstandes für zweiun- terscheidbare Teilchen beschreibe.
D (x 1 − x 2 ) 2 E
S = Z
dx Ψ ∗ S (x 1 , x 2 ) (x 1 − x 2 ) 2 Ψ S (x 1 , x 2 )
Wirkönnen nun
(1)
einsetzenund erhalten:D (x 1 − x 2 ) 2 E
S =
Z dx 1
√ 2 [ψ a ∗ (x 1 ) ψ b ∗ (x 2 ) + ψ b ∗ (x 1 ) ψ a ∗ (x 2 )] (x 1 − x 2 ) 2 ·
· 1
√ 2 [ψ a (x 1 ) ψ b (x 2 ) + ψ b (x 1 ) ψ a (x 2 )]
= 1
2 Z
dx { [ψ ∗ a (x 1 ) ψ ∗ b (x 2 ) ψ a (x 1 ) ψ b (x 2 ) + ψ b ∗ (x 1 ) ψ a ∗ (x 2 ) ψ a (x 1 ) ψ b (x 2 )] + + [ψ ∗ a (x 1 ) ψ ∗ b (x 2 ) ψ b (x 1 ) ψ a (x 2 ) + ψ b ∗ (x 1 ) ψ a ∗ (x 2 ) ψ b (x 1 ) ψ a (x 2 )] } (x 1 − x 2 ) 2
= 1
2 Z
dx [ψ ∗ a (x 1 ) ψ ∗ b (x 2 ) ψ a (x 1 ) ψ b (x 2 ) (x 1 − x 2 ) 2 +
+ ψ b ∗ (x 1 ) ψ a ∗ (x 2 ) ψ a (x 1 ) ψ b (x 2 ) (x 1 − x 2 ) 2 + ψ a ∗ (x 1 ) ψ b ∗ (x 2 ) ψ b (x 1 ) ψ a (x 2 ) (x 1 − x 2 ) 2 + ψ b ∗ (x 1 ) ψ a ∗ (x 2 ) ψ b (x 1 ) ψ a (x 2 ) (x 1 − x 2 ) 2 ]
Jetzt können wirumformen:
D (x 1 − x 2 ) 2 E
S =
Z dx 1
2 [ψ ∗ a (x 1 ) ψ a (x 1 )
| {z }
=|ψ a (x 1 )| 2
ψ ∗ b (x 2 ) ψ b (x 2 )
| {z }
=|ψ b (x 2 )| 2
(x 1 − x 2 ) 2 +
+ ψ a ∗ (x 2 ) ψ a (x 2 )
| {z }
=|ψ a (x 2 )| 2
ψ b ∗ (x 1 ) ψ b (x 1 )
| {z }
=|ψ b (x 1 )| 2
(x 1 − x 2 ) 2 + ψ a (x 1 ) ψ b (x 2 ) ψ a ∗ (x 2 ) ψ ∗ b (x 1 ) (x 1 − x 2 ) 2
+ ψ a (x 2 ) ψ b (x 1 ) ψ ∗ a (x 1 ) ψ ∗ b (x 2 ) (x 1 − x 2 ) 2 ]
= Z
dx | Ψ S (x 1 , x 2 ) | 2 (x 1 − x 2 ) 2
Oh, ja äh, ok, das war jetzt ein Zirkelschluss, aber da es jetzt schonmal eingeteXt
ist,kannich dasjagleich alsBeweis darstehenlassen,dass meineUmformungobenin
Ordnung war.
Wir betrachtenalso wieder die letzteZeile aus demoberen Machwerk bevor der Zir-
kelschluss durchgeführt wurde:
Ichversteheleider nicht soganz, wiedas
D (x 1 − x 2 ) 2 E
u
deniertistund wie manvon
zwei Orten
