Übung Besprechung

(1)

Besprechung

^-

Übung ²

Steffen ^Reith

4.5.17

(2)

Einige

^"

^brauchbare

^"

Grundlagen

^der

^Linearen

1 Algebra

Ziel kennenlernen ^des abstrakten

^Vehtoren ^- ^und ^Vehtorraum

_begriffs Bekannt

^:

vehtorrauw.IR?

• _, I ⁼

( f)

^. ^Vehtor

^#

^Skala ^.

•

Ital

^.

⁵⁵

1- _a

5=1

^?

⁾

tl As

1

Hier^: Vehtorcn

(

⁼ ^Elemente ^eines Vehtorraums

)

können

sogar

graphisch dargestellt

^.

(3)

Defi ^Sei

^kein

Körper

^und

VFY

^eine Menge ^mit ^den

Operationen

²

+ ^: Vxv ^→ V

(

uvehtor addition ^"

)

^. ^: kxv ^→ ^V l _" ^Skala ^. ^-

multiplikation ⁾

^.

^Sind

^die

folgenden Eigenschaften erfüllt

^, ^so

nennt

^man

( V.

^t _,

e)

^ein ^K ^-

^Vektorranm

^:

i,

( _v.

^t

)

^ist ^eine

abelschelkommutative Gruppe

- - iii

,

die Distributing ^esetze gelten

vehtoradditi.us#at5)=CItC5tfcEktfxTjev

^-

⁽

^ct

d)

^I ⁼ ^CI ⁺ ^DI

Hc

_, ^dek ^HIEV

In körper ^addition

iii.

^. ^ist ^assoziativ

- c.

(

d. I

)

⁼

⁽

^c.

^d)

^I

^tfc

, dek

VTTEV

(4)

iy

^Für ^die ^Eins ^d.

_Körpers gilt

3

- 1. I ⁼ ^x. KIEV

Bspim ^-

IR

^" _, ûnd îst êin IR ^- ^Vehtorraum ^.

Völlig ^analog

^kann ^man

IR durch einen Körper ^K ersetzen und erhält einen K ^- Vektorranm

- Sei kein

Körper

^und

^km

^"

^die Menge

^aller ^Mahnten ^mit

m

Zeiten

^und ⁿ

Spalten

^.

Betrachtet

_man die

übliche Matrix

^-

addition

^und ^die

Multiplikation

^mit ^einen ^Skalar ^, ^so

^erhält

man einen K ^- Vehtor raume

- Sei kein

Körper

^, ^dann ^sei ^. ^eine

Operation auf ^Polynomeu

C

(

_an

Xht

. . . t a. ^xt

a.)

⁼def

( Xht

^Cdu

)

^. ^.^. ^t

⁽

^c.

^a.)

^xt

⁽

^c. ^ao

⁾

^,

dann ist

(

^KEXI , t _, ^.

)

êin ^K ^- ^vehtorranm , wenn + d. Polgnom âddition îst^.

(5)

Jeder

Vehtorranm kann _durch _ein

Erzeugenden system beschrieben

4

werden ^:

DEI

^Sei

⁽ ^V.

^t ^, ^.

⁾

^ein

^K

^-

^Vehtorraum

^und ^EEV ^mit

E ⁼

hu.in

, in

I

_,

dann

µ

^Skala

:

(E)

⁼ _aeg

2

^Iev

^I ^I

⁼

heut

^. ^. ^. ^r

In ^u }

^.

Gilt V ⁼ LE )

, dann ^ist E _ein

ErzeugendenSystem

^von ^V

und

heut

^. ^. ^. ^t

^In ^ün

eine Linear Kombination

.

Bend ^Unsere Def

^. ^deckt ^nur

^endliche Erzeugenden systeme ^ab

_, ^die

Def

^.

^könnte ^auch auf ^den unendlichen Fall _ausgedehnt werden

( brauchen

^wir ^nicht

)

^.

(6)

Bsg

^: ^In

^R

^?

^kann ^jeder

^Vehtor ^I ^durch ^eine ^Linear

Kombination

⁵ I ⁼

in (9) ^the (f)

dargestellt

^werden ^, ^d. ^h^.

^E.

⁼

{ ⁽⁹⁾

^,

^(b) } ^ist

^ein

Erzeugendensystem

^von

^R ?

Defm

^: ^Sei

^CV

, t

,

.

)

^ein ^U ^- ^Vehtorranm ^.

^Die

^Vehtoreu

^u

, ^... ,

u heißen ^linear unabhängig

^, ^wenn

^die ^Glg

-

EV

heute

^. ^. ^t

_In

vn ⁼

Ö

,

die

^K _, ¹ ^Eilen

nur

die triviale ↳

g de

⁼

Rz

⁼

Oeg

^. ^. ^. ⁼

^In

⁼

^hat

^.

(7)

Bspm

^:

Im R

^? sind

(2) ^und ( ⁼ ^! ⁾

^nicht ^linear

_unabhängig

^, ⁶

da ^-2

(2)

^t ^1.

( ^Ibn ⁾

^z

(8)

^zö

Bend ^Sind

^Vehtoreu

_vi.

^... _,

_ün _nichts _linear _unabhängig

_, dann

gibt

ês êinen ^1k îhn , sodass

Lhu

_, ^... , ün

3) =L lu

_, ^... _, in

315N

^'

b)

Def ^Sei

^V ^ein ^Vehtorraum ^.

^Die ^Menge ^Bsv ^heißt ^Basis

(

^von ^V

₎

, wenn

-

(B)

⁼ ^v

-

B _ist

linear

unabhängig

Weiterhin ^ist dimv.mg

^#

^B ^die ^Dimension

^von ^V.

(8)

3¥ ^Der

^Fall ^dimv ⁼ ^o ^ist

_möglich

^L ^Stichwort ^:

_Folgen

^räume

)

⁷

Hier nicht !

Defn

^:

^Sei ^lvit

^, ^.

⁾

^ein ^Vehtorranm ^. ^Eine

Menge

^KEV

heißt

Untervehtorraum

, wenn

i,

ÖEU

ii ,

HXTJEU

^⇒

^Itj

^EU

iiy ^ttcek

,

IEU gilt

^c- ^IEU

Bend

Îst ^V êin ^Vehtorraum ^mit ^{Basis B} _, ^dann îst

f.

^a.

B

^'

EB

das

Erzeugnis ^L

^B.

⁾

^ein

^Unter ^vehtorraum

^.

(9)

8

D. ^h

^.

^Ö

^ist ^Unter ^vehtorraum ^von

^R

_,

^IR

^ist ^Unter ^vehtorraum

von

IRZ

, ^. ^. ^e.

Sei _B ⁼

hu

_, ^_ _, in ^G ^eine

Basis

des knvehtorranms ^k ^" _, dann

gibt

es

für

^alle ^Ieh ^" ^Shalane

^Ii

, 1 ki _Eu mit

I ⁼

In

Int ^. ^- ^. ⁺

Run

Setzt

_man ein oder mehrere 12_; ⁼ ⁰ _, ^so ^wird ^ein

(

^" ^echter ^"

⁾ ^Unter

^-

vehtorraun erzeugt

^,

^Sei ^B

^' ^=L

^In

^, ^... ^,

Tim ^}

^EB _, ^dann

^haben

alle diese Elemente

die Form

I

^' ⁼

hin Tint

^. ^e-⁺

Rin ^Tim

(10)

µ

Ü

^' ⁼

hin In t.int/2imvim

9

spalten ^rektor

=

( u

. . ^-. .

üim )

^-

( III

Generator matrix ( ⁿ ^Zeiten Im Spalten

) Benin

* ^T ⁼

Hin

^.^' ^-

^hin ) .LT#infT

( m Zeiten

In

_Spalten

Übung Besprechung

Besprechung

Übung 2

Steffen Reith

Einige

brauchbare

Grundlagen

Linearen

1

Algebra

Ziel kennenlernen des abstrakten

begriffs Bekannt

vehtorrauw.IR?

( f)

#

Ital

55

5=1

)

(

)

sogar

graphisch dargestellt

Defi Sei

Körper

VFY

Operationen

(

)

multiplikation )

Sind

folgenden Eigenschaften erfüllt

nennt

( V.

e)

Vektorranm

( v.

)

abelschelkommutative Gruppe

die Distributing esetze gelten

vehtoradditi.us#at5)=CItC5tfcEktfxTjev

(

d)

Hc

iii.

(

)

(

d)

tfc

VTTEV

iy

Körpers gilt

IR

Völlig analog

Körper

km

die Menge

Zeiten

Spalten

Betrachtet

übliche Matrix

addition

Multiplikation

erhält

Körper

Operation auf Polynomeu

(

Xht

a.)

( Xht

)

(

a.)

(

)

(

)

Jeder

Erzeugenden system beschrieben

Übung ²

Steffen ^Reith

^brauchbare

^Linearen

Ziel kennenlernen ^des abstrakten

_begriffs Bekannt

^#

⁵⁵

⁾

Defi ^Sei

multiplikation ⁾

^Sind

^Vektorranm

( _v.

die Distributing ^esetze gelten

⁽

⁽

^d)

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_Körpers gilt

Völlig ^analog

^km

^die Menge

^erhält

Operation auf ^Polynomeu

⁽

^a.)

⁽

⁾

⁽ ^V.

⁾

^K

^Vehtorraum

^I ^I

In ^u }

^In ^ün

Bend ^Unsere Def

^endliche Erzeugenden systeme ^ab

^könnte ^auch auf ^den unendlichen Fall _ausgedehnt werden

^R

^kann ^jeder

in (9) ^the (f)

^E.

{ ⁽⁹⁾

^(b) } ^ist

^R ?

^CV

^Die

^u

u heißen ^linear unabhängig

^die ^Glg

_In

^In

^hat

(2) ^und ( ⁼ ^! ⁾

_unabhängig

( ^Ibn ⁾

Bend ^Sind

_vi.

_ün _nichts _linear _unabhängig

Def ^Sei

^Die ^Menge ^Bsv ^heißt ^Basis