Formelsammlung diskrete Strukturen I

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Formelsammlung diskrete Strukturen I

<Marco.Moeller@macrolab.de>

Stand: 27.05.2005 - Version: 1.0.0

Erh¨ altlich unter http://privat.macrolab.de

Diese Formelsammlung basiert auf der Vorlesung “Dis- krete Strukturen 1 f¨ur Informatiker” von Dr. Markus Wessler an der Universit¨at Kassel im Sommersemester 2004.

Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen Download zur Verfügung. Das Urheberrecht und son- stige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser, der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständig- keit der Inhalte übernehmen kann.

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen 2

1.1 Logik & Aussagen . . . 2

1.1.1 Verkn¨upfungen . . . 2

1.1.2 Rechenregeln . . . 2

1.1.3 Quantoren . . . 3

1.1.4 Eigenschaften von Aussagen . . . 3

1.2 Mengen . . . 3

1.2.1 Beschreibung . . . 3

1.2.2 Standardmengen . . . 3

1.2.3 Intervalle . . . 3

1.2.4 Operationen . . . 3

1.3 Beweisverfahren . . . 4

1.3.1 direkter Beweis . . . 4

1.3.2 indirekter Beweis . . . 4

1.3.3 Kontraposition . . . 4

1.3.4 Vollst¨andige Induktion^I.33 . . . 4

1.4 Abbildungen . . . 4

1.4.1 injektiv . . . 4

1.4.2 surjektiv . . . 4

1.4.3 bijektiv . . . 4

1.4.4 isomorph . . . 5

1.5 Sonstiges . . . 5

1.5.1 Ganzzahliger Anteil . . . 5

2 Kombinatorik 5 2.1 Elementare Z¨ahlprinzipien . . . 5

2.1.1 Auswahlen . . . 5

2.1.2 Rechenregeln f¨ur Binomialkoeffi- zienten . . . 5

2.1.3 Summenregel . . . 5

2.1.4 Produktregel . . . 5

2.1.5 Gleichheit . . . 5

2.1.6 Doppeltes Abz¨ahlen . . . 5

2.1.7 Schubfachprinzip . . . 5

2.2 Permutationen . . . 6

2.2.1 Definition . . . 6

2.2.2 Zyklus . . . 6

2.2.3 Stirlingzahl . . . 6

3 Rekursionen 6 3.1 Lineare Rekursionsgleichungen . . . 6

3.1.2 lineare Rekursionsgleichung 1. Ordnung . . . 6

3.1.3 lineare Rekursionsgleichung 2. Ordnung . . . 6

3.1.4 Fibonacci-Folge . . . 7

3.2 Erzeugende Funktionen . . . 7

3.2.3 Inverse . . . 7

3.2.4 Wichtige Erzeugende Funktionen 7 3.2.5 L¨osen von linearen Rekursions- gleichungen durch erzeugende Funktionen . . . 7 1

(2)

2 1 GRUNDLAGEN

4 Graphentheorie 8

4.1 Grundlagen . . . 8

4.1.1 Definition Graph . . . 8

4.1.2 Grad & Gradfolge . . . 8

4.1.3 Regul¨ar . . . 8

4.2 Eulersche und hamiltonische Graphen . 9 4.2.1 Weg & Eigenschaften . . . 9

4.2.2 Abstand & Durchmesser . . . 9

4.2.3 eulerscher Graph . . . 9

4.2.4 zusammenh¨angend . . . 9

4.2.5 Kreis . . . 9

4.2.6 Teilgraph . . . 9

4.2.7 hamiltonischer Graph . . . 9

4.2.8 Adjazenzmatrix . . . 9

4.3 Bipartite Graphen . . . 9

4.3.1 bipartit & Matching . . . 9

4.3.2 Heiratssatz / Existenz eines perfekten Matching . . . 9

4.4 B¨aume . . . 10

4.4.1 Baum & Bl¨atter . . . 10

4.4.2 aufspannender Baum . . . 10

4.5 Eulerscher Satz . . . 10

4.5.1 Aquivalenz von Graphen / ebene¨ Graphen . . . 10

4.5.2 Eulerscher Satz . . . 10

4.5.3 Satz von Kuratowski . . . 10

5 Wahrscheinlichkeitstheorie 10 5.1 Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie . . . 10

5.1.1 Definitionen . . . 10

5.1.2 Laplacescher Wahrscheinlich- keitsraum . . . 10

5.1.3 bedingte Wahrscheinlichkeit . . . 11

5.1.4 Formel von der vollst¨andigen Wahrscheinlichkeit . . . 11

5.2 Unabh¨angigkeit und Wahrscheinlich- keitsverteilung . . . 11

5.2.2 Binomialverteilung . . . 11

5.2.3 Hypergeometrische Verteilung . . 11

5.3 Erwartungswert und Varianz . . . 11

5.3.1 Zufallsvariable . . . 11

5.3.2 Erwartungswert . . . 11

5.3.3 Varianz . . . 12 Die hinter den ¨Uberschriften angegebenen Nummern beziehen sich auf die Seitenzahlen des Buches “Diskrete Mathematik” von Martin Aigner (5. Auflage).

Grundlagen der Logik und der Mengenlehre sind in meiner “Formelsammlung Mathe I/II f¨ur Informatiker”

nach zuschlagen.

1 Grundlagen

1.1 Logik & Aussagen

Eine Aussage ist ein Sprachkonstrukt, das entweder wahr oder falsch ist. F¨ur zwei AussagenA undB exi- siteren Verkn¨upfungen.

1.1.1 Verkn¨upfungen

• Negation

¬a: nichta

• Implikation

a⇒b: ausafolgtb

• Aquivalenz¨

a⇐⇒b:aundbsind ¨aquivalent (gleichwertig)

• Konjunktion a∧b:aundb

• Disjunktion a∨b:aoderb

• Antivalenz (XOR) a∨˙ b: entwederaoderb 1.1.2 Rechenregeln

• Kommutativgesetz a∧b=b∧a a∨b=b∨a

• Assoziativgesetz (a∧b)∧c=a∧(b∧c) (a∨b)∨c=a∨(b∨c)

• Distributivgesetz

a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c) a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c)

• De Morgan

¬(a∨b) = (¬a)∧(¬b)

¬(a∧b) = (¬a)∨(¬b)

• doppelte Negation

¬(¬a) =a

• neutrales Element a∨f =a

a∧f = f a∨w = w a∧w =a

(3)

1.2 Mengen 3

• inverses Element a∨(¬a) = w a∧(¬a) = f

1.1.3 Quantoren

• Allquantor∀x:ϕ(x) f¨ur allexgiltϕ(x).

z.B.∀x∈N:x²∈N=∀^x^N:x²∈N

• Existenzquantor∃x:ϕ(x)

es gibt (mindestens) einxf¨ur dasϕ(x) gilt.

z.B.∃x∈N:ϕ(x) =∃^x^N:ϕ(x)

• ∃!x:ϕ(x) oder∃¹x:ϕ(x)

es gibt genau einxf¨ur dasϕ(x) gilt.

• Negation∀x:H(x)⇔ ¬∃x:¬H(x)

Es gilt f¨ur allex,H(x)⇔Es gibt nicht einx, f¨ur dasH(x) nicht gilt.

1.1.4 Eigenschaften von Aussagen

Widerspruch (Symbol: Blitz (\lightning)) heißt eine zusammengesetzte Aussage, wenn sieimmer falsch ist.

z.B.A∧ ¬A

Tautologie heißt eine Aussage, wenn sieimmer wahr ist.

z.B.A∨ ¬A

1.2 Mengen

Eine Menge ist die Gesamtheit einer Zahl von Objek- ten unserer Anschauung oder Intuition (nach dem Ma- thematiker Cantor)). Die Objekte heißen Elemente und wir schreibena∈M (aist Element der MengeA) bzw.

a /∈A⇔ ¬(a∈M).

1.2.1 Beschreibung

Aufz¨ahlung W ={M ontag, Dienstag, . . .} Beschreibung Z=Menge der ganzen Zahlen Auswahl M ={x∈Z|x ist gerade}

• |mit der Eigenschaft

1.2.2 Standardmengen

• Leere Menge Ø ={}

• Nat¨urlichen Zahlen N={1,2,3, . . .}

– Nat¨urlichen Zahlen mit 0 N0={0,1,2,3, . . .}

• Ganzen Zahlen

Z={. . . ,−2,−1,0,1,2, . . .}

• Rationalen Zahlen Q=n

p

q|p∈Z∧q∈No

• Reellen Zahlen

R={jeder Punkt auf dem Zahlenstrahl} – positiven reellen Zahlen

R>0={x∈R|x >0}

• Komplexen Zahlen Z=

x+iy|x, y ∈R, i=√

−1

• N⊂Z⊂Q⊂R⊂C

1.2.3 Intervalle

• offenes Intervall

(a, b) :={x∈R|a < x < b}

• halboffenes Intervall

(a, b] :={x∈R|a < x≤b}bzw. (a, b(

[a, b) :={x∈R|a≤x < b}bzw. )a, b)

• abgeschlossenes Intervall

[a, b] :={x∈R|a < x < b}bzw. )a, b(

1.2.4 Operationen

• Gleichheit

A=B⇔(A⊆B∧B⊆A)⇔(x∈A⇔x∈B)

• Teilmenge

A⊆B⇔(x∈A⇒x∈B)

• echte Teilmenge

A(B⇔(A⊆B∧A6=B)

• Vereinigung

A∪B={x|x∈A∨x∈B}

• Disjunkte Vereinigung A∪˙ B= (A∪B)\(A∩B)

• Schnitt

A∩B={x|x∈A∧x∈B}

• Ohne (Differenz)

A\B={x|x∈A∨x /∈B}

• symmetrische Differenz A∆B = (A∪B)\(A∩B)

• geordnete Paare

A×B ={(x, y)|x∈A∧y∈B}

• Potenzmenge

P(M) ={A|A⊆M}

• Komplement¨armenge

f¨urA⊆M ist ¯A={x∈M|x /∈A}

• Anzahl der Elemente

|M|=Anzahl der Elemente vonM

(4)

4 1 GRUNDLAGEN 1.2.5 Rechenregeln

• Kommutativgesetz A∪B=B∪A A∩B=B∩A A∆B =B∆A

• Assoziativgesetz

A∪(B∪C) = (A∪B)∪C A∩(B∩C) = (A∩B)∩C A∆ (B∆C) = (A∆B) ∆C

• Distributivgesetz

A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)

• De Morgan A∩B=A∪B A∪B=A∩B

• doppelt invers A=A

• neutrales Element A∪Ø =A A∩Ø = Ø

• inverses Element A∩A= Ø

A∪A=Grundmenge

1.3 Beweisverfahren

1.3.1 direkter Beweis

Diesen Beweis erh¨alt man durch gezielte Umformung der Aussagen bzw. durch logisches Schließen (Implika- tion).

1.3.2 indirekter Beweis

Auch Widerspruchsbeweis genannt. Hier versuch man die Gleichwertigkeit von

(A⇒B)⇔((A∧(¬B))⇒F alsch) auszunutzen.

z.B.: “Wenn es regnet ist die Straße nass.”⇔“Es regnet und die Straße ist nicht nass, ist ein Widerspruch.”

1.3.3 Kontraposition

Hier wird versucht die Aussage umzudrehen (beruht auf Tautologie).

(A⇒B)⇔((¬B)⇒(¬A))

z.B.: “Wenn es Regnet ist die Straße nass.”⇔“Wenn die Straße nicht nass ist, kann es nicht geregnet haben.”

1.3.4 Vollständige InduktionÎ.33 A(n) Aussage für natürliche Zahlen

1. Induktionsanfang:A(1) gilt

2. Induktionsannahme: f¨ur jedesngiltA(n)

3. Induktionsschritt: Zeige: ausA(n) folgtA(n+ 1).

(bzw.A(n+ 1) l¨asst sich mit Hilfe der Annahme A(n) beweisen)

1.4 Abbildungen

Eine Abbildung ist eine eindeutige Zuordnung, d.h. zu jedem Urbild wird genau ein Bild zugeordnet.

Mengen f :V→W

f : Urmenge→Bildmenge Elemente von Mengen a7→f(a)

f : Urbild7→Bild

1.4.1 injektiv

wenn es zu jedem unterschiedlichen Urbild auch unter- schiedliche Bilder gibt.

a6=b⇒f(a)6=f(b)

• f injektiv⇔f⁻¹(f(a)) =a

• f :A→B injektiv⇒ |A| ≤ |B|

– durch Einschr¨anken von B kann f bijektiv gemacht werden

1.4.2 surjektiv

heißt eine Abbildungf :A→B, wenn es zu jedem Ele- ment aus dem Bildraum auch mindestens ein passendes Urbild gibt.

∀^bB:∃^aA:f(a) =b

• f surjektiv⇔f f⁻¹(b)

=b

• f :A→B surjektiv⇒ |A| ≥ |B|

1.4.3 bijektiv

ist eine Abbildung f, wenn sie surjektiv und injektiv ist. Dies sind 1:1 - Abbildungen.

• Bei endlichen Mengen:

f :A→Bbijektiv (surjektiv & injektiv)⇒ |A|=

|B|

• es existiert bei bijektiven Abbildungen eine Um- kehrabbildung.

(5)

2.1 Elementare Z¨ahlprinzipien 5 1.4.4 isomorph

Eine Abbildungf heißtisomorph, wenn sie bijektiv und linear ist. (entspricht Umbenennung der Elemente)

1.5 Sonstiges

1.5.1 Ganzzahliger Anteil

Derganzzahlige Abteil einer Zahlxkann wie folgt dar- gestellt werden (Abrunden):

⌊x⌋:= max{k∈Z|k≤x}

2 Kombinatorik

2.1 Elementare Z¨ ahlprinzipien

2.1.1 Auswahlen

Wir betrachten eine MengeM mit nElementen. Wie viele Auswahlen vonk Elementen ausM gibt es:

1. Variationen

(a) mit Wiederholung und mit Ber¨ucksichtigung der Reihenfolge

n^k

(b) ohne Wiederholung und mit Ber¨ucksichtigung der Reihenfolge (speziell f¨urk=nPer- mutation)

n!

(n−k)! = n

k

k!

2. Kombinationen

(a) mit Wiederholung und ohne Ber¨ucksichtigung der Reihenfolge

n−1 +k k

(b) ohne Wiederholung und ohne Ber¨ucksichtigung der Reihenfolge

n k

2.1.2 Rechenregeln f¨ur Binomialkoeffizienten

•

n k

=

n n−k

= n!

k! (n−k)!

= n·. . .·(n−k+ 1) 1·. . .·(k−1)·k

• Entwicklung des Pascalschen Dreiecks n+ 1

k

= n

k

+ n

k−1

• Binomalentwicklung (a+b)ⁿ=Pn

i=0

n i

aⁿ⁻ⁱbⁱ

• Pn k=0

n k

= 2ⁿ

• n

0

= n

n

= 1

• n

1

= n

n−1

=n

• n

k

= ⁿ_k

n−1 k−1

• n

k k j

= n

j

n−j k−j

• Pn k=1

n k

k²=n(n−1) 2ⁿ⁻²

• P

k∈Z

r k

s n+k

=

r+s r+n

2.1.3 Summenregel S= ˙∪^i=1,...,n Si⇒ |S|=Pn

i=1|Si|

Man klassifiziere Elemente von S in sich gegenseitig ausschließende Eigenschaften.

2.1.4 Produktregel S=S1×. . .×Sn⇒ |S|=Qn

i=1|Si|

2.1.5 Gleichheit

S, Tendliche Mengen. Falls es eine bijektive Abbildung vonf :S →T gibt, so gilt|S|=|T|

2.1.6 Doppeltes Abz¨ahlen

S, Tendliche Mengen,R⊆S×T. F¨ura∈Sbezeichnet l(a) die Zahl der Elementeb ∈ T mit (a, b)∈ R und entsprechend f¨ur b∈T seir(b) die Zahl der Elemente a∈S mit (a, b)∈R. Dann

|R|=X

a∈S

l(a) =X

b∈T

r(b)

2.1.7 Schubfachprinzip

S, T endliche Mengen, f : S → T Abbildung. Falls

|S|>|T|, so ist f nicht injektiv.

(6)

6 3 REKURSIONEN

2.2 Permutationen

2.2.1 Definition

Eine Permutation ist eine Auswahl von n Elementen aus einer n-elementigen Menge mit Ber¨ucksichtigung der Reihenfolge.

Eine Permutation ist eine bijektive Abbildung σ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n}. Die Menge aller solchen Per- mutationen heißt symmetrische Gruppe und wir be- zeichnen sie mitSn

• |Sn|=n!

2.2.2 Zyklus

EinZyklus(i1, . . . , it) der L¨angeteiner Permutationσ ist ein Tupel mitσ(ij) =ij+1,σ(it) =i1.

• Jede Permutation l¨asst sich aus Zyklen zusammen- setzen, wo jede Ziffer insgesamt nur einmal vor- kommt

• Ein Zweierzyklus wird auch Transposition genannt.

• Ein Zyklus der L¨ange t kann man auf t verschie- dene weisen schreiben, die wir aber miteinander Identifizieren

• Ein Zyklus ist eine Art “Ring-Rechtsshift” der da- zugeh¨origen Eintr¨age in der Permutation

• Zyklen sind elementfremd, wenn sie keine Ziffer gemeinsam haben

• elementfremde Zyklen lassen sich in ihrer Reihen- folge vertauschen

• Einerzykel (enthalten nur eine Ziffer) ändern nicht die Reihenfolge, und müssen nicht hingeschrieben werden, wohl aber mitgezählt

• z.B: eine 6er Permutation aus 3 Zyklen

σ =

1 2 3 4 5 6

2 1 5 3 4 6

= (1,2) (3,5,4) (6) 2.2.3 Stirlingzahl

Die Anzahl sn,k von Permutationen σ ∈ Sn, die aus genau k Zyklen besteht, heißtStirlingzahl 1.Art (jede Ziffer taucht nur einmal auf / Zyklen sind elementfremd)

• sn,n= 1

nur identische Abbildung m¨oglich σ = (1) (2). . .(n)

• F¨urn, k∈N(n≥k) gilt:

sn,k=sn−1,k−1+ (n−1)sn−1,k

• Pn

k=1sn,kx^k = ^(x+n−1)!_(x−1)!

3 Rekursionen

3.1 Lineare Rekursionsgleichungen

3.1.1 Definition Eine Gleichung der Form

an=c1an−1+c2an−2+. . .+ckan−k+bk(n≥k) mit den Anfangsbedingungen

a0=b0, a1=b1, . . . , ak−1=bk−1

heißt lineare Rekursionsgleichung (RG)k-ter Ordnung.

F¨urbk= 0 heißt die Gleichung homogen, sonst inhomogen. Ziel ist es einen geschlossenen Ausdruck zu finden.

3.1.2 lineare Rekursionsgleichung 1. Ordnung Eine (inhomogene) lineare RG 1.Ordnung

a0=b0, an =c1an−1+b1 (n≥1) hat die L¨osung

an=







cⁿ₁b0 (b1= 0) b0+nb1 (c1= 1) cⁿ₁b0+^c_cⁿ¹₁₋₁⁻¹b1 (sonst)

3.1.3 lineare Rekursionsgleichung 2. Ordnung Einehomogene lineare RG 2. Ordnung hat

a0=b0, a1=b1, an =c1an−1+c2an−2(n≥2)

• beic²₁+ 4c2>0 die Reelle L¨osung:

an =Aαⁿ−Bβⁿ

wobeiα, β die zwei (verschiedenen) L¨osungen der Gleichung

t²−c1t−c2= 0 sind α=c1

2 + rc²₁

4 +c2 β= c1

2 − rc²₁

4 +c2

und

A=b1−b0β

α−β B= b1−b0α α−β

• beic²₁+ 4c2= 0 die Reelle L¨osung:

an= (nb1−(n−1)αb0)αⁿ⁻¹ α= c1

2

• beic²₁+ 4c2<0 die komplexe L¨osungen. Formeln siehe beic²₁+ 4c2>0.

(7)

3.2 Erzeugende Funktionen 7 3.1.4 Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge

F0= 0, F1= 1, Fn=Fn−1+Fn−2(n≥2) hat die L¨osung:

Fn= 1

√5

1 +√ 5 2

!n

− 1

√5

1−√ 5 2

!n

• Fn+1=Pn k=0

n−k k

• F2n−1=F_n−1² +F_n²

• F2n =Fn(2Fn−1+Fn)

•

1 1 1 0

n

=

Fn+1 Fn

Fn Fn−1

(n≥1)

3.2 Erzeugende Funktionen

3.2.1 Definition

Sei (an)_n∈N₀ eine Folge. Die formale Potenzreihe A(x) :=X

n≥0

anxⁿ

heißterzeugende Funktion zur Folge (an).

3.2.2 Rechenregeln

Sind (an),(bn) zwei Folgen mit entsprechenden Funk- tionenA(x), B(x), dann:

Summe (cn) := (an+bn)

Hat erzeugende FunktionC(x) =P

n≥0cnxⁿund wir schreibenC(x) =A(x) +B(x)

Produkt (cn) := (Pn

k=0akbn−k) Hat erzeugende FunktionC(x) =P

n≥0cnxⁿund wir schreibenC(x) =A(x)B(x)

• Erzeugende Funktionen lassen sich gliedweise Inte- grieren und Differenzieren, um so neue erzeugende Funktionen zu konstruieren.

3.2.3 Inverse Sei A(x) = P

n≥0anxⁿ erzeugende Funktion zu (an). Dann heißt die erzeugende Funktion B(x) = P

n≥0bnxⁿ invers zu A(x), fallsA(x)B(x) = 1

• Hier ist 1 die erzeugende Funktion zur Folge (1,0,0, . . .)

• Die erzeugende FunktionA(x) =P

n≥0anxⁿ hat eine inverse erzeugende Funktion (auch: A(x) ist invertierbar) genau dann, wenna06= 0

3.2.4 Wichtige Erzeugende Funktionen

• geometrische Reihe P

n≥0(αx)ⁿ =_1−αx¹

• P

n≥0(n)xⁿ= _(1−x)^x 2

• P

n≥0(n+ 1)xⁿ= _(1−x)¹ 2

• P

n≥0

n+k k

xⁿ= _(1−x)¹k+1

• P

n≥0n²xⁿ= ^x(x+1)_(1−x)3

• bn = Pn

k=0ak die Folgen zu den erzeugenden FunktionenA(x), B(x)

B(x) =^A(x)_1−x

3.2.5 L¨osen von linearen Rekursionsgleichun- gen durch erzeugende Funktionen Gegeben ist eine lineare Rekursionsgleichung k-ter

Ordnung

a0=b0,...,ak−1=bk−1 an=Pk

i=1cian−i(n≥k)

Ansatz (Siehe Algorithmus 1 auf der n¨achsten Sei- te) Hierbei ersetzt manA(x) =P

n≥0anxⁿ durch die Rekursionsdefinition. Dabei entstehen Terme die wieder nur ein an mit verschobenen Summa- tionsbereich enthalten. Hier kann man nun durch Umformung das ganze wieder in ein Polynom plus A(x) bringen.

Koeffizienten Zusammenfassen (aus letzter Glei- chung) zudi

A(x) =

k−1X

i=0

dixⁱ+A(x) Xk

i=1

cixⁱ

=

Pk−1 i=0 dixⁱ 1−Pk

i=1(cixⁱ)

Faktorisieren des Nenners (Bestimmen von αi

undmi) 1−

Xk

i=1

cixⁱ

= Yr

i=1

(1−αix)^mⁱ

Partialbruchbruchzerlegung (Bestimmen von gi(x))

A(x) =Pr i=1

gi(x) (1−αix)^mi

gi(x) wird vonxunabhängig, wenn beim Faktori- sieren des Nenners komplexe Lösungen zugelassen werden. Dies erleichtert die Anwendung des nächsten Punktes.

Erstellen von Erzeugenden Funktion f¨urA(x)

(8)

8 4 GRAPHENTHEORIE Algorithm 1: Ansatz zum L¨osen von LRG mit erzeugenden Funktionen

Ansatz A(x) =P

n≥0anxⁿ

Startwerte einsetzten A(x) =Pk−1

i=0bixⁱ+P

n≥kanxⁿ Rekursion einsetzten A(x) =Pk−1

i=0 bixⁱ+Pk i=1

P

n≥kcian−ixⁿ Index verschieben A(x) =Pk−1

i=0 bixⁱ+Pk i=1

cixⁱP

n≥k−ianxⁿ Erg¨anzen und A(x) ersetzen

A(x) =Pk−1

i=0 bixⁱ+Pk−1 i=1

cixⁱ

A(x)−Pk−i−1

n=0 anxⁿ

+ckx^kA(x)

A(x)=P n≥0

0 B B B B B B B B B B B

@

Xr

i=1

gi(x)

mi−1 +n n

αⁿ_i

| {z }

f

xn 1 C C C C C C C C C C C A

Koeffizientenvergleich

Wenn alle gi nicht von x abhängig sind, so ist f =an, wenn nicht muss diese Formel noch etwas umgestellt werden. Hiermit wäre ein geschlossener Ausdruck für an gefunden.

4 Graphentheorie

4.1 Grundlagen

4.1.1 Definition Graph

Ein schlichter Graph ist ein Paar G = (E, K), wobei E ={v1, . . . , vn} eine endliche nicht leere Menge von EckenundK⊆ {{vi, vj} |i6=j}eine Menge vonKan- tenist.

Ein Graph (manchmal auch “Multipgraph” genannt) erlaubt zus¨atzlich Schleifen (d.h. {vi, vi}) und auch Mehrfachkanten(d.h.

{vi, vj}n hat eine Vielfachheit vonn) mit einer gewis- sen Vielfachheit.

• Gschlicht und|E|=n⇒ |k| ≤ ⁿ2

• Vn =vollst¨andiger (schlichter) Graph. D.h. das alle Ecken ¨uber kanten mit jeder anderen Ecke verbunden sind.

– V2n+1 ist eulersch – Vn ist (n−1)-regul¨ar

– Vn ist mitn≥5 nicht pl¨attbar

• Hyperw¨urfel

– der 0-dimensionale Hyperw¨urfel hat eine Ecke, und keine Kante

– jeder Hyperw¨urfel ist hamiltonisch

– Hat der d-dimensionale Hyperw¨urfel (E, K) die Ecken v1, . . . , v2^d, so hat der (d+ 1)-dimensionale Hyperw¨urfel die Ecken w1, . . . , w2^d, w₁^′, . . . , w^′₂d und die Kanten

{{wi,wj},{wi,wj}|i6=j∧{vi,vj}∈K}

∪{{^wⁱ^,wⁱ^′}^|1≤i≤2^d}

– eind-dimensionaler Hyperwürfel istd-regulär – ein 2n-dimensionaler Hyperwürfel ist ist eu-

lersch

4.1.2 Grad & Gradfolge

Sei G= (E, K) ein Graph mitE ={v1, . . . , vn}. Der Grad der Eckev ist

deg (v) =|{z∈G|v∈z}|

Schleifen m¨ussen hierbei doppelt gez¨ahlt werden! Der Grad gibt die Anzahl der Kanten an, die v als Ecke haben.

Dasn-Tupel (deg (v1), . . .deg (vn)) heißtGradfolgevon G.

• P

v∈Edeg (v) = 2|K|

• Die Anzahl der Ecken mit ungeradem Grad ist gerade

• Es gibt einen schlichten GraphenGmit der Grad- folge (d1, . . . , dn) mit d1 ≥ . . . ≥ dn genau dann, wenn es einen Graphen mit der Gradfolge (d2−1, . . . , dd1+1−1, dd1+2, . . . , dn) gibt.

4.1.3 Regul¨ar

Der GraphG= (E, K) heißtk-regul¨ar, falls alle Ecken von G den selben Gradkhaben.

• Vn ist (n−1)-regul¨ar

(9)

4.3 Bipartite Graphen 9

4.2 Eulersche und hamiltonische Gra- phen

4.2.1 Weg & Eigenschaften

SeiG= (E, K) ein Graph, undv, e∈E.

Ein Weg von v nach w ist eine Folge von Ecken (v=v1, v2, . . . , vm=w) mit der Eigenschaft, dass alle {vi, vi+1} ∈ K (Kanten von G) sind. Der Weg heißt geschlossen(bzw.offen), fallsv=w(bzw.v6=w).

Der Weg heißt (Kanten-)einfach, falls alle Kanten {vi, vi+1}paarweise verschieden sind.

Der Weg heißt eckeneinfach, falls alle Eckenvi paarweise verschieden sind (f¨uri= 1, . . . , m−1).

DieL¨angeeines Weges, ist die Anzahl der Kanten, die er enth¨alt.

• eckeneinfach⇒kanteneinfach

4.2.2 Abstand & Durchmesser

Bei einem zusammenhängenden Graphen ist der Ab- standzweier Ecken die Länge des kürzesten Weges, der diese Ecken verbindet.

Der Durchmesser ist der maximale Abstand zweier Ecken.

4.2.3 eulerscher Graph

Gheißteulerscher Graph, falls es inGeinen geschlossenen (Kanten-)einfachen Weg gibt, der jede Kante von Genth¨alt. Diesen Weg nennen wireulersche Linie.

• G ist eulerscher Graph ⇔ jede Ecke von G hat geraden Grad undGist zusammenh¨angend

• Problem der K¨onigsberger Br¨ucken

4.2.4 zusammenh¨angend

Ein Graph G heißt zusammenh¨angend, falls je 2 ver- schiedene Ecken durch einen (offenen) eckeneinfachen Weg verbunden werden k¨onnen.

4.2.5 Kreis

SeiG= (E, K) ein Graph. Ein geschlossener eckenein- facher Weg inGheißt Kreis.

4.2.6 Teilgraph

Sei G = (EG, KG) ein Graph. Ein Graph H = (EH, KH) heißt Teilgraph von G, falls EH ⊆EG und KH⊆KG.

4.2.7 hamiltonischer Graph

SeiGein Graph. Falls es inGeinen Kreis gibt, der alle Ecken von G enth¨alt, so heißt G ein hamiltonischer Graphund der Kreis heißtHamiltonkreis.

• IstGein hamiltonischer Graph, so besitztGeinen TeilgraphenH mit:

– EH=EG

– H ist zusammenh¨angend – |EH|=|KH|

• Traveling Salesman Problem

4.2.8 Adjazenzmatrix

Die Adjazenzmatrix zu einem Graphen mitv1, . . . , vn

ist die n×n-Martix M = (aij), wobei aijdie Anzahl der Kanten zwischen der Eckeviundvjist.M^k = (bij) gibt mitbijan, wie viele Wege der L¨angekes zwischen iundj gibt.

4.3 Bipartite Graphen

4.3.1 bipartit & Matching

Ein GraphG= (E, K) heißtbipartit, fallsE=E1∪˙E2

und K nur aus Knoten besteht, die jeweils eine Ecke ausE1mit einer ausE2 verbinden.

Eine Teilmenge K^′ ⊆ K heißt Matching, falls keine zwei Kanten aus K^′ eine gemeinsame Ecke besit- zen. Ein Matching heißtperfekt, falls|K^′|=|E1|oder

|K^′|=|E2|.

• ein bipartiter Graph Gm,n (mit |E1| = n und

|E2| =m), heißt vollst¨andig, wenn je zwei Ecken aus verschiedenen Ecken durch eine Kante verbunden sind.

– f¨urn, mgerade⇔Gm,nist eulersch – f¨urn=m≥2⇔Gm,nhamiltonisch – GEW-Graph:n= 3m= 3

– f¨urn, m≥3 istGm,nnicht pl¨attbar

4.3.2 Heiratssatz / Existenz eines perfekten Matching

Sei G = (E1∪˙E2, K) ein bipartiter Graph. F¨ur jede Teilmenge U ⊆ E1 definieren wir deg (U) := Anzahl der Ecken ausE2, die mit einer Ecke ausU verbunden sind. Dann gilt:

U besitzt ein perfektes Matching, genau dann wenn

∀U ⊆E1: deg (U)≥ |U|.

• deg (U)≤P

v∈Udeg (v)

(10)

10 5 WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE

• jeder bipartitek-regul¨are Graph hat ein perfektes Matching

• Wenn |E1| 6=|E2| ⇒Kanten weglassen und Teil- graph betrachten

4.4 B¨ aume

4.4.1 Baum & Bl¨atter

Ein Baum ist ein zusammenh¨angender Graph ohne Kreis.

Die Ecken vom Grad 1 heißenBl¨atter.

• Jeder Baum mit mehr als einer Ecke, hat (mindestens) ein Blatt

• Jeder zusammenh¨angende Graph G mit n Ecken ist genau dann ein Baum, wenn er n−1 Kanten hat.

4.4.2 aufspannender Baum

SeiG= (E, K) ein Graph. Ein Teilgraph von G heißt aufspannender Baum vonG, falls es ein Baum ist, der alle Ecken vonGenth¨alt.

• jeder zusammenh¨angende Graph besitzt einen auf- spannenden Baum

4.5 Eulerscher Satz

4.5.1 Aquivalenz von Graphen / ebene Gra-¨ phen

Ein zusammenh¨angender Graph heißt eben, falls sich keine Kanten kreuzen.

Zwei Graphen G = (E, K) und G^′ = (E^′, K^′) heißen

¨aquivalent, falls es eine bijektive Abbildungϕ:E→E^′ gibt, so dass{v, w} eine Kante vonGist, genau dann wenn{ϕ(v), ϕ(w)}eine Kante von G^′ ist.

Ein Graph, der zu einem ebenen Graphen ¨aquivalent ist, heißtpl¨attbar.

4.5.2 Eulerscher Satz

In einem Graphen mit eEcken, k Kanten und f Fl¨a- chen (von den Kanten abgetrennt) gilt stets

e−k+f = 2

• Maximale Kantenanzahl bei einem pl¨attbaren Graphen mitn(≥3) Ecken.

k(n) = 3 (n−2)

4.5.3 Satz von Kuratowski

Ein Graph ist genau dann nicht pl¨attbar, wenn er V5

oderGEW als Teilgraphen enth¨alt.

• Der GEW-Graph (der vollst¨andige bipartite 3- Graph,G3,3) ist nicht pl¨attbar

– Problem 3 H¨auser mit 3 Versorgern (Gaß, Elektrizit¨at, Wasser) kreuzungsfrei zu verbinden.

• V5 ist nicht pl¨attbar

5 Wahrscheinlichkeitstheorie

5.1 Diskrete Wahrscheinlichkeitstheo- rie

5.1.1 Definitionen

Sei Ω eine h¨ochstens abz¨ahlbare Menge (d.h. es gibt eine surjektive Abbildung f : N → Ω) und sei P : P(Ω)→ [0,1] (P von Probability = Wahrscheinlich- keit) eine Abbildung mit den Eigenschaften:

• P(Ω) = 1

• P ist additiv auf disjunkten Mengen:

P( ˙∪^n≥0An) =P

n≥0P(An)

Dann heißt (Ω, P) ein diskreter Wahrscheinlichkeits- raum(endlicher Wahrscheinlichkeitsraum, falls Ω end- lich), undPheißt dieWahrscheinlichkeitsverteilungauf Ω.P(A) nennen wir dieWahrscheinlichkeitvonA.

Wir nennen A ∈ P(Ω) ein Ereignis in Ω, und falls

|A|= 1,Elementarereignis.

A¯= Ω\Aheißt GegenereigniszuA.

∅heißtunm¨ogliches Ereignis und Ωsicheres Ereignis.

• A⊆B⊆Ω :

– P(B\A) =P(B)−P(A) – P(A)≤P(B)

• P A¯

= 1−P(A)

• P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)

5.1.2 Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) heißt Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum, falls|Ω|<∞und∀^AP(Ω):P(A) =^|A|_|Ω|.

• insbesondere∀^wΩ:P({w}) = _|Ω|¹

(11)

5.3 Erwartungswert und Varianz 11 5.1.3 bedingte Wahrscheinlichkeit

Sei (Ω, P) ein diskreter W-Raum,A, B ⊆Ω,P(B)>0.

PB(A) = P(A∩B)

P(B) = PA(B)P(A) P(B)

heißt bedingte W-keit vonAbez¨uglichB (d.h. die W- keit vonA, falls man schon weiß, dassB erf¨ullt ist).

• (Ω, P) ein diskreter W-Raum, A1, . . . , An ⊆ Ω, P(A1∩. . .∩An−1)>0.

P(A1∩. . .∩An) =P(A1) Yn

i=2

PA1∩...∩Ai−1(Ai)

5.1.4 Formel von der vollst¨andigen Wahr- scheinlichkeit

(Ω, P) ein diskreter W-Raum,A1, . . . , An ⊆Ω mit Ω = A1∪˙A2∪˙. . .∪˙An, P(Ai) > 0, B ⊆ Ω mit P(B) > 0.

Dann:

P(B) = Xn

i=1

P(Ai)PAi(B)

PB(Ai) = P(Ai)PAi(B) Pn

i=1P(Ai)PAi(B)

• F¨urn= 2:

P(B) =P(A)PA(B) +P A¯ PA¯(B)

5.2 Unabh¨ angigkeit und Wahrschein- lichkeitsverteilung

5.2.1 Definition

Sei (Ω, P) ein diskreter W-Raum. Wir nennen zwei Ereignisse A, B ⊆ Ω unabh¨angig voneinander, falls P(B) = 0 oder P(A) = PB(A). Diese Aussage ist Aquivalent zu¨ P(A∩B) =P(A)P(B).

Allgemein heißenA1, A2, . . . , An⊆Ωunabh¨angig voneinander, falls f¨ur alle {i1, . . . , ik} ⊆ {1, . . . , n} mit k≥2 gilt:

P(Ai1∩. . .∩Aik) = Yk

j=1

P Aij

Eine Verteilungsfunktion Pⁿ : Ωⁿ → [0,1] die jedem (A1, . . . , An) 7→Pⁿ((A1, . . . , An)) =Qn

i=1P(Ai) Tu- pel von Ereignissen eine Wahrscheinlichkeit zuordnet.

5.2.2 Binomialverteilung

Wir betrachten Ω ={0,1} mit P(0) =pundP(1) = 1−p. DieBinomialverteilung

bn,p(k) =n k

p^k(1−p)^n−k

gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, das bei n-maligen Wiederholen genauk-mal ein Ereigniss mit der Wahrscheinlichkeitpauftritt.

• z.B. 10-maliger M¨unzwurf. Wie groß ist die Wahr- scheinlichkeit, das genau 7 Mal Zahl kommt:

b_10,¹

2 (7)

• ist bez¨uglich verschiedenenk disjunkt

• E(X) =np

• V(X) =np(1−p) =npq

5.2.3 Hypergeometrische Verteilung

Situation: Urne mit n Kugeln, davon seien n1 ausgezeichnet. Wir ziehenrKugeln (r≤n). Wie viele dieser rKugeln geh¨oren zu denn1 ausgezeichnet?

hn,n1,r(k) =

n1

k

n−n1

r−k

n r

• ist bez¨uglich verschiedenenk disjunkt

• Bei großen Zahlen (r≪n1) l¨asst sichhn,n1,r(k)≈ b_r,ⁿ¹

n (k) ann¨ahern

• E(X) =ⁿ_n¹r

5.3 Erwartungswert und Varianz

5.3.1 Zufallsvariable

EineZufallsvariable ist eine FunktionX: Ω→R.

5.3.2 Erwartungswert

Sei (Ω, P) ein diskreter W-Raum. Eine Zufallsvaria- ble X : Ω → R gibt den Ausgang eines Zufallsex- periments in Ω an. Sie besitzt die Wertemenge W = {X(a)|a∈Ω}.

DerErwartungswertvon X ist

E(X) = X

Wertexvon X

x P(X nimmtxan)

= X

x

x P(X =x)

= X

x∈W

x P X⁻¹(x)

(12)

12 5 WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE

• E(E(X)) =E(X)

• E(aX+b) =aE(X) +b (a6= 0)

• E(X1+X2) =E(X1) +E(X2)

• WennX1, X2 unabh¨angig sind:

E(X1X2) =E(X1)E(X2)

5.3.3 Varianz

Sei (Ω, P) ein diskreter W-Raum. Eine Zufallsvaria- ble X : Ω → R gibt den Ausgang eines Zufallsex- periments in Ω an. Sie besitzt die Wertemenge W = {X(a)|a∈Ω}.

DieVarianzvonX ist V (X) = E

(X−E(X))²

= E X²

−(E(X))²

• V(aX+b) =a²V(X) (a6= 0)

• WennX1, X2 unabh¨angig sind:

V(X1+X2) =V (X1) +V(X2)

(13)

Index

Aquivalenz,¨ 2

¨aquivalent,2 Abbildung,5 Abbildungen,4

abgeschlossenes Intervall,3 Abrunden,5

Abstand,9 Abz¨ahlen,5 Adjazenzmatrix,9

aequivalenz von Graphen,10 Allquantor,3

Antivalenz,2

Assoziativgesetz,2,4 aufspannender Baum,10 Aufz¨ahlung,3

Aussagen,2 Auswahl,3 Auswahlen,5 Baum,10 Bescheibung,3 Beweisverfahren,4 bijektiv,4,6

Binomalentwicklung,5 Binomialkoeffizient,5 Binomialverteilung,11 bipartit,9

Blaetter,10 De Morgan,2,4 Differenz,3

Differenz, symmetrische,3 Differenzieren,7

direkterBeweis,4 Disjunkte,3 Disjunktion,2

diskreter Wahrscheinlichkeitsraum,10 Distributivgesetz,2,4

Doppeltes Abz¨ahlen,5 Durchmesser,9 eben,10

echte Teilmenge,3 Ecken,8

eckeneinfach,9 eindeutige,4 einfach,9

Elementarereignis,10 Elemente,3

elementfremd,6

endlicher Wahrscheinlichkeitsraum,10 Ereignis,10

Erwartungswert,11 Erzeugende Funktionen,7 eulersch,9

eulersche Linie,9 eulerscher Graph,9 Eulerscher Satz,10

Existenzquantor,3 Fibonacci-Folge,7 Folge,7

folgt,2

Ganze Zalen,3 ganzzahliger Anteil,5 geeordnete Paare,3 Gegenereignis,10 geometrische Reihe,7 Gesamtheit,3

geschlossener Ausdruck,6 geschlossener Weg,9 GEW,9

GEW-Graph,10 Gleichheit,3,5 gleichwertig,2 Grad,8 Gradfolge,8 Graph,8

Graphentheorie,8 Grundlagen,2

halboffenes Intervall,3 hamiltonisch,9

hamiltonischer Graph,9 Hamiltonkreis,9

Heiratssatz,9 homogen,6

Hypergeometrische Verteilung,11 Hyperwuerfel,8

Implikation,2 implikation,4 indirekter Beweis,4 Induktion,4 Induktionsanfang,4 Induktionsannahme,4 Induktionsschritt,4 inhomogen,6 injektiv,4,5 Integrieren,7 Intervall,3 Inverse,7

inverses Element,3,4 isomorph,5

Kanten,8 kanteneinfach,9 Kombination,5 Kombinatorik,5 Kommutativgesetz,2,4 Komplement¨armenge,3 Komplexe Zahlen,3 Konjungtion,2 Kontraposition,4 Kreis,9

Kuratowski,10 13

(14)

14 INDEX Laenge,9

Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum,10 Logik,2

Matching,9 Mehrfachkanten,8 Menge,3

Menge Operationen,3 Mengen,3

Multipgraph,8 Nat¨urliche Zalen,3 Negation,2,3

Neutrales Element,2,4 nicht,2

Objekten,3 oder,2 offener Weg,9 offenes Intervall,3 Ohne,3

Paare,3

Pascalsches Dreieck,5 perfekt,9

Permutation,5 Permutationen,6 plaettbar,10 Potenzmenge,3 Potenzreihe,7 Producktregel,5 Produkt,7 Quantifikatoren,3 Rationale Zalen,3 Reelle Zahlen,3 Regul¨ar,8 regul¨ar,8 Reihenfolge,5 Rekursionen,6

Rekursionsgleichungen,6 Lineare,6

RG,6 Schleifen,8

schlichter Graph,8 Schließen,4 Schnitt,3

Schubfachprinzip,5 sicheres Ereignis,10 Standdardmengen,3 Stirlingzahl,6 Summe,7 Summenregel,5 surjektiv,4

symmetrische Differenz,3 symmetrische Gruppe,6 Teilgraph,9

Teilmenge,3 Teilmenge(echte),3

Transposition,6 Umkehrabbildung,4 Umkehrfunktion,4

unabhaengig voneinander,11 Unabhaengigkeit,11

unabhaenig voneinander,11 und,2

unmoegliches Ereignis,10 Varianz,12

Variation,5 Vereinigung,3 Verkn¨upfungen,2 Vollst¨andige Induktion,4 vollstaendig,9

vollstaendige Wahrscheinlichkeit,11 vollstaendiger schlichter Graph,8 Wahrscheinlichkeit,10

Wahrscheinlichkeitsraum,10 diskreter,10

endlicher,10

Wahrscheinlichkeitstheorie,10 Diskrete,10

Wahrscheinlichkeitsverteilung,10 Warscheinlichkeitsverteilung,11 Weg,9

Wiederholung,5 Wiederspruchsbeweis,4 XOR,2

Z¨ahlprinzipien,5 Zalen,3

Zufallsvariable,11 Zuordnung,4

zusammenh¨angend,9 Zweierzyklus,6 Zyklus,6