Kapitel 7: Ähnlichkeit
1. Gleiche Form – andere Grösse
Zwei Figuren, die die gleiche Form haben, sind ……….!
Ähnliche Figuren lassen sich durch Vergrössern oder Verkleinern einer Figur her- stellen. Wie viel vergrössert oder verkleinert wird, kann als Faktor, in Prozenten oder mit Hilfe eines Massstabes angegeben werden.
Veränderung der Grösse einer Fläche
Die Fläche einer Figur verändert sich bei einer Vergrösserung/Verkleinerung nicht mit dem gleichen Faktor wie die Seiten. Da eine Fläche immer das Produkt aus zwei Längen ist, vergrössert oder verkleinert sie sich ……….!
Länge, Fläche und Volumen bei ähnlichen Körpern
Wird ein Körper also mit dem Faktor zwei vergrössert, so sind alle seine Kanten ….- mal so lang wie ursprünglich, alle seine Flächen ….-mal so gross wie ursprünglich und sein Volumen ist ….-mal so gross wie ursprünglich!
2. Präzisierung der Ähnlichkeit
In diesem Theoriekasten wird deutlich sichtbar, dass auch dieses geometrische Thema gewisse algebraische Grundkenntnisse voraussetzt.
So ist es absolut notwendig, dass man mit Brüchen und mit Verhältnissen rechnen kann.
Auf der folgenden Seite werden ein paar wichtige Rechenregeln erklärt.
3. Rechnen mit Verhältnissen
a. Mathematisches Verhältnis
Die Strecke AB ist ein Fünftel der Strecke CD.
Wir schreiben: ………
Der Quotient a : b kann auch als „………“ gelesen werden; man spricht dann vom Verhältnis von a zu b.
b. Anwendungsbeispiel
Die Seiten eines Rechtecks verhalten sich wie 5 zu 3! Was heisst dies für uns?
………..
c. Verhältnisgleichung
Verbindet man zwei Verhältnisse mit einem Gleichheitszeichen, so entsteht eine Verhältnisgleichung. Eine Verhältnisgleichung ist auch eine Bruchgleichung! Und man nennt sie auch Proportion!
d. Produktegleichung
In einer Verhältnisgleichung ist das Produkt der Aussenglieder gleich dem Produkt der Innenglieder:
Verhältnisgleichung Produktegleichung
……….. ………..
e. Bestimme die Lösungsmenge
24 : x = 18 : 45 ¼ : x = ½ : 4
- 7.2 : x = -5/8 : 5/9 18 : 2.5 = 14.4 : x
4. Die zentrische Streckung
Definition: Unter einer zentrischen Streckung mit dem Zentrum Z und dem Streckenverhältnis k verstehen wir eine punktweise Abbildung der Ebene auf sich selbst.
Dabei gilt: Z=Z’
ZP’ : ZP = k Z;k Schreibweise: P P’
Beispiel:
Die Strecke ZP=1, die Strecke ZP’=3. Wie groß ist der Streckungsfaktor?
k = ZP’ : ZP = 3 : 1 = 3
Das Streckenverhältnis ist dann ………., wenn P und P’ auf der gleichen Seite von Z liegen. Das Streckenverhältnis ist dann ………., wenn P und P’ auf verschiedenen Seiten von Z liegen
k = positiv k = negativ
Bei der zentrischen Streckung entstehen keine kongruenten Bilder, nur wenn das Streckenverhältnis 1 der -1 ist. Ansonsten entsteht ein vergrößertes oder ein verkleinertes Bild.
Eigenschaften der zentrischen Streckung
► Die zentrische Streckung ist eine winkeltreue Abbildung.
► Die Längen von Bild- und Originalfigur stehen im Verhältnis k.
► Der Umlaufsinn von Original- und Bildfigur ist gleich.
► Die Flächeninhalte von Bild- und Originalfigur stehen im Verhältnis k2.
► Ist k grösser als 1 oder kleiner als -1 Vergrößerung
► Ist k grösser als –1 und kleiner als 1 Verkleinerung
► Ist k grösser als 0 Gleiche Richtung
► Ist k kleiner als 0 Entgegengesetzte Richtung
Z P
P’
Z: Streckungszentrum P: Originalpunkt P’: Bildpunkt k: Streckfaktor
Z P P’ Z P
P’
5. Die Strahlensätze
Die Strahlensätze behandeln im Prinzip die Verhältnisrechnung. Wir werden nun die verschiedenen Aspekte der Strahlensätze kennen lernen.
Der 1. Strahlensatz
Definition: Werden zwei von einem Punkt S ausgehende Strahlen von zwei
Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf dem einen Strahl wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen.
SD SC SB
SA = oder
d c
c b a
a
= + + CD
SC AB
SA = oder d c b a =
CD SD AB
SB = oder
d d c b
b a+ = +
Aufgabe: Die Strecken a= 7cm, b= 6cm und c= 15cm sind gegeben. Berechne d.
d=………
Der 2. Strahlensatz
Definition: Werden zwei von einem Punkt S ausgehende Strahlen von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf den
Parallelen wie die von S aus gemessenen entsprechenden Abschnitte auf jedem Strahl.
SB SA BD
AC = oder
b a
a f e
= +
SD SC BD
AC = oder
d c
c f
e
= +
Aufgabe: Die Strecken c= 3cm, d= 7cm und e= 5cm sind gegeben. Berechne f.
f=……….
S
A
B
C
D a
b
c
d
S
A
B
C
D
e f
a
b
c
d
Der 3. Strahlensatz
Definition: Werden drei von einem Punkt S ausgehende Strahlen von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf einer Parallelen wie die entsprechenden Abschnitte auf der anderen Parallelen.
DF BD CE
AC = oder
d c b a =
BF BD AE
AC = oder
d c
c b a
a
= + +
BF DF AE
CE = oder
d c
d b a
b
= + +
Aufgabe: Die Strecken a= 12cm, AE= 15cm und c= 5cm sind gegeben.
Berechne d.
S
A
B
C D
E
F a
b
c
d
