+ SAS -Planung

+ SAS -Planung

Vorlesung

Handlungsplanung

¨ Uberb 1 lic

k

Wirhaben u.A.geler

nt:

• PropositionalesSTRIPS-Planen

• Numerisches

Planen

• Relaxierte

Planungsprob (h leme

) +

Heute:

• Problematik

h von beige +

wissenSTRIPS-Instanz en

• Alternativ

e:Planen SAS mit

+

• Subklasse

+ SAS -1und ihreV

erwendung

¨ Uberb lick

1

2 Prob

lematik h von

+

Unl¨osbare Probleme

werden l¨osbar

:

A

F C E B

D

Weitere Prob

leme

SchlechteAbstandss ch¨atzungen:

B A D C

B’ A’

D’ C’

B A

D ’’ C ’’ ’’

’’

Problemat ikv

h on 3 +

3

+

SAS -Planung

EinSAS -Planungspr +

oblem istein

4-T upel (V Π=

, O

0 ,s ,s ),w ∗

obei:

•V {v =

,. 1

..

,v } n

eineMenge von

Zustandsvar iablen,

jedemit endlichem

Wer tebereich

D . v

Einepar tielle

Belegungv V on

isteine partielle

Funktion s

¨ uber V

,so dass

s(

v

∈D ) ,f v

s( alls v ) definiert

ist.

•O eineMenge

von Operatoren,

jedergegeben durchein

Paar von

partiell en

Belegungen(pre ,eff)(V

orbedingungund Effekt).

s • , 0

∗ s Start-

undZielzustand alspar

tielle Belegung.

Beispielf

¨ ur einSAS

-Prob

lem

V {v =

,v 1

,v 2

} c

D

1 v

D =

2 v

{A,B = ,C

,D ,E ,F }

D

v

= c

,C {A,B ,D ,E

1 ,t

2 ,t }

O {({v =

7→ 1

A},

1 {v B 7→

, })

1 ({v 7→

A},

1 {v C 7→

, })

2 ({v 7→

A},

2 {v 7→

B }),.

..

({v 7→ c

E,

1 v 7→

E }, {v 7→ c 1 t

}) ,.

..

0 s {v =

7→ 1 2 C,v

F, 7→

v 7→ c

} E

∗ s {v =

7→ c

} B

⇒

2 6

∗ 8=

288 potentielle

Zust¨ande (imGegens

atzzu STRIPS:

20 2

=1048576 ).

+ SAS -Planung 5

IntuitiveV ereinfac

hung:SAS -Teilpr

oblem

Gegebenein

+ SAS -Problem

(V Π=

O ,

0 ,s ,s ) ∗

V und

⊆V 0

.

Dasdurch

0 V induzierte

T eilprob lem

istdas 4-T upel

0 Π V =(

, 0 0 O|V

0 ,s

0 |V ,s

|V ∗

) 0

,w obei:

0 O|V {(pre|V =

,eff|V 0

) 0

|(pre,eff)

∈O

∧eff|V 6= 0

∅}

Probleme z.B.

inunserem (unl¨osbaren

Beispiel):

• JedesT

eilproblem außerdem

Gesamtproblem

¨ osbar istl .

•

1 v / ∈V

⇒ 0

T ruc k1

istjederz eit

¨ uber all.

KausaleGraphen

Gegebenein

+ SAS -Problem

(V Π=

, O

0 ,s ,s ),ist ∗

derKausale Graph

CG (Π)

definiert alsein

gerichteter Graph

(V ,A ),w

( obei u,v

∈ ) A g.d.w.

u 6=

v undes

einenOper ator(pre

,eff)∈O gibt,so

dasseff (v

) definiert

istund u) pre(

oder

( eff u) definiert

ist.

⇒ EineKante

f¨uhr tv

oneiner Var

iablen zuranderen,

wenn eineV

er¨ander ungder

anderenV ariab

lev omaktuelle

nW ert

dereinen Var

iable abh¨angig

seinkann.

v

1

v

c

v

2

+ SAS -Planung 7

Wer t¨uber gangsgraph

en

Gegebensei einSAS

-Problem +

mitV ariab

lenmenge V v und

∈V .

DerW ert

¨ uber gangsgraph

G istein v

gerichteter ,beschr

ifteterGr aphmit

Knotenmenge D ,der v

genaudann eineKante

d,d ( ) 0

enth¨alt, wenn

eseinen

Operator (pre,eff)

gibtmit pre

(v d )=

pre oder v ( ) undefiniert

undeff v (

d )=

. 0

DieKante wirdmit

|(V\{ pre }) v

beschriftet.

A B C D E F

2 t ¹ t

v = F v = F 1

2

2

v = C

2

v = D

2

v = E

2

v = A

2

v = B ¹ v = B

v = C

1

v = D

1

v = E

1

v = A

1

A E B

D

F C

4

+

SAS -1

EinSAS -1-Prob +

lemist einSAS

-Problem +

Π miteiner ausgemachtenV

ariab v le

,

sodass GC in

v (Π) eineeingehende

Kantev onallen

anderenV ariab

lenhat und

(Π) GC keine weiteren

Kantenenth

¨ alt.

Mannennt v

dieHighle vel-Variab

lev Π on

undallen anderenV

ariab lensind

Lowle vel-V

ariablen .Der

Zielzustand muss unddarf

nur

¨ uber dieHighle

ve l-Var

iable

definiert sein.

+ SAS -1 9

Eigensc haften

von

+

SAS -1(1)

Satz:PlanEx-SAS -1ist +

NP-vollst

¨ andi g.

Beweisidee: (∈ 1.

NP ):Betr achtePlan

π minimaler

L¨ange .W

¨ ahrend derA

usf¨uhr ungv

π on

nimmtdie Highleve

l-Var iable

v keinen Wer

t2 malan

undLo wleve

l-Var iablen

nur dann,w

ennsich derW

ert v von

zwischenz eitlich

¨ ander ver that.

⇒ Quadratisc

heLauftz eit

durchein nichtdeterm

inistischer guess-and-chec

k

Verf ahren.

2.

(NP-hart): Reduktionauf

NP-vollst

¨ andi gesPFP

(Path withf

orbiddenP airs)

• Geben:Ger

.Gr ( aph

V, ), A

0 v

∗ ,v V ∈

P und A ⊆

A ×

•

?:

Ex.Pf adv

v on v nach

,der ∗

von jedemP

aaraus P

h¨ochstens eine

DefiniereSAS -1-Problem, +

mitHighle vel-V

ariab v le

D und

= v

V .F

¨ ur jedes

p a,b =(

∈ ) P definiereLo

wlevel-V ariab

v le mit p v D

= 0

{a,b,

⊥}

und

Initialwer

⊥.F t

¨ ur jedeKante

n,n ( ) 0

A,definiere ∈ Operator

pre, ( ) eff

mit

( pre )= v n,und

( pre v )= p

⊥ f¨ur jedeLo

wleve l-Var

iable derenKantenpaar

n,n ( ) 0

enth¨alt sowie

( eff )= v

0 n undeff

v ( )= p

n,n ( ). 0

Eigensc haften

von

+

SAS -1(2)

Satz:PlanLen-SAS -1ist +

NP-vollst

¨ andi g.

Beweisidee: (∈ 1.

NP ):F olgtaus

vorher igemBe

weis .

2.

(NP-hart): Reduziereauf

NP-vollst

¨ andi gesX3C

(exact cov

erb ythree sets)

Problem:

• Gegeben:Menge

C von 3-elem.T

eilmengender Menge

{1,.

..

, 3q }.

•

?:

C Ex.

⊆ 0

C

|C mit

| 0

q = und

S 0 C {1 =

,.

..

3 , }? q

DefiniereSAS -1mit +

Highlevel-V ariab

v le D und

= v

,. {1 ..

3 , } q und

Initialwer t0.

F¨ur jedes

∈ S C definiereLo

wlevel -Var

iable

C v mit

D

= v

{>

⊥} , undInitial

wer

⊥.Lo t wlevel

-Var iablen

k¨onnen ihrenW

ert

i +1 wechseln,

wenn eineLo

wleve l-Var

iable

C v i mit

∈ +1 C

> auf gesetzt

ist.Setz edie

maximale Planl¨ange

4q auf .

3q ⇒ Operatoren,

umden Wer

tv v on

um1 zuerh

¨ ohen.

⇒ q Operatoren

umein Elementaus

C auszuw¨ahl

en.

Planungs algorithmus

f¨ur

+

SAS -1

GegebenSAS -1-Problem +

Π=

V ( O ,

0 ,s

∗ ,s mitHighle ) vel-V

ariab v le

. H

1.

(Initialisier ung)

plan

H (d )=







fal []

ls

H d s =

( 0 H v )

undef.

sonst

Queue D =

H

2.

Entfer neein

H d Queue,w aus

elches

||plan

H (d

|| ) minimiert

undf

¨ ur das

plan d (

) H

definiert ist(undef

¨ ane .Pl habenL

¨ ange

∞).Sei π

plan =

H (d ) und

s π =

0 (s ) .F

¨ ur alleHighle

ve l-T ransitionen op

d von nach H

0 d mit H

Vorbedingung pre

:

Planminimal erL

¨ ange ,der

dieV orbedingungenerf

¨ ullt.

Definiere

0 π alsdie

Aneinanderreihungv π on

π , und L

op.

b) Falls

||plan

0 (d ) H

> ||

0 ||π

||,setz plan e

0 (d ) H

π ←

0

3.

WiederholeSchr itt2,

solange, Queue bis

keine Elementemehr

enth¨alt, f¨ur

die

plan definiert

ist,(k einPlan

gefunden),oder s bis

( ∗ H v ) Queue aus

entfer nt

wurde(

( plan

∗ s v ( )) H

istdie L¨osung).

• Polynomiel leLaufz

eit.

• Korrekt, aberun

voll st¨andig

(esgibt l¨osbare

Probleme f¨ur

diek eineL

¨ osung

gefundenwird).

5 Anwendung:

Heuristik f¨ur

allgemein e

+

SAS -Prob leme

Annahme:Beziehungen zwischen

Var iablen

undihren unmittelbaren

Vorg

¨ anger n

imkausalen Graphen

sindwichtiger alsBeziehungen

zumittelbaren Vorg

¨ anger n.

⇒ Betrachte

T eilprob leme

,die durcheine

Var iable

undihre unmittelbaren

¨ anger Vorg induziert

werden.

Gesch

¨ atzte Kosten

cost ( v 0 d,d

) ,um eineV

ariab v le

von Wer

d t inW d ert

zu¨uberf 0

¨ uhren:

1.

Falls v

keine kausalen

¨ anger Vorg hat,so

c ist (d,d v

) 0

derk

¨ urz estePf

adv d on

d nach imW 0

ert¨ubergang sgraphen

G ,oder v

∞,f allsk

einsolcher Pfad

existie rt.

Sonstgehe zu2.

2.

V Sei dieMenge v

derV ariab

len,die v

undalle unmittelbarenV

org¨anger v von

imkausal enGr

aphenv Π on

enth¨alt.

Π Sei dasdurch v

V induzier v

te

3.

cost Sei ( v 0 d,d

|π )=

|,w π obei

derdurch denSAS

-1-Algorithm +

us

berechnete, k¨urz este

Weg ist.Die

Kosten von

Highlevel-T ransiti

onenist 1,die

Kosten von

Lowle vel-T

ransi tionenentsprec

hender L¨ange

desk

¨ urz esten

Pfades imW

ert¨ubergangsg raphen

derentsprechenden Var

iable .

h(

s)=

X

∈V v

cost ( v

s(

v ,s ) ( ∗

v ))

6 Quelle

MalteHelmer t:

“APlanning Heuristic

Basedon CausalGr

aphAnalysis . ”

(ICAPS2004).