Bose-Einstein-Kondensate in ungeordneten Potenzialen

in

ungeordne t en Potenzialen

Von der Fakultät für Mathematik und Physik

der Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover

zur Erlangung des Grades

Doktor der Naturwissenshaften

Dr. rer. nat.

genehmigte Dissertation

von

Dipl.-Phys. Thomas Shulte

geboren am 05.04.1976 in Hannover.

2006

Korreferent: Prof. Dr. Luis Santos

Tagder Promotion: 11. Juli2006

Unordnung ist ein integraler Bestandteil einer Vielzahl physikalisher Systeme. Sie existiert

insbesondere in Festkörpe rn in mannigfaltiger Form und hat zum Teil dramatishe Auswir-

kungen auf deren Eigenshaften. Die Möglihkeiten zur experimentellen Kontrolle der Un-

ordnung sind zumeist nur sehr begrenzt, da diese in derRegel auf natürlihe Weise vorliegt.

Ultra-kalte Quantengase hingegen stellen äuÿerst reine Ensembles dar, für die Methoden

zur kontrollierten Erzeugung von Unordnung verfügbar sind. Sie bieten daher einen äuÿerst

vielversprehendenAnsatzzurUntersuhungderfundamentalenEigenshaftenungeordneter

Systeme.

Zentrales Thema dieser Arbeit war die Erforshung des Einusses kontrollierbarer Unord-

nungspotenziale auf die Eigenshaften von quantenentarteten Bose-Gasen. Dazu wurde ein

räumlih ungeordnetes Dipolpotenzial realisiert und in die bestehende Apparatur zur Erzeu-

gungvon Bose-Einstein-Kondensaten aus

87

Rb-Atomen integriert.

GroÿeBedeutungkommtderUntersuhungungeordneterGittergasezu,dadiesedieexperi-

mentelleRealisierungderModelleermöglihen,diezurBeshreibungungeordneterEnsembles

verwendet werden. ZurBereitstellung eines solhen Systemswurdeim Rahmen dieserArbeit

ein eindimensionales optishes Gitter aufgebaut und harakterisiert. Durh die Kombination

des Gitterpotenzials mit dem ungeordneten Dipolpotenzial konnte erstmals ein ungeordne-

tes quantenentartetes Gittergas erzeugt werden [1,2℄. DasDihteprol des frei expandierten

Kondensates weist unregelmäÿige Modulationenauf, dievon derLokalisierungder Atome in

denFluktuationendesungeordnetenPotenzialsherrühren.EinezentraleFragestellunghierbei

lautete, obin diesem System eine Anderson-artige Lokalisierung der Kondensatwellenfunkti-

onauftritt.InÜbereinstimmungmit numerishenUntersuhunge nwurdenindenMessungen

keine Anzeihen einer derartigen Lokalisierung festgestellt. Jedoh konnte ein experimen-

tell zugänglihes Regimeidentiziert werden, in dem eine Anderson-artige Lokalisierung der

Kondensatwellenfunktion zuerwarten ist [13℄.

In metallishen Festkörpe rn reduzieren Störungen der periodishen Gitterstrukt ur die Ko-

härenzzeit der Elektronenbewegung und verhindern bislang die Beobahtung des elemen-

taren Phänomens der Bloh-Oszillationen. Basierend auf der Anregung von Prof. Dr. Luis

Santos wurdenmittels numerisher Simulationen dieBloh-OszillationenvonBose-Einstein-

Kondensaten in ungeordneten Gitterpotenzialen untersuht. Die Berehnungen zeigen, dass

hierbei eine dekohärenzbedingte Dämpfung der Oszillationsamplitude auftritt. Diese kann

mit dem in dieser Arbeit realisierten System zeitaufgelöst gemessen werden. Die Ergebnis-

sederSimulationensindunmittelbarerLeitfadenfürdiederzeitigenArbeitenamExperiment.

Die durhgeführten Messungen gehören zu den ersten experimentellen Untersuhungen von

ungeordneten quantenentarteten Gasen. Die erzielten Resultate haben wesentlihe Beiträge

zur Etablierung derErforshung ungeordneter Systeme mittels ultra-kalterQuantengase ge-

leistet.

Disorderisanintegralonstituentofnumerousphysial systems.Espeially solidbodieson-

tainamanifoldofdisorderedstrutures whihan havedramatiimpats ontheirproperties.

Thepossibilitiesforexperimental ontrolarehoweververyrestrited.On theontrary,ultra-

oldquantumgases formextremlypureensemblesforwhihpowerfulmethodsofontrolare

available. Therefore, they provide a promising newapproah forexamining the properties of

disordered systems.

The inuene of ontrollable disorder on the features of quantum degenerate Bose gases

is the entral topi of this thesis. A spatially disordered dipolepotential was realized experi-

mentallyand integrated intothe existingapperatus for produing Bose-Einsteinondensates

of

87

Rb-atoms.

Disorderedlattiegasesallowfortheexperimentalrealizationoftheoretialmodelsdediated

to the desription of disordered ensembles. To implement suh a system, a one-dimensional

optial lattie was set up and haraterized. By ombining the lattie potential with the

disordered dipole potential, a disordered quantum degenerate lattie gas was generated for

the rst time [1,2℄. The density prole of the freely expanded ondensate shows irregular

modulations whih originate from atomi loalization in the utuations of the disordered

potential. A entral question in this ontext was whether an Anderson-like loalization was

present in this system. In good agreement with numerial results no signs of suh a loali-

zation were found in the measurements. However, an experimentally aessible regime was

identied where an Anderson-like loalization isexpeted[13℄.

Perturbations of the periodi lattie struture in metalli solid bodies redue the oherene

time ofthe eletroni movement and havehampered the diretobservation ofBlohosilla-

tions in these systems so far. Basedon the idea of Prof. Dr. Luis Santos, Bloh osillations

of Bose-Einstein ondensates in disordered lattie potentials were investigated by means of

numerialsimulations.Thealulationsshowthatadampingoftheosillation amplitudedue

to deoherene oures. Time-resolved measurements of this phenomenon are possible with

the system implementedin the ontext of this thesis. The simulations are a diret guideline

forthe present experimental work.

The measurements presented in this thesis belong to the rst experimental investigations

of disordered quantum degenerate gases. The results have signiantly ontributed to esta-

blishing researh of disordered systems in the eld of ultraold quantumgases.

Keywords:Disordered Systems, Bose-Einstein Condensates, Optial Latties

1. Einleitung 1

2. Bose-Einstein-Kondensation 7

2.1. Einführung . . . 7

2.2. Theoretishe Grundlagen . . . 9

2.2.1. Das ideale Bose-Gasin einer harmonishen Falle . . . 9

2.2.2. Shwah wehselw ir kendes Bose-Gas . . . 10

2.2.3. Grundzustand des Kondensates und Thomas-Fermi-Regime . . . 13

2.3. Experimentelle Erzeugung . . . 14

3. Bose-Einstein-Kondensate in optishen Gitterpotenzialen 17 3.1. Einführung . . . 17

3.2. Theoretishe Grundlagen . . . 19

3.2.1. Das optishe Dipolpotenzial . . . 19

3.2.2. Einzelnes Teilhen im 1D-Gitter . . . 25

3.2.3. Shwah wehselw ir kendes Bose-Gasin optishen Gittern . . . 36

3.3. Aufbau eines eindimensionalen optishen Gitters . . . 45

3.3.1. Das Lasersystem . . . 45

3.3.2. Aufbau des Gitterstrahlengangs . . . 48

3.3.3. Justage des Gitterstrahls . . . 51

3.4. Experimente zur Charakterisierung des optishen Gitters . . . 52

3.4.1. Bestimmung der Potenzialtiefe . . . 53

3.4.2. Besetzungdes Kondensatgrundzustandes im Gitterpotenzial . . . 58

4. Bose-Einstein-Kondensate in ungeordneten Dipolpotenzialen 65 4.1. Einführung . . . 65

4.2. Theoretishe Grundlagen . . . 66

4.2.1. Einzelnes Teilhen in einem ungeordneten Potenzial . . . 67

4.3. Experimentelle Realisierung eines ungeordnetenDipolpotenzials . . . 69

4.3.1. Aufbau und Justage des Strahlengangs . . . 69

4.3.2. Charakterisierung des Unordnungspotenzials . . . 72

4.4. Untersuhungen mit ungeordneten Bose-Einstein-Kondensaten . . . 78

4.4.1. Experimentelle Untersuhungen . . . 80

4.4.2. Theoretishe Untersuhung des Systems . . . 83

5. Ungeordnetes ultra-kaltes Gittergas: Der Grundzustand 95

5.1. Einführung . . . 95

5.2. Theoretishe Grundlagen . . . 96

5.2.1. DasAnderson-Modell . . . 96

5.2.2. DasBose-Hubbard-Modell . . . 97

5.2.3. Die diskrete nihtlineareShrödinger-Gleihung . . . 99

5.3. Experimentelle und theoretishe Untersuhung eines ungeordnetenGittergases 99 5.3.1. Erzeugung des ungeordneten Gittergases . . . 100

5.3.2. Experimentelle Untersuhungen . . . 101

5.3.3. Theoretishe Untersuhung des ungeordneten Gittergases . . . 104

5.4. Anderson-artige Lokalisierungvon Bose-Einstein-Kondensaten . . . 106

5.4.1. Wege zu einerexperimentellen Realisierung . . . 112

6. Ungeordnetes quantenentartetes Gittergas: Dynamik 115 6.1. Einführung . . . 115

6.2. Bloh-Oszillationen:Theoretishe Grundlagen . . . 116

6.3. Bloh-Oszillationenvon Bose-Einstein-Kondensaten. . . 120

6.4. Unordnungsinduzierte Dämpfung der Bloh-Oszillationen . . . 130

7. Ausblik 141

A. Numerishe Tehnik 145

B. Das axiale Detektionssystem 149

Das Forshungsgebiet der ultra-kaltenGase hat in den letzten Jahren eine rasanteEntwik-

lung durhlaufen. Seit der ersten Erzeugung von Bose-Einstein-Kondensaten atomarer Gase

imJahr1995[46℄hatdasInteresseanquantenentartetenSystemenstarkzugenommen.Ins-

besondere die hohe Interdisziplinarität sowie die äuÿerstenge Zusammenarbeit von Theorie

undExperimenthabenzur rashenEntwiklungdieses Feldes beigetragen.Quantenentartete

GasestellenphysikalisheObjektevonfundamentalerBedeutungdar,dasiedieexperimentel-

leÜberprüfungelementarerKonzeptederQuantenstatistik,Vielteilhent heorie,Quantenoptik

undTheoriederkondensiertenMaterieerlauben.Die Möglihkeit,solhegrundlegendenSys-

teme im Labor zu erzeugen und zu untersuhen, hat das Interesse vieler Gruppen an der

Erforshung ultra-kalter Quantengase ausgelöst. Die enormen experimentellen Fortshritte,

die mit dieser Entwiklung einhergegangen sind,haben dazu geführt, dass heutzutage niht

nur atomare bosonishe Gase vielerlei Spezies im Labor präpariert werden, sondern haben

auh die Erzeugung quantenentarteter Gaseaus Fermionen [79℄ undhomonuklearen Mole-

külen [1012℄ermögliht.Injüngster ZeitfokussierensihnungröÿteAnstrengungenaufdie

Realisierung quantenentarteter heteronuklearerGase.

Von wihtigerBedeutung für das enormeInteresse an quantenentarteten Gasenist, dassbei

ihrer Erzeugung und Untersuhung ein hohes Maÿ an experimenteller Kontrolle erzielt wer-

denkann. Sowerden sieinmagnetishen oderoptishen Fallen präpariertund sinddurhein

Ultrahohvakuum von störenden Umgebungseinüssen isoliert. Des Weiteren ist ein breites

SpektrumanManipulationstehnikenverfügbar,mitdenensowohldieinnerenalsauhdieäu-

ÿeren Freiheitsgrade dieser Ensembles beeinusst werden können. Dieses reiht vomEinsatz

kohärenter Zwei-Photonen-Prozesse zur Spektroskopie [1317℄ oder Interferometrie [1821℄

überdenEinsatzoptisherDipolpotenzialezurErzeugungeindimensionalerWellenleiterstruk -

turen [2224℄bishin zur ManipulationderinteratomarenWehselwirkung mittels Feshbah-

Resonanzen [25℄.

Herausragende Bedeutung unter diesen Tehniken hat der Einsatz optisher Gitterpoten-

ziale erlangt [26℄. Diese werden durh optishe Stehwellen realisiert, welhe mittels interfe-

rierender Laserstrahlen erzeugt werden. Sie spielen für eine Vielzahl von theoretishen und

experimentellen Untersuhungen eine zentrale Rolle. So erlauben die periodishen Struktu-

ren optisher Gitter die Beobahtung fundamentaler quantenmehanisher Phänomene wie

das Auftretenvon Blohoszillationen[2729℄oderLandau-Zener-Tunneln[2830℄.Der hohe

Einshluss,deraufdeneinzelnenGitterplätzenvorliegt,bietetdieMöglihkeitzurVielfahrea-

lisierung niederdimensionaler Quantengase. So konntebeispielsweise in jüngster Zeit mittels

eines eindimensionalenGittersdervielbeahteteKosterlitz-Thouless-Überganginzweidimen-

sionalen Bose-Gasen beobahtet werden [31℄.

DasgroÿePotenzial optisherGitter beruht insbesondereaufderMöglihkeit, dierelevan-

ten Systemgröÿen wie Tunnel- oder Wehselwirkungsparameter über einen weiten Bereih

experimentell manipulierenzukönnen[32℄.Hierdurh erönensiebeispielswe ise denZugang

zurErzeugung vonSystemen,diedurhstarkeKorrelationengeprägtsindunddaherniht im

Rahmen von Mean-Field-Theorien beshriebe n werden können [33,34℄. So konnte in tiefen

dreidimensionalen optishen Gittern der Quanten-Phasenübergang zum bosonishen Mott-

Isolator-Zustanderreihtwerden [35℄.Hierbeihandeltes sihumeinenZustand,beidemdie

AtomeinEigenszuständendesAnzahloperatorsaufdenjeweiligenGitterplätzenvorliegenund

derdurheineharakteristis he LükeimAnregungsspektrumgekennzeihnet ist[33,36,37℄.

Die hiermit verbundene Unterdrükung von Teilhenzahluktuationen begründet das groÿe

Anwendungspotenz ial des Mott-Isolators(MI)insbesonderefür dieQuanteninformationsver-

arbeitung [3840℄.

Ineindimensionalen bosonishen Gasen, die mittels zweidimensionaler optisher Gitter er-

zeugt wurden, konnte ein anderes stark korreliertes System realisiert werden 1

[41,43℄. Die-

ses ist durh einVershw inden des Transmissionskoezienten der binären Streuprozesse ge-

kennzeihne t [44℄. Ein solhes eindimensionales System undurhdringliher Bosonen ist als

Tonks-Girardeau-Gas (TG) bekannt [45,46℄. Sein Spektrum und seine thermodynamishen

Eigenshaften können durh eine Abbildung des Problems auf ein Gas niht wehselw irken-

derspinloser Fermionen erhalten werden [46,47℄.Der erste experimentelle Nahweis des TG

konnte durhdie Messung seines harakteristis hen Impulsspektrums geführt werden [41℄.

Ungeordnete Systeme

Eine bemerkenswerte Eigenshaft optisher Gitter ist das Fehlen jegliher Störungen ihres

periodishen Potenzials. Dieses stellt einen wihtigen Untershied zu einer Vielzahl von na-

türlihenGittersystemendar.Soexisitierenz.B.inderperiodishenStrukturvonFestkörpe rn

vershiedens teArten vonUnregelmäÿigkeiten.Angefangenvonvereinzelten Defekteninkris-

tallinenFestkörpernüberdas AuftretenvonPhononenbishin zudenamorphenGläsernoder

Legierungen liegt Unordnung inhärent und auf vielfältige Weise vor [48,49℄.Dabei verstehe

ih im Folgenden unter dem BegriUnordnungeine unregelmäÿige strukturelle Störung des

Hamiltonians, die keinerleiSymmetrien aufweist und die zeitlihstationär ist.

AllgemeinkanndieGegenwartvonUnordnungmassiveKonsequenzenfürdieEigenshaften

eines Systems haben. Ein zentrales Phänomen ist in diesem Zusammenhang das möglihe

Auftreten einer exponentiellen Lokalisierung der Einteilhenzustände. Experimentell mani-

festiert sih dieser Eekt durh eine dramatishe Veränderung der Transporteigenshaften.

Das kanonishe Beispiel für dieses Szenario ist der sogenannte Metall-Isolatorübergang in

einem stark ungeordneten Festkörper [50,51℄. Die theoretishen Grundlagen der Lokalisati-

on datieren auf die wegweisende Arbeit von P. W. Anderson zurük, der eine Analyse des

Diusionsverhaltens eines Teilhens auf einem ungeordneten Gitter durhführte [52℄. Diese

Untersuhung initiierteeineSerievonArbeiten, diedasheutigeVerständnisderunordnungs-

induzierten Unterdrükung des Transports als die Lokalisierung der Einteilhenzustände in

dem ungeordneten Potenzial begründen [5355℄. Daher wird eine solhe Lokalisierung auh

als Anderson-Lokalisierung bezeihnet.

1

In[41℄istfürdieErzeugungdessogenanntenTonks-Girardeau-Gases(TG)derEinsatzeinesdrittenGitters

wesentlih.DasTGauf demGitterhatdabei andereKorrelationseigenshaftenalsaufdemKontinuum.

DasgroÿeInteresse an ungeordnetenQuantensystemen wirddurh dieTatsahe bestärkt,

dasssih diese niht als eineeinfahe Modikationihrer geordneten Pendants verstehen las-

sen.DieProblemesindimAllgemeinenniht-pertubativunderforderneigenständigeBeshrei-

bungen.Sokannbeispielswe isefürungeordneteSystemegezeigtwerden,dassineinerDimen-

sion alle Einteilhenzustände lokalisiert sind, und zwar unabhängig von der Stärke des Un-

ordnungspotenzials[56℄.Einüberzeugender experimenteller Belegfürdenniht-pertubativen

Charakter ungeordneter Systeme stellt die Messung der Leitfähigkeit in Metallen bei tiefen

Temperaturen dar. Für deren Temperaturabhängigkeit liefern Rehnungen, die auf der An-

nahmeeiner einfahenStreuungderBlohwellenan denUnordnungszentren basierenundso

zueinerBoltzmann-Transport-Gleihungführen,auhimGrenzfallkleinerUnordnungfalshe

Vorhersagen 2

[50℄.DieUntersuhungungeordneterSystemeverlangtweiterführendeAnsätze,

welhe die Konsequenzen einer möglihen Lokalisierung der Einteilhenfunktionen adäquat

berüksihtige nmüssen.HierhabensogenannteSaling-TheorienwihtigeVerständnisbe it rä-

gegeleistet [50,55,57℄.Dieseberüksihtige ninsbesondereden Einuss derDimensionalität

des Systems aufdas möglihe Auftreten von lokalisierten Zuständen [50℄.

Eine Herausforderung für die experimentelle Erforshung ungeordneter Systeme stellt die

gezielte Erzeugung sowie die Manipulation der Unordnung dar. So ist es beispielswe ise für

viele Experimente wünshenswert, ein breites Spektrum von Unordnungsgraden - von völlig

geordnet bis stark ungeordnet -präparieren zukönnen.

Ultra-kalte Quantengase bilden aufgrund ihrer ausgezeihneten experimentellen Kontrol-

lierbarkeitund dervielfältigenManipulationstehnikenhervorragendeModellsystemezur Un-

tersuhungderfundamentalenEigenshaftenungeordneterEnsembles. Siezeihnensihzum

einen durh ihre inhärente Reinheit aus, zum anderen sind vershiedene Methoden zur ge-

zielten Erzeugung von Unordnung in diesen Systemen vorgeshlagen worden. Diese beruhen

auf dem Einsatz optisher Dipolpotenziale [5864℄, der Einbringung von Fremdatomen in

dieEnsembles [65℄oderderlokalen ModikationderWehselwirkungseige nshaften desSys-

tems[66℄.DieseMethodenerlaubensowohleineguteKontrolleüberdieFormderUnordnung

alsauhüberderenStärke.Hervorzuhebenist,dassanhandultra-kalterbosonisherGasemit

der Untersuhung des Zusammenspielsvon Unordnung und Wehselwirkung eineder meist-

beahteten Fragestellungen für ungeordnete Systeme addressiertwerden kann.

Die Erforshung ungeordneter Quantengase kann dabei auf bereits durhgeführte Arbeiten

mitsuperüssigemHeliumundSupraleiternaufbauen.DerenspezielleTransporteigenshaften

sind mit langreihweitigen Korrelationen verknüpft, die direkte Konsequenzen der spontan

gebrohenen Symmetrien sind, dieauh in quantenentarteten Gasen auftreten [67℄.

Für Supraleiter werden shon seit längerem die Auswirkungen einer räumlihen Unord-

nung auf die Transporteigenshaften und die Bardeen-Cooper-Shriefer-Theorie [34℄ disku-

tiert [68,69℄ und experimentell untersuht [7072℄. Grundsätzlih basiert Supraleitfähigkeit

auf der Existenz kohärenter Elektronen-Paar-Zustände,während Unordnungzu exponentiell

lokalisierten und daher ungekoppelten Zuständen führt. Aus diesem Grundführt Unordnung

2

IndiesemmetallishenshwahungeordnetenRegimeübersteigtzwardieLokalisationslängedieSystem-

gröÿe,dennohwerdendieTransporteigenshaftendurhkohärenteElektronen-Rükstreuungbeeinusst.

allgemeinzueinerReduktiondersupraleitendenTransporteigenshaften,wobeiderenAusmaÿ

von derStärke der Unordnungabhängt.

DieUntersuhungenmitungeordnetemHeliumwurdenmittelsporöserSubstrateausVyor

durhgeführt, auf die das Helium aufgebraht wurde [7375℄. Durh den Einuss der unge-

ordnetenSubstratstrukt uren konntenneuartigeEekte beobahtet werden [76℄.Vongroÿem

Interesse ist hierbei insbesondere die für kleine Heliumdihten beobahtete Abwesenheit der

superüssige n Eigenshaften unterhalbder

λ

-Temperatur 3

. DiesesPhänomenwird durhdie

Lokalisierung der Heliumatome auf der ungeordneten Substratstrukt ur verursaht [77,78℄.

Interessanterweise konnten die Proben durh Erhöhung der Heliumdihte wieder in die su-

perüssige Phase gebraht werden. Dieser Prozess, für den die repulsive Wehselwirkung

zwishen denBosonen eine zentraleRolle spielt [77,78℄,hat auh für die vorliegende Arbeit

groÿe Relevanz.

Die Experimente mit Supraleitern und superüssigem Helium habeneine Reihe von theo-

retishen Abhandlungen stimuliert. Insbesondere die für Bose-Systeme durhgeführten Be-

rehnungen des Unordnungseinusses auf die Kondensationstemperatur [79,80℄, Shallge-

shwindigkeit [81℄ und denAnteil dersuperüssigen undder kondensierten Teilhen [8183℄

sind dabei von unmittelbaremInteresse für Untersuhungen an ungeordnetenBose-Einstein-

Kondensaten.

Die erste Realisierungeines ungeordnetenquantenentarteten Gaseswurdemit einem atoma-

ren Bose-Einstein-Kondensat erreiht. Dazu wurde mit Hilfe eines diusiven Substrats ein

räumlih ungeordnetes Dipolpotenzial erzeugt [84℄. Mit dieser Methode wurde die Auswir-

kung eines Unordnungspotenzials auf den Grundzustanddes Kondensates und die kollektive

Anregungen gemessen [84℄. Sie diente ferner zur Untersuhung der Expansion eines Kon-

densates in einer ungeordneten Wellenleiterstruk tur [85,86℄. Hierbei zeigte sih unter dem

Einuss der Unordnung einedeutlihe Reduktion des eindimensionalen Transports.

DieseArbeitenaddressierendieEigenshaftenungeordneterBose-Einstein-Kondensateauf

dem Kontinuum. Groÿes Potenzial verspriht jedoh inbesondere die Realisierung und Un-

tersuhung quantenentarteter Gasein ungeordnetenGitterstrukt uren. Letzterekönnendurh

die Kombination optisher Gitterpotenziale mit den vorgeshlagenen Methoden zur Erzeu-

gung von Unordnung realisiert werden. Das Interesse an ungeordneten Gittergasen basiert

zum einen auf ihrer unmittelbaren Relevanz für eine Vielzahl von natürlih vorkommenden

ungeordneten Systemen. Zum anderen bieten sie die Möglihkeit zur experimentellen Rea-

lisierung von vielbeahteten theoretishen Modellen, die zur Analyse ungeordneter Systeme

verwendetwerden.InsbesondereseihieraufdasAnderson-Modell[52℄unddasBose-Hubbard-

Modell [36℄ verwiesen. Shlieÿlih können Experimente von der guten Manipulierbarkeit der

Tunnel-undWehselwirkungsparameter sowieder Unordnungsstärke protieren. DieseMög-

lihkeiterönetejüngstdenWegzurRealisierungdersogenanntenBose-Glas-Phaseineinem

ungeordneten dreidimensionalen Gitter [87℄. Das Bose-Glas (BG) ist wie der MI ein Isolator

und durhstarke Korrelationen geprägt[36℄. Aufgrundder Unordnung weist er jedoh keine

Lüke im Anregungsspek trum auf [36℄. Durh die erfolgreihe Realisierung des BG wird die

Leistungsfähigkeit ungeordneterGitterstrukturen zur Erforshung ungeordneter Systeme un-

3

Die

λ

-TemperaturbezeihnetdieTemperatur,unterhalbder sihdashomogeneSysteminder superüs-

terstrihen.

Diese Arbeit untersuht die Eigenshaften von Bose-Einstein-Kondensaten in ungeordneten

Potenzialen. Einen Shwerpunkt der experimentellen Arbeiten bildete die Realisierung und

die Charakterisierung eines ungeordnetenquantenentarteten Gittergases [1℄.

Mit der Untersuhung einer möglihen exponentiellen Lokalisierung des Kondensatgrund-

zustandes greift dieArbeit einefundamentaleFragestellungfür ungeordnete bosonisheSys-

temeauf.HierbeiwirdinsbesonderederwihtigeEinussderUnordnungsstrukturgröÿesowie

der interatomaren Wehselwirkung diskutiert.

DieGrundzustandsbetrahtungenwerdendurhdienumerisheUntersuhungvonBlohos-

zillationen aufdieDiskussionderdynamishenEigenshaften des Gittergases unterdemEin-

uss eines ungeordneten Potenzials erweitert.

Gliederung der Arbeit

•

^{DasKapitel 2 isteine Einführungindie Grundlagender}Bose-Einstein-Kondensation.

Insbesonderewird dieBeshreibung des Kondensates im Rahmen derGross-Pitaevskii-

Gleihung behandelt. Des Weiteren wird die experimentelle Apparatur zur Erzeugung

von Bose-Einstein-Kondensaten aus

87

Rb-Atomen erläutert.

•

^{Als ein wihtiges Ergebnis dieser Arbeit wird in Kapitel 3 die} Realisierung eines ein- dimensionalen optishen Gitters als robustes Werkzeug zur Manipulation der Atome

beshriebe n.Dazuerfolgt zunähsteineDarstellungdertheoretishen Grundlagenvon

Bose-Einstein-KondensatenineindimensionalenGitterpotenzialen.Eswerdeninsbeson-

dere dieKonsequenzen derWehselwirkung sowieeines harmonishenFallenpotenzials

berüksihtigt. Im Anshluss erfolgt die Beshreibung des Aufbaus des optishen Git-

ters und seiner experimentellen Charakterisierung. Letztere umfasst die Bestimmung

der Potenzialtiefe und dieUntersuhung des Kondensatgrundzustands.

•

^{InKapitel4wirddieErzeugungeines}ungeordnetenBose-Einstein-Kondensatesdarge- stellt. Dazuwirdzunähst derAufbau unddie Charakterisierung eines kontrollierbaren

optishen Unordnungspotenzials vorgestellt. Den Shwerpunkt des Kapitels bildet die

Beshreibung unserer experimentellen Untersuhungen des Kondensatgrundzustands

inder Magnetfallemit überlagertemUnordnungspotenzial. Die Darstellungder experi-

mentellen Ergebnisse ist durh umfangreihenumerishe Untersuhungen ergänzt.

•

^{Als zentrales Resultat dieser Arbeit wird in Kapitel 5 die erstmalige} Realisierung ei- nes ungeordnetenquantenentarteten Gittergases beshrieben. Dieseskonntedurh die

Kombination des ungeordneten Dipolpotenzials mit dem eindimensionalen optishen

Gitter erzeugt werden. Im Mittelpunkt steht die Darstellung unserer Untersuhungen

zumKondensatgrundzustandimungeordnetenGitterpotenzial.EinewihtigeFragestel-

lung hierbei war, ob eine Anderson-artige Lokalisierung der Kondensatwellenfunktion

in einem solhen System möglih ist. Hierbei wird insbesondere der kritishe Einuss

theoretishen Analyse zeigen einen experimentell zugänglihen Parameterbereih auf,

in demeine Anderson-artige Lokalisierung zuerwarten ist.

•

^{Das Kapitel 6 beinhaltet eine numerishe} Untersuhung der Blohoszillationen von Bose-Einstein-Kondensaten unter der Einwirkung eines ungeordneten Potenzials. Die

Ergebnisse der Analyse zeigen, dass die Kohärenzzeit der Oszillationen aufgrund der

Gegenwart der Unordnung deutlih reduziert ist und eine Dämpfung der Oszillations-

amplitude eintritt. Dieser Prozess ist mit dem im Rahmen dieser Arbeit realisierten

System kontrolliert messbar. Erste Shritte zuseiner experimentellen Umsetzung wur-

den bereits geleistet.

•

^{Das Kapitel 7 gibt einen Ausblik auf möglihe} Fortsetzungen der bisherigen Unter- suhungen.

Bose-Einstein-Kondensate sind von zentraler Bedeutung für diese Arbeit, da sie den Aus-

gangspunkt für sämtlihe Untersuhungen bilden. Dieses Kapitel gibt eine Beshreibung

der theoretishen Grundlagen und der experimentellen Erzeugung dieser Vielteilhensyste-

me. Nah einem einleitenden Abriss über die historishe Entwiklung des Forshungsfeldes

erfolgt eineDarstellung dertheoretishen Beshreibung. Dieseist kompaktgehalten, so dass

an dieser Stelle auf die exzellenten Abhandlungen [34,8891℄ zu diesem Thema verwiesen

sei. ImAnshluss wird die Erzeugung von Bose-Einstein-Kondensaten mit der experimentel-

len Apparatur skizziert. Eine grundlegende Beshreibung der Methoden zur Erzeugung und

Manipulation von Bose-Einstein-Kondensaten wird in [9294℄ gegeben, während die Details

der vorliegenden Apparaturin [95,96℄ dargestelltsind.

2.1. Einführung

Die konzeptionelle Grundlage der Bose-Einstein-Kondensation wurde 1925 von A. Einstein

gelegt, der die von S. N. Bose entwikelten Ideen zur Photonenstatistik [97℄ auf ein niht

wehselwir kendes Gas von Atomen übertrug [98℄. Die Kondensation ist durh eine makro-

skopisheBesetztungeines Einteilhenzustande sgekennzeihnet,dieindreiDimensionenfür

ein homogenes spinloses Gas mit periodishen Randbedingungen unter der Bedingung

n λ ³ ≥ ζ

3 2

= O (1)

^(2.1)

einsetzt[99℄.Hierbeibezeihnet

n

^dieTeilhendihte,

ζ

^{dieRiemannshe}Zeta-Funktion[100℄

und

λ

^{die thermishe de} Broglie-Wellenlänge

λ =

v u u t 2π¯ h ²

mk B T .

^(2.2)

DasfüreinigeJahrealsakademishesProblemgeltendeKonzeptderBose-Einstein-Kondensa-

tionerlangtedurhdieBeobahtungdersuperüssige nEigenshaften[101℄von

4

He[102,103℄

groÿeAufmerksamke it .AlsMeilenstein isthierbeidieArbeitvonF.Londonzusehen, diedas

AuftretenderSuperuidität alsdirekte KonsequenzderBose-Einstein-Kondensationinterpre-

tierte [104℄. Dies bildete einerseits den Ausgangspunkt für eine Vielzahl von grundlegenden

theoretishen und experimentellen Studien, welhe die Untersuhung des Zusammenhangs

zwishen Bose-Einstein-Kondensation und Superuidität zum Gegenstand hatten. Insbeson-

dere wurdeaberhierdurh dasKonzept derBose-Einstein-Kondensation fürwehselw ir kende

Vielteilhensys tem eetabliert.Das heutigeVerständnisdieser Systeme basiertdabei maÿgeb-

lih auf einigen theoretishen Arbeiten von fundamentaler Bedeutung, die hier besonders

hervorgehoben werden sollen:

•

^DieUntersuhungdesAnregungsspek trum sdes shwahwehselw ir kendenBose-Gases durh N. N. Bogoliubov[105℄.

•

^Die Etablierung eines robusten Kriteriums für Bose-Einstein-Kondensation, das unab- hängig von der Stärke der Wehselwirkung des Bose-Systems ist, durh O. Penrose

und L. Onsager[106℄.

•

^Diefeldtheoretishe FormulierungderdiagrammatishenStörungstheorieinGegenwart einesBose-Einstein-KondensatesdurhS.T.Baliaev[107℄undderenAnwendungdurh

N. M. Hugenholtzund D. Pines[108℄.

Diese Arbeiten legten den Grundstein für eine groÿe Zahl von vielbeahteten theoretishen

Arbeiten aus den fünfziger und sehziger Jahren, welhe meist die Untersuhung der Eigen-

shaften des superüssige n Heliums zum Gegenstand hatten. Als Beispiel sei hier auf den

wegweisenden Artikel von P. C. Hohenberg und P. C. Martin verwiesen [109℄. Obwohl die

entwikelten Theorienvongroÿerkonzeptioneller Bedeutungwaren,stelltesihrashheraus,

dass ein quantitativer Vergleih mit den experimentellen Beobahtungen durh die groÿe

Stärke derWehselwirkung in superüssigem Helium deutlih ershwert ist.

Daher entwikelte sih ab den siebziger Jahren ein zunehmendes experimentelles Interes-

se, Bose-Einstein-Kondensation in einem shwah wehselw ir kend en Gas zuerreihen. Dazu

musste ein System identiziert werden, bei dem die hohen Phasenraumdihten

n λ ³

^{, die}

zum Erreihen derBose-Einstein-Kondensation erforderlih sind,niht zueinem instantanen

Übergang des Gases in dieüssige oder feste Phase führen.

Unter diesen Randbedingungen galt Spin-polarisierterWassersto als äuÿerst vielverspre-

hend, da dieser eine sehr kleine Masse besitzt und aufgrund der Polarisierung der Spins

auh bei

T = 0

^{gasförmig bleibt. Jedoh erwiesen sih die bei hohen Dihten} auftretenden Dreikörperstöÿe als äuÿerst ershwerend. Sie induzieren Spin-Flips und eine Rekombination

des atomaren Wasserstos zur molekularenForm. Diese Shwierigkeiten führten dazu, dass

dieerstmalige Erzeugung eines gasförmigen Bose-Einstein-Kondensatsniht mit Wassersto

gelang.

Seit den ahtziger Jahren wurden eziente Kühlmethoden für neutrale Atome entwikelt,

die auf dem Einsatz von Lasern beruhen. Insbesondere Alkali-Atome besitzen Termshema-

ta, die sie für den Einsatz von Laserkühlmethoden als besonders geeignet auszeihnen. Des

Weiterenstehen für sieLaserquellen zur Verfügung, deren Wellenlängen fürAnregungen der

atomaren Übergänge geeignet sind. Durh die Kombination der Laserkühlung mit der für

Spin-polarisierten Wassersto entwikelten evaporativen Kühlung gelang 1995 erstmals die

Erzeugung von Bose-Einstein-Kondensaten in shwah wehselw ir kenden Gasen aus Alkali-

Atomen in denGruppenvon E. Cornell,W. Ketterle und R. G.Hulet [46℄.

ObwohldieseSystememetastabilsind,besitzensieausreihendhoheLebensdauern, uman

ihnen ein breitesSpektrum experimenteller Untersuhungen durhführen zukönnen. Da zu-

demdieinteratomareWehselwirkungmitdentheoretishenMethodenquantitativbehandelt

werden kann,bildendieseEnsemblesidealeWerkzeuge,umdiefundamentalenKonsequenzen

derBose-Einstein-Kondensationtheoretishundexperimentellzuuntersuhen.DieseAspekte

haben die Untersuhung von Bose-Einstein-Kondensaten zu einem Forshungsshwerpunkt

2.2. Theoretishe Grundlagen

In diesem Abshnitt werden die relevanten Grundlagen der Theorie der Kondensation in

shwah wehselw ir ken denGasendargestellt.Diese untersheidet sihvonderKondensation

in superüssige m Helium in vielerlei Hinsiht. So führt das in den Experimenten verwen-

dete Fallenpotenzial dazu, dass die Kondensate inhomogene Dihteverteilungen aufweisen.

Die Kondensation tritt daher niht nur im Impulsraum auf, sondern ist auh im Ortsraum

erkennbar. Während in superüssigem Helium nur ein kleiner Teil des atomaren Ensembles

kondensiertist,könnenshwahwehselwir kendeGasesopräpariertwerden,dasssihnahezu

alle Teilhen im Kondensat benden. Eine theoretishe Beshreibung der Kondensate ist in

diesem Fallin gutem Einklang mit den experimentellen Ergebnissen möglih.

Einleitenderfolgt eineZusammenfassung der wesentlihen Eigenshaften des in einerhar-

monishen Falle gefangenenidealen Bose-Gases.Diesesist durhdasFehlenjegliherWeh-

selwirkungzwishen denTeilhen gekennzeihnet. Anshlieÿendwird derEekteinershwa-

hen Interpartikelwehselwir ku ng diskutiertund die Beshreibung des Kondensats für diesen

Fall gegeben.

2.2.1. Das ideale Bose-Gas in einer harmonishen Falle

EinTeilhen derMasse

m

^{hat im} harmonishenFallenpotenzial

V (

^r

) = 1 2 m

X 3

i=1

ω ² _i x ² _i ,

^(2.3)

die Energie

E =

X 3

i=1

( 1

2 + n i ) ¯ hω i , n i = 0, 1, 2, ... .

^(2.4)

Der Grundzustand eines Teilhens in dieser Falle besitztein gauÿshes Prol

φ 0 (

^r

) =

mω

¯ hπ

³ ₄

exp

"

− m 2¯ h

X 3

i=1

ω i x ² _i

#

.

^(2.5)

Dabeiist

ω :=

Y 3

i=1

ω _i

! ¹ ₃

(2.6)

dasgeometrisheMittelderFallenfrequenzen. EinSystemvon

N

^nihtwehselw ir kendenBo- sonenkondensiertindenGrundzustand, derdurhdasProduktderEinteilhengrundzust ände

gegebenist. Die Dihteverteilung des Kondensates ist

n(

^r

) = N | φ 0 (

^r

) | ² .

^(2.7)

Seine Ausdehnung ist durh die harmonishe Oszillatorlänge bestimmt:

a = ¯ h mω

! ¹ ₂

.

^(2.8)

Beiendlihen Temperaturenbesetzt nureinTeilderBosonendenGrundzustand. Imgroÿka-

nonishen Ensemble ist die Anzahlder Teilhen durh

N = ^X

n 1 ,n 2 ,n 3

1

exp [β (E(n 1 , n 2 , n 3 ) − µ)] − 1

^(2.9)

gegeben [99℄,wobei

β = (k B T ) ⁻¹

^{ist und}

µ

^{das hemishe Potenzial und}

E (n 1 , n 2 , n 3 )

^die

Einteilhenenergie n (2.4) bezeihnen. Die Gesamtenergie ergibt sih zu

E ges = ^X

n 1 ,n 2 ,n 3

E(n 1 , n 2 , n 3 )

exp [β(E(n 1 , n 2 , n 3 ) − µ)] − 1 .

^(2.10)

Aus der Summe (2.9) wird übliherweise der zum Grundzustand gehörige Term

N 0 = N [E (n i = 0, ∀ i)]

herausgezogen [99℄.Dieser Term wirdmakroskopish, d.h.dieKondensa- tion erfolgt in den Grundzustand, wenn das hemishe Potenzial in der Gröÿenordnung der

Grundzustandsenergie liegt [110℄:

µ ≈ 3

2 hω . ¯

^(2.11)

Dabeiist

ω := 1 3

X 3

i=1

ω i .

^(2.12)

Mitder Annahme, dassfür groÿeTeilhenzahlen die Zuständequasi-diht liegen, ergibt sih

mit (2.11) [110℄:

N − N 0 = ^X

(n 1 ,n 2 ,n 3 )6=0

1 exp ^h β¯ h ^{P 3} _i=1 ω i n i

i − 1

=

Z _∞

0

dn ₁ dn ₂ dn ₃ exp ^h β¯ h ^{P 3} _i=1 ω i n i

i − 1

= ζ(3) k B T

¯ hω

! 3

.

^(2.13)

Unter der Annahme, dass bei der Übergangstemperatur

T c N 0 → 0

^{gilt, folgt}

k B T c = ¯ hω N

ζ(3)

! ¹

3

.

^(2.14)

Der Anteil der kondensierten Teilhen beträgtdaher

N 0

N = 1 −

T T c

3

.

^(2.15)

2.2.2. Shwah wehselwirkendes Bose-Gas

ZurUntersuhungdesEekteseinerbinärenWehselwirkungwirdvonfolgendemVielteilhen-

Hamiltonianin zweiter Quantisierung ausgegangen:

H ˆ =

Z

d ³ r Ψ ˆ ^† (

^r

)

"

− h ¯ ² ∇ ²

2m + V M F (

^r

)

#

Ψ( ˆ

^r

) + 1

2

Z

d ³ r d ³ r ^′ Ψ ˆ ^† (

^r

) ˆ Ψ ^† (

^r

^′ ) V int (

^r

−

^r

^′ ) ˆ Ψ(

^r

^′ ) ˆ Ψ(

^r

).

^(2.16)

Dabeiist

V M F (

^r

)

^dasFallenpotenzialund

V int (

^r

−

^r

^′ )

^dasWehselwirkungspotenzialderTeil- hen.DieOperatoren

Ψ ˆ

^und

Ψ ˆ ^†

^{sindbosonishe}FeldoperatorenunderfüllendieKommutator- Relationen:

h Ψ( ˆ

^r

), Ψ ˆ ^† (

^r

^′ ) ⁱ = δ(

^r

−

^r

^′ ), ^h Ψ( ˆ

^r

), Ψ( ˆ

^r

^′ ) ⁱ = ^h Ψ ˆ ^† (

^r

), Ψ ˆ ^† (

^r

^′ ) ⁱ = 0 .

^(2.17)

Für ein ultra-kaltes Gas geringer Dihte kann das Wehselwirkungspotenzial durh ein

kurzreihweit ige s Pseudopotenzial

V pseudo (

^r

) = gδ(

^r

)

^(2.18)

ersetzt werden [99℄. Damit shreibt sihder Vielteilhen-Hamiltonian als:

H ˆ =

Z

d ³ r

"

Ψ ˆ ^† − ¯ h ² ∇ ²

2m + V M F (

^r

)

!

Ψ + ˆ 1

2 g Ψ ˆ ^† Ψ ˆ ^† Ψ ˆ ˆ Ψ

#

.

^(2.19)

Die Kopplungskonstante

g

^{ist über}

g = 4π¯ h ² a

m

^(2.20)

mitders-Wellenstreulänge

a

^{verknüpft[99℄.PositiveWertefürgentspreheneinereektiven}

repulsiven Wehselwirkung zwishen den Teilhen, negative Werte für g beshreibe n eine

eektiv attraktive Wehselwirkung. Der zeitabhängige Heisenberg-Operator

Ψ( ˆ

^r

, t) = e ^{¯ h i H t ˆ} Ψ( ˆ

^r

) e ^{− ¯ h i H t ˆ}

^(2.21)

erfüllt dieBewegungsgleihung

i¯ h ∂ Ψ( ˆ

^r

, t)

∂t = ^h Ψ( ˆ

^r

, t), H ˆ ⁱ .

^(2.22)

Dies führt aufdie Operatorgleihung

i¯ h ∂ Ψ( ˆ

^r

, t)

∂t = − ¯ h ² ∇ ²

2m + V _{M F} (

^r

)

!

Ψ( ˆ

^r

, t) + g Ψ ˆ ^† (

^r

, t) ˆ Ψ(

^r

, t) ˆ Ψ(

^r

, t).

^(2.23)

In der Bogoliubov-Approximation [105,111℄ wird eine Einteilhenmode als makroskopish

besetzt angenommen und der Feldoperator in zwei Anteileaufgespalten:

Ψ( ˆ

^r

, t) = Ψ(

^r

, t) + ˆ φ(

^r

, t).

^(2.24)

Die komplexwertige Funktion

Ψ(

^r

, t)

^heiÿt Wellenfunktion des Kondensates und beshreibt diemakroskopish besetzteMode.Der Operator

φ( ˆ

^r

, t)

repräsentiert dienihtkondensierten Teilhen. Die Dihte des Kondensates ist in dieser Konvention durh

n(

^r

, t) = | Ψ(

^r

, t) | ²

^(2.25)

gegeben,wobei

N =

Z

d ³ r | Ψ(

^r

, t) | ²

^(2.26)

die Zahl der kondensierten Teilhen ist. In niedrigster Ordnung ergibt sih aus (2.23) die

Bewegungsgleihung für die Wellenfunktion des Kondensates:

i¯ h ∂Ψ(

^r

, t)

∂t = − ¯ h ² ∇ ²

2m + V M F (

^r

) + g | Ψ(

^r

, t) | ²

!

Ψ(

^r

, t).

^(2.27)

DieseistunterdemNamenGross-Pitaevskii-Gleihungbekannt[112,113℄.Siekannäquivalent

aus einem Variationsprinzip hergeleitet werden. Dabei ergibt die Wirkung

E[Ψ] =

Z

d ³ r

"

¯ h ²

2m |∇ Ψ | ² + V M F (

^r

) | Ψ | ² + g 2 | Ψ | ⁴

#

(2.28)

mit der Bewegungsgleihung

i¯ h ∂

∂t Ψ = δE

δΨ ^∗

^(2.29)

die Gross-Pitaevskii-Gleihung [110℄.

Wirddie Wellenfunktion des Kondensates als

Ψ(

^r

, t) = | Ψ(

^r

, t) | e ^iS(

^r

^,t)

^(2.30)

geshrieben, so ergibt sih für die Stromdihtej

= _2mi ^{¯ h} [ Ψ ^∗ ∇ Ψ − ( ∇ Ψ ^∗ )Ψ ]

^:

j

(

^r

, t) = n(

^r

, t)

^v

(

^r

, t),

^(2.31)

wobeidas rotationsfreie Geshwindigkeitsfeld v

(

^r

, t)

^mittels

v

(

^r

, t) = ∇ Φ(

^r

, t)

^(2.32)

und

Φ(

^r

, t) = h ¯

m S(

^r

, t)

^(2.33)

mit der Phase des Kondensates zusammenhängt. Dieses Feld kann als das superuide Ge-

shwindigkeitsfeld des Kondensates identiziert werden [34,101,107℄. Das Einsetzen der

Gleihung (2.30) in die Gross-Pitaevskii-Gleihung (2.27) ergibt für Imaginär- und Realteil

jeweilseine Gleihung. Aus dem Imaginärteil folgt eine Kontinuitätsgleihung:

∂n

∂t + ∇ · (n

^v

) = 0.

^(2.34)

Die Gleihung für denRealteil ist ein Analogon zur Bernoulli-Gleihung:

1

2 mv ² + V M F − 1

√ n

¯ h ² ∇ ²

2m

√ n + gn + m ∂Φ

∂t = 0.

^(2.35)

Der Untershied zur klassishen Hydrodynamik beruht auf der Gegenwart des Terms

(2m √

n) ^{− 1} ¯ h ² ∇ ² √

n

^{. Wenn dieser} vernahlässigbar wird, verhält sih das Quantengas wie

2.2.3. Grundzustand des Kondensates und

Thomas-Fermi-Regime

Wirddas System im groÿkanonishenEnsemble betrahtet, lautet derHamiltonian [89℄

K ˆ = ˆ H − µ N , ˆ

^(2.36)

wobei

N ˆ =

Z

d ³ r Ψ ˆ ^† (

^r

) ˆ Ψ(

^r

)

^(2.37)

der Teilhenzahloperator ist. Inniedrigster Ordnunggilt:

K =

Z

d ³ r

"

Ψ ^∗ − ¯ h ²

2m ∇ ² + V M F (

^r

) − µ

!

Ψ + 1

2 g Ψ ^∗ Ψ ^∗ Ψ Ψ

#

.

^(2.38)

Das System bendet sih im stationären Grundzustand, wenn das Ensemble-Mittel

< K > ˆ

des Hamiltonians minimal wird. Bei niedrigen Temperaturen sind nahezu alle Teilhen kon-

densiert und es kann in guter Näherung

< K > ˆ ≈ K

^{gesetzt werden. DasFunktional (2.38)}

ist stationär unter Variationen

Ψ ^∗ → Ψ ^∗ + δΨ ^∗

^{, wenn die} Wellenfunktion des Kondensates die Euler-Lagrange-Gleihung

"

− ¯ h ²

2m ∇ ² + V _{M F} (

^r

) − µ + g | Ψ(

^r

) | ²

#

Ψ(

^r

) = 0

^(2.39)

erfüllt. Diese Gleihung wird als stationäre Gross-Pitaevskii-Gleihung bezeihnet und be-

stimmt den Grundzustand des Kondensates. Aus (2.27) ist erkennbar, dass für die Zeitab-

hängigkeit stationärer Lösungen

Ψ (

^r

, t) = Ψ (

^r

) e ^{−i µ ¯ h t}

^(2.40)

gilt.

Im Falle repulsiver Wehselwirkung (

a > 0

^{) ist das Regime}

^{N a} _a >> 1

^besonders interessant, da es zum einen experimentell häug realisiert ist und zum anderen eine einfahe analyti-

she Beshreibung der Kondensatwellenfunktion erlaubt[34,89℄.Die hohe Kondensatdihte

in diesem Regimeführt dazu, dassder Wehselwirkungsterm

g | Ψ | ²

^{stark ansteigt. Die Wel-}

lenfunktion des Kondensates ist dadurh abgeaht und der kinetishe Term hat nur noh

in derNähe derKondensatgrenzen einensignikanten Beitrag.Wirdsiein (2.39)vollständig

vernahlässigt, so ist die Dihte des Kondensates durh den einfahen Ausdruk

n(

^r

) =

( ₁

g (µ T F − V M F (

^r

)) f ¨ ur µ T F ≥ V M F (

^r

)

0 sonst

2.3. Experimentelle Erzeugung

ZurRealisierungderBose-Einstein-Kondensationistgemäÿ(2.1)einehohePhasenraumdih-

te notwendig. In diesem Abshnitt werden die experimentelle Apparatur sowie die vershie-

denen Kühl- und Fangverfahren vorgestellt, die zur Erzeugung der Kondensate eingesetzt

werden. Eine shematishe Darstellung der Apparatur ist in Abbildung 2.1 gezeigt. Sie ist

ausführlih in den Doktorarbeiten [95℄und [96℄ beshrieben .

Abbildung2.1.: Shematishe Darstellung der experimentellen Apparatur. Die Kondensate

werden in der Magnetfalle erzeugt und mit der CCD-Kamera detektiert .

Das im Experiment verwendete Element ist

87

Rb und wird in atomarer Form zur Kon-

densation gebraht. Das grundlegendeKonzept der Apparatur besteht in demBeladen einer

magneto-optishen Falle (MOT) [114℄ aus einem lasergekühlten Atomstrahl und dem an-

shlieÿenden Transfer dergefangenenAtomein einekonservativeMagnetfalle.Indieser Falle

werden die Atomedurh induzierte Verdampfungskühlung zur Kondensation gebraht.

Bereitstellung eines kalten Atomstrahls

Als Teilhenquelle dienteinAtomofen,dertypisherweise aufeineTemperatur vonetwa

420

Kelvin geheizt wird. Dadurh bildet sih ein Rubidium-Gasdruk von

≈ 3 · 10 ⁻³ mbar

^{. Die}

Atome treten an einer kleinen Önung im Ofen strahlförmig in den Hauptteil der Appa-

bei welher der Atomstrahl durh einen gegenläugen, rotverstimmten Laserstrahl abge-

bremst wird. Umzu verhindern, dass der Laser während des Abbremsvorgangs aufgrunddes

Doppler-Eektes gegenüber der Resonanz vershoben wird, werden der Laserfrequenz mit-

telseineselektro-optishen Modulators(EOM)Seitenbänderaufgeprägt. DieFrequenzdieser

Seitenbänder wird übereine lineare Rampe zur Kompensation des Doppler-Eektes variiert.

Da dieser Vorgang während der Ladephase der MOT mit hoher Frequenz wiederholt wird,

kommteszueinemquasi-kontinuierlihenFlussausgekühltenAtomen.Dieserwirdmiteinem

Umlenklaser in den Fangbereih der MOT gerihtet. Durh die Umlenkgeometrie wird ver-

hindert, dass ständig Atome aus dem thermishen Atomstrahl in die Region der MOT oder

Magnetfalle vordringen und dort ungewollte Teilhenverluste in den gekühlten Ensembles

verursahen.

Laserkühlung in der MOT und der optishen Melasse

Die Atome des umgelenkten Atomstrahls werden in der MOT [114℄ gefangen und gekühlt.

Letztere wird durh drei zirkular polarisierte, orthogonale Strahlenpaarein Kombinationmit

eineminhomogenenMagnetfeldgebildet.DaskühlendeLaserlihtistgegenüberderatomaren

Resonanz rotverstimmt. Durh das inhomogene Magnetfeld ergibt sih eine ortsabhängige

Zeeman-Vershiebung. Daher weist auh die auf die Atome wirkende Spontankraft [114℄

eine Ortsabhängigkeit auf. In der MOT werden bei einer Ladedauer von

20 − 25 ms

^bis

zu

10 ⁹

^{Atomebeieiner}Phasenraumdihte von

10 ⁻⁷

^bis

10 ⁻⁶

^gefangen.Anshlieÿend erfolgt durheineErhöhungdesMagnetfeldgradienteneineKompressionderMOT.Diesebegünstigt

sowohl die folgende Phase der Polarisationsgradientenkühlung in einer optishen Melasse

[114℄ als auh die modenangepasste Umladeprozedur in die konservative Magnetfalle [95℄.

Nah der Melassenphase liegt ein Ensemble mit Phasenraumdihte

10 ^{− 5}

^bis

10 ^{− 4}

^{bei einer}

Temperatur von etwa

40 µK

^vor.

Speiherung und evaporative Kühlung in der Magnetfalle

Die Speiherung derAtomein derMagnetfalle basiert aufderWehselwirkung des magneti-

shen Moments derAtome mit einem äuÿeren Magnetfeld.Für kleine Magnetfeldstärken ist

die Kraft aufdie Atome durh das konservative Potenzial

V M F (

^r

) = g F m F µ B | B(

^r

) |

^(2.41)

bestimmt. Dabei bezeihnet

B (

^r

)

^die Feldstärke,

F

^den Hyperfeinzustand,

m F

^{die ma-}

gnetishe Quantenzahl und

g F

^den Landé-Faktor. Letzterer beträgt für die beiden

87

Rb-

Hyperfeingrundzustände

g F =1 = − g F =2 = − 1/2

^{. Daeine Erzeugung statisher} Magnetfeld- maximaimfreienRaumunmöglihist[116℄,könnennurZuständemit

g F m F > 0

^magnetish

gefangen werden. Um einen möglihst ezienten Transfer des lasergekühlten Ensembles in

die Magnetfalle zu gewährleisten, werden die Atome nah der Melassenphase zunähst op-

tish in den

| F = 2, m F = 2 >

^{-Zustand gepumpt [95,114℄. Dies wird durh das Anlegen}

eines magnetishen Führungsfeldes in Rihtung des Osetfeldes der Magnetfalle sowie der

Bestrahlung derAtome mit zirkularpolarisiertem Laserliht erreiht.

Nahdemoptishen Pumpenwerden dieAtomezunähst ineinnahezusphärish-symme-

trishes Magnetfallenpotenzial mit harmonish genäherter Fallenfrequenz

ω r ≈ 2π × 14 Hz

Abbildung2.2.: Shematishe Darstellung des evaporativen Kühlens in einer harmonishen

Falle.

transferiert. DasUmladen in diese Magnetfallenkongurationerlaubt eine hoheTransfere-

zienz.Anshlieÿend erfolgteineradiale Kompression derMagnetfalle durheinadiabatishes

Absenken des Osetfeldes, da sih die Atome mit dem shwahen Einshluss des kugelsym-

metrishenPotenzialsnihtgegendieShwerkrafthaltenlassen.Zudemverläuftdiefolgende

evaporative Kühlung bei einem hohen radialen Einshluss deutlih ezienter [95℄.Nah der

radialen Kompression liegt ein zylindersymmetrishes Magnetfeld mit einer radialen Fallen-

frequenz von

ω ρ = 2π × 360...390 Hz

^{vor. Die axiale} Magnetfallenfrequenz wird durh die radiale Kompression niht modiziert und bleibt bei

ω z ≈ 2π × 14 Hz

^.

In dieser Fallengeometrie wird durh Einstrahlen einer Radiowelle mit der Frequenz

ω RF

eine erzwungene evaporative Kühlung eingeleitet, bei der Übergänge der Atome in andere

m F

^{-Zustände induziert werden. Dieses tritt an den Positionen in der} Magnetfalle auf, an denen das Magnetfeld

| g F µ B B (

^r

) | = ¯ hω RF

^(2.42)

vorliegt. Die Atome werden dabei in Zustände überführt, die magnetish niht gefangen

sind, und verlassen somit die Fallenregion. Das Prinzip der evaporativen Kühlung ist in der

Abbildung 2.2 verdeutliht. Die Radiofrequenz wird dabei so eingestellt, dass immer die

Atome des Auÿenbereihs des gefangenen Ensembles entfernt werden. Hierbei handelt es

sihumdie energiereihsten Atome,da nur hohenergetishe Teilhen indenBereih groÿer

potentieller Energiegelangenkönnen.Durh elastisheStöÿerethermalisiere n dieinderFalle

verbleibenden Atome, so dasseektiv eineVerringerung derTemperatur eintritt.Durh eine

kontinuierlihe Absenkung der Radiofrequenz kann die Evaporation immer im Auÿenbereih

des Ensembles gehalten und somit die Temperatur immer weiter abgesenkt werden. Die

Temperaturreduktion überkompensiert dabeidie Teilhenzahlverluste, so dass insgesamt ein

Gewinn an Phasenraumdihte entsteht. Dieser Prozess führt shlieÿlih zum Erreihen der

optis hen Gitterpotenzialen

Indiesem Kapitelwird dasim Rahmen dieser Arbeitrealisierte ultra-kaltebosonishe Gitter-

gas unter theoretishen und experimentellen Aspekten diskutiert. Nah einem einführenden

Überblik zum Standderexperimentellen Forshung mitquantenentartetenGittergasen wird

auf deren theoretishe Beshreibung eingegangen. Als Grundlage erfolgt dafür zunähst die

Diskussion der Eigenshaften des optishen Gitterpotenzials. Anshlieÿend wird als generi-

shes Problem ein einzelnes Teilhen in einem periodishen Potenzial betrahtet. Um eine

korrekte Beshreibungdes imExperimentvorliegendenVielteilhensystemszugeben,werden

shlieÿlih die Eekte derinteratomaren Wehselwirkung berüksihtigt.

NahdiesentheoretishenBetrahtungenwirddieImplementierungeineseindimensionalen

optishen Gitters in das bestehende Experiment zur Bose-Einstein-Kondensation dargestellt.

Dieses umfasst die Beshreibung des Aufbaus der Strahlengänge, die Untersuhung eines

geeigneten Justageshemas und eine umfassende Charakterisierung der Eigenshaften des

realisierten Gitterpotenzials.

3.1. Einführung

Ultra-kalteQuantengase habensih zu einem Forshungssh werpunkt dermodernen Physik

entwikelt. Von entsheide nder Bedeutung ist hierbei,dass diese Systemegezielt kontrolliert

und manipuliert werden können. Dabei haben Methoden, die auf dem Einsatz elektroma-

gnetisher Strahlung basieren, groÿeBedeutung erlangt. Angefangen von derunmittelbaren

ErzeugungquantenentarteterGaseinoptishenDipolpotenzialen[117122℄,überdenEinsatz

kohärenter Zwei-Photonen-Prozesse zur Spektroskopie [1317℄ oder Interferometrie [1821℄

bis hin zur optishen Erzeugung von eindimensionalen Wellenleiterstrukturen [2224℄ steht

heute ein breites Spektrum experimenteller Tehniken zur Verfügung. Eine herausragende

Stellung unter diesen Methoden nimmt jedoh der Einsatz optish erzeugter periodisher

Potenzialezur Manipulationquantenentarter Gaseein.Sokönnenmit Hilfediesersogenann-

tenoptishen Gitter grundlegendeEigenshaften vonVielteilhensys tem en wiebeispielswe ise

ihre Dimensionalität, eektive Wehselwirkung oder Transportverhalten extern beeinusst

werden. Diese reihhaltigen Manipulationsmöglihkeiten erönen den experimentellen Zu-

gang zu Modellsystemen von groÿemtheoretishen Interesse. Hierbei handelt es sih natur-

gemäÿ oftmalsum Modelle, diestarke Anleihen an dieFestkörpe rphysik nehmen oderdieser

entstammen.

Den Groÿteil der experimentellen Untersuhungen an quantenentarteten Gittergasen bilden

Experimente mitatomarenbosonishenGasen.Typisherweise wirddabeizunähsteinBose-

Einstein-Kondensat erzeugt und anshlieÿend in das periodishe Potenzial transferiert. Auf

diese Weise wurde 1998 erstmals ein quantenentartetes Gittergas erzeugt und damit ko-

härente Tunnelprozesse von Atomen aus untershiedli hen Gitterplätzen in das Kontinuum

untersuht[123℄. Inbeshleunigten optishen Gitternkonnten Bloh-Oszillationen[124℄und

Landau-Zener-Tunneln [29,30,124℄ beobahtet werden. Es wurde sowohl die freie Expan-

sion eines Bose-Einstein-Kondensates aus dem Grundzustand eines optishen Gitters unter-

suht [125℄ als auh die Expansion eines Kondensates innerhalb des periodishen Potenzi-

als [126,127℄. Eintiefes eindimensionales optishes Gitter wurdeals Vielfahrealisierung von

Josephson-Kontakten interpretiert und dessen Dynamik untersuht [128℄. Des Weiteren hat

dieGegenwartdes Gitterpotenzialssignikante Auswirkungen aufdasSpektrum derkollekti-

venAnregungen[128130℄oderkannzum AuftretenvonInstabilitäten desKondensatesfüh-

ren [131133℄. Methoden zur kohärenten Manipulationeines Bose-Einstein-Kondensates in-

nerhalbderBandstrukturundTehnikenzurBandspektroskopiewurden[134℄entwikelt.Die

NutzungderBandstruktureinesoptishenGitterszurManipulationderDispersionwurdeun-

tersuht[135,136℄ underfolgreih zur HerstellungvonhellenSolitoneneingesetzt[137,138℄.

Die hohen Fallenfrequenzen, diedurh optishe Gitter bereitgestellt werden können, wurden

genutzt, um ein zweidimensionales Bose-Gas in einem eindimensionalen Gitter zu erzeugen

und dessen thermodynamishe Eigenshaften zu erforshen [139℄. Ebenso wurden in zweidi-

mensionalenoptishen GitterneindimensionaleBose-Gaseerzeugt undderen Kohärenzeigen-

shaften [140℄ sowiedas Anregungsspektrum [141℄untersuht.

DiebisheraufgeführtenUntersuhungenwurdenimRegimeshwaherWehselwirkungdurh-

geführt. In diesem lässt sih das Kondensat bei hinreihend geringen Temperaturen mittels

der Gross-Pitaevskii-Gleihung beshreiben. Optishe Gitter stellen aber auh ideale Werk-

zeugedar,um inParameterbereihe vorzudringen,indenen die physikalishenEigenshaften

des Systems durh die Wehselwirkung dominiert werden und interatomare Korrelationen

groÿeBedeutung erlangen.Dieseliegenkonsequenterweise auÿerhalbdes Gültigkeitsbereihs

der Mean-Field-Beshreibung. Die ersten experimentellen Shritte in diese Rihtung haben

das Auftreten von Teilhenzahl-Squeezing in tiefen eindimensionalen optishen Gittern de-

monstriert [142℄. Einen Meilenstein stellt die Realisierung des Mott-Isolator-Zustandes in

dreidimensionalen optishen Gittern dar [35℄. Die Phasenkohärenzeigenshaften des Mott-

Isolatorzustandes wurden untersuht [143℄ und das Eintreten des Teilhenzahl-Squeezings

während des Phasenübergangs wurde gemessen [144℄. Der Mott-Isolatorzustandstellt einen

vielversprehende nAusgangszustandfürdieQuanteninformationsverarbeitungdar.ErsteMe-

thodenzurQubit-Bearbeitungkonntenerfolgreihdemonstriertwerden[3840℄.Indentiefen

dreidimensionalen Gittern, die zum Erreihen des Mott-Isolatorzustandes erforderlih sind,

konnten darüber hinaus der Kollaps und das Revival der Kondensatwellenfunktion gemessen

werden [145℄.

Einen weiteren Forshungsshwerpu nkt bildet die Untersuhung stark korrelierter eindi-

mensionaler Bose-Gase. So wurden deren Anregungsspektrum [146℄ und die Korrelationsei-

genshaften [147℄ gemessen. Einen herausragenden Erfolg stellt die Realisierung des Tonks-

Girardeau-Gases in einem dreidimensionalen optishen Gitter dar[41℄.

Dieses äuÿerst dynamishe Forshungsgebiet hat mit der Erzeugung von quantenentarte-

erfahren. So wurde das Transportverhalten von Fermi-Gasen in eindimensionalen optishen

Gittern untersuht [148,149℄. Auh in dreidimensionale Gitterstrukturen konnten atomare

Fermi-Gase shon transferiert werden und so Abbildungen der Fermi-Flähen und der Über-

gangzueinemBandisolatorbeobahtetwerden[150℄.FernerkonntenmitdiesemSystemver-

shiedeneBloh-Bändermittels Feshbah-Resonanzengekoppelt[151℄undeineMethodezur

Temperaturbestimmungdes fermionishen Gittergases implementiertwerden [152℄. Injüngs-

ter Zeit ist darüber hinaus auh dieerstmalige Erzeugung eines molekularenGittergases aus

fermionishenAtomenineinem dreidimensionalenGitter mitHilfevonFeshbah-Resonanzen

gelungen [153℄.

WiebeshriebenwurdederweitausgröÿteTeilderUntersuhungquantenentarteterGitter-

gase mit ultra-kaltenatomarenBose-Gasen durhgeführt. Die hierbei erzielten herausragen-

den Erfolge lassen für die anstehenden Untersuhunge n mit fermionishen und molekularen

Gasen ebenfallsaufregende Ergebnisse erwarten.

3.2. Theoretishe Grundlagen

QuantenentarteteBose-Gase in optishen Gitterpotenzialen bieten dieMöglihkeit zur expe-

rimentellenRealisierung vongrundlegenden theoretishenModellsystemen mit äuÿerstinter-

essanten physikalishen Eigenshaften [37,154℄. Diese Eigenshaften stehen in engem Zu-

sammenhang mit der periodishen Struktur des Gitterpotenzials. Bereits die Betrahtung

eines einzelnen Teilhens in einem solhen periodishen Potenzial erönet das Verständnis

für vielePhänomene,dieauh fürdas Vielteilhensys tem relevantsind,wie z.B.das Auftre-

ten von Bandstrukturen [49℄. Da sih das Einteilhenproblem darüber hinaus hervorragend

zur Einführung vieler grundlegender Begrie eignet, soll auf seine Diskussion niht verzih-

tet werden. Andererseit s ist die Berüksihtigung derinteratomarenWehselwirkung für das

vollständigeVerständniseines Gittergasesunerlässlih[26℄.Sieführtniht nurzueinerquan-

titativen Modikationder Einteilhenresult ate, sondern ist darüber hinaus auh Ursahe für

eine groÿe Zahl von Eekten, die im Einteilhenproblem niht auftreten. So verlangt ein

Verständnis der Mott-Isolator-Phase oder von Instabilitäten des Kondensates die adäquate

Berüksihtigung von Vielteilheneekten. Die Diskussion beshränkt sih hierbei auf den

für diese Arbeit relevanten Fall shwaher Wehselwirkung. Vorangestellt ist zunähst ein

Abshnitt zur Beshreibung des optishen Gitterpotenzials.

3.2.1. Das optishe Dipolpotenzial

Die experimentelle Erzeugung des Gitterpotenzials basiert auf der Wehselwirkung der Ato-

memitderelektromagnetishenStrahlungeines Lasers.DieseLiht-Materie-Wehselwirkung

ist Gegenstand einshlägiger Abhandlungen [155℄. Grundsätzlih sind hierbei zwei Situatio-

nen zuuntersheiden. Istdie Laserfrequenz gegenüber einem atomarenÜbergang niht weit

verstimmt, absorbieren die Atome Photonen aus dem Strahlungsfeld und emitieren diese

anshlieÿend wieder spontan. Diese Wehselwirkung hat aufgrund des auftetenden Impuls-

übertrages einen dissipativen Charakter und bildet die Grundlage für die Verfahren der La-

Der andere Fall liegt vor, wenn die Atome mit Laserstrahlung wehselw ir ken, die weit

gegenüberdenatomarenÜbergängenverstimmtist.DaindieserSituationdieRatespontaner

Photonen-Streuprozess ezuvernahlässigenist,könnenaufdieseWeisekonservativeoptishe

Potenzialebereitgestelltwerden.DiesesogenanntenoptishenDipolpotenzialeenstehendabei

durhdie Wehselwirkung des induziertenatomaren Dipolmoments mit demStrahlungsfeld.

ImFolgenden werden zunähst die grundsätzlihen Eigenshaften des Dipolpotenzials be-

trahtet. Dieses geshieht zunähst anhand eines atomaren Zwei-Niveau-Systems. Anshlie-

ÿend erfolgt die Betrahtung des Dipolpotenzials für Mehr-Niveau-Atome. Die Ortsabhän-

gigkeit des Potenzials ist dabei durh die Intensitätsverteilung des eingesetzten Laserstrahls

bestimmt. Zunähst wird das Dipolpotenzial eines einzelnen gauÿshen Laserstrahls disku-

tiert. Nahfolgend wirddie Bildung des eindimensionalen optishen Gitters durh die Retro-

reektion eines gauÿshen Laserstrahls vorgestellt.

Dipolpotenzial des Zwei-Niveau-Atoms

EinAtombendesihimelektrishenFeldE

(

^r

, t) =

^E

(

^r

)e ^{− iωt} + c.c.

^eines Laserstrahls. Das oszillierende Feld induziert ein atomares Dipolmomentmit dem Betrag

|

^p

(

^r

, t) | = α (ω) |

^E

(

^r

, t) | .

^(3.1)

Dabei bezeihnet p das elektris he Dipolmoment und

α

^die frequenzabhängige komplexe Polarisierbarkeit des Atoms. DasWehselwirkungspotenzialzwishendem induziertenDipol-

moment unddem treibenden Feldist durh

V dip (

^r

) = − 1

2 h

^p

(

^r

, t) ·

^E

(

^r

, t) i ^t

^(3.2)

gegeben [156℄. Die ekigen Klammern bezeihnen dabei den zeitlihen Mittelwert und der

Faktor

1/2

berüksihtigt den induzierten Charakter des Dipolmoments. Bei der Mittel- wertbildung vershwinden die mit der Frequenz

2ω

oszillierenden Terme. Unter der Berük- sihtigung des Zusammenhangs zwishen der Feldstärke und der Intensität des Lihtfeldes

I = 2ǫ 0 c | E ² |

^{folgt aus (3.2) das} konservative Dipolpotenzial

V dip (

^r

) = − ℜ (α)

2ǫ 0 c I (

^r

) .

^(3.3)

Dieses ist somit durh den Realteil der komplexen Polarisierbarkeit bestimmt. Die von dem

Atom aus demStrahlungsfeld absorbierte Leistung ist durh

P abs = h

^p

˙ ·

^E

i ^t = ω

ǫ 0 c ℑ (α) I (

^r

)

^(3.4)

gegeben.Division durhdie Photonenenergie liefert die Rate

Γ str

^{der gestreuten Photonen:}

Γ _str (

^r

) = ℑ (α)

¯

hǫ 0 c I (

^r

) .

^(3.5)

Sie ist durh den Imaginärteil der atomaren Polarisierbarkeit bestimmt. Um die allgemeinen

Zusammenhänge (3.3) und (3.5) zu konkretisieren , muss die atomare Polarisierbarkeit

α

^im