Werkstoffe Formelsammlung

4 ^ei

* kann Spuren von Katzen enthalten nicht für Humorallergiker geeignet alle Angaben ohne Gewehr ^*

Werkstoffe

1. Mathematische Grundlagen

1.1. Sinus, Cosinus

sin²(x)+cos²(x) = 1

x 0 π/6 π/4 π/3 ¹₂π π 1¹₂π 2π ϕ 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦ sin 0 ¹₂ √¹

2

√ 3

2 1 0 −1 0

cos 1

√ 3 2 √1

2 1

2 0 −1 0 1

tan 0

√ 3

3 1 √

3 ±∞ 0 ∓∞ 0

Additionstheoreme Stammfunktionen cos(x−^π

2) = sinx ´

xcos(x) dx= cos(x) +xsin(x) sin(x+^π₂) = cosx ´

xsin(x) dx= sin(x)−xcos(x) sin 2x= 2 sinxcosx ´

sin²(x) dx=¹₂ x−sin(x) cos(x) cos 2x= 2 cos²x−1 ´

cos²(x) dx=¹₂ x+ sin(x) cos(x) sin(x) = tan(x) cos(x) ´

cos(x) sin(x) =−¹₂cos²(x) sin(x±y) = sinx cosy±sinycosx

cos(x±y) = cosxcosy∓sinxsiny

1.2. Integrale

´

e^xdx=e^x= (e^x)⁰

F(x) f(x) f⁰(x)

1

q+1x^q+1 x^q qx^q−1

2

√ ax3 3

√ax ₂^√a_ax

xln(ax)−x ln(ax) ^a_x

1

a2e^ax(ax−1) x·e^ax e^ax(ax+ 1) ax

ln(a) a^x a^xln(a)

−cos(x) sin(x) cos(x)

´e^atsin(bt) dt=e^{at asin(bt)+b}_{a2 +b2}^cos(bt)

´ √dt at+b=²

√at+b a

´t²e^atdt=^{(ax−1)2 +1} a3 e^at

´te^atdt= ^at−1

a2 e^at ´

xe^ax2dx=_2a¹e^ax2

1.3. Exponentialfunktion und Logarithmus

a^x=e^xlna log_ax=^lnx_lna lnx≤x−1 ln(x^a) =aln(x) ln(^x_a) = lnx−lna log(1) = 0

2. Einheiten

SI-Pr¨afixe

Symbol Vorsatz Faktor Symbol Vorsatz Faktor

Y Yotta 10²⁴ d Dezi 10⁻¹

Z Zetta 10²¹ c Zenti 10⁻²

E Exa 10¹⁸ m Milli 10⁻³

P Peta 10¹⁵ µ Mikro 10⁻⁶

T Tera 10¹² n Nano 10⁻⁹

G Giga 10⁹ p Piko 10⁻¹²

M Mega 10⁶ f Femto 10⁻¹⁵

k Kilo 10³ a Atto 10⁻¹⁸

h Hekto 10² z Zepto 10⁻²¹

da Deka 10¹ y Yokto 10⁻²⁴

3. Konstanten und Basisgleichungen

Naturkonstanten

Lichtgeschwindigkeit c₀= 299 792 458^m_s Elementarladung e = 1.602 177×10⁻¹⁹C

Planck-Konst. h= 6.626 069 57×10⁻³⁴J s

~= _2π^h = 1.054 57×10⁻³⁴J s Elektr. Feldkonst. ε₀= 8.854 188×10^{−12 F}_m Magn. Feldkonst. µ₀= 4π×10^{−7 H}_m Avogadro-Konst. N_A= 6.022 141×10²³_mol¹

Atomare Masse u = 1.660 539×10⁻²⁷kg Elektronenmasse m_e= 9.109 383×10⁻³¹kg

Protonenmasse m_p= 1.674 927×10⁻²⁷kg Neutronenmasse mn= 1.672 622×10⁻²⁷kg Boltzmann-Konst. k_b= 1.380 655×10^{−23 J}_K

allg. Gaskonstante R=k_bN_A= 8,3144_{mol K}^J

4. Aufbau der Materie

Planck’sches Postulat In der Quantenmechanik kann der harmonische Oszillator mit der Schwingungsfrequenz f nur diskrete Energiewerte an- nehmen:

En=hf n+¹₂

=~ω n+¹₂

Heisenberg’sche Unsch¨arferelation Ort und Impuls (bzw. Energie und Zeit) k¨onnen nicht gleichzeitig scharf definiert werden.

∆x·∆p≥^~

2 und∆t·∆E≥^~ 2

Welle-Teilchen-Dualismus Materie kann sowohl Eigenschaften von Teil- chen als auch von Wellen haben.

4.1. Quanten

Hierbei wird die Materie als Menge von Teilchen betrachtet.

Sie haben eine Energie E und einen Impuls p sowie eine Masse m.

Das Photon F¨ur das Photon gilt:

E_ph=f·h=~·ω=^hc_λ =m_phc² m_ph= ^~ω

c2 p_ph=m_ph·c=^h_λ

4.2. Materiewellen

4.2.1 Allgemeine WellenfunktionΨ(r, t) =C·e^{i(ωt−k·r)} Im eindimensionalen Fall:Ψ(x, t) =C·e^i(ωt−kx)

Gr¨oße Beziehung

Energie E=¹₂mv²=~ω

De-Broglie-Wellenl¨ange λ=^h_p

Impuls p=mv=~k

Kreisfrequenz ω= 2πf=_2m^~k²

Phasengeschwindigkeit v_ph=^ω_k=_2m^~k =^vTeilchen₂

Wellenzahl k= ^2π_λ

4.2.2 Das Wellenpaket

Der bewegten Korpuskel wird eine im Raum begrenzte Wellenfunktion zugeordnet, die sich aus der ¨Uberlagerung einzelner Wellen zu einem Wel- lenpaket ergibt. Ein Teilchenstrom entspricht der Folge einzelner Wellen- pakete.

Ψ(r, t) = k0 +∆´ k k0−∆k

C(k)·e^i(ωt−kr)dk Gruppengeschwindigkeit des Wellenpakets:

v_gr=^dω

dk =^~k_m =_m^p =v_Teilchen Phasengeschwindigkeitv_ph=^ω_k

4.3. Die Schr¨ odingergleichung

Beschreibt die Dynamik der quantenmech. Zust¨ande eines Systems.

Allgemeine Schr¨odingergleichung:

E=E_kin+Vpot= _2m^p2 +V mitp= i~∇Ψ

−i~

∂

∂tΨ(r, t) =−~²

2m∆ Ψ(r, t) +V(r, t)·Ψ(r, t) Zeitunabh¨angige Schr¨odingergleichung:

−~²

2m∆Ψ(r) = (E−V)Ψ(r)

Herleitung Durch den SeparationsansatzΨ(r, t) = Ψ(r)Φ(t)l¨asst sich die Zeitabh¨angigkeit abtrennen.

Aufenthaltswahrscheinlichkeit dw(r) = Ψ^∗(r, t)·Ψ(r, t)·dτ

Normierungsbedingung: ´ Volumen

Ψ^∗Ψ dr⁰= 1 ⇒C_i=q ₂ Li Herleitung der Schr¨odingergleichung

•Aus De-Broglie-Beziehungen:ω=_2m^~ k²−→~ω= _2m^~2k²

•Multipliziere beide Seiten mit Ψ und ersetzeω → ^∂

∂t sowie k²→div grad es folgt:−i~_∂t^∂Ψ(r, t) =−_2m^~2∆Ψ(r, t)

•In einem KraftfeldF(r, t)mitF(r, t) =−gradV(r, t)gilt:

E=_2m^p2 +V(r, t) mitp= i~∇Ψ

•Die allg. Schr¨odingergleichung folgt aus Multiplikation mitΨund den OperatorenE→ −i~_∂t^∂ und_2m^p2 → −_2m^~2 ∆

4.4. Potentialtopf

Schr¨odingergleichung (im eindimensionalen Potentialtopf)

•Seperation: Ist das Potential zeitunabh¨angig? Wenn ja⇒v(r, t)→ v(r)

•Bereichseinteilung:

x < a

a < x < b(im Topf) b < x

•Aufstellen der zeitunabh¨angigen Schr¨odingergleichung

•Ansatz:Φ(x) =Ae^jkx+Be^−jkxoderAsin(kx) +Bcos(kx)

•Bestimme KoeffizientenA, Bundk¨uber die Randbedingungen

•Amplitude aus der Normierungsbedingung bestimmen

•Einsetzen und UmformenE= ^k2π2

2ma2n²mitk=^π_an δ-Dim., unendl., zeitinvar. Potentialtopf:i=

x, y, ..., δ L¨osung der DGL:Ψ(r) =

r 2δ QLi

δ Q i=1

sin(k_i·r_i) Energie:En=_2m^~2 ·P

k²_i f¨urδ= 1(eindimensionaler PT)

E_n= ~²

2mk²_n= h²n²

8mL² =E₁n² k_n= nπ L

4.5. Molek¨ ule - Bindungstypen

Bindung Eigenschaften Energie

Ionisch Elektronaustausch, stark, starr 3.4 eV Kovalent Gemeinsame Elektronen

Metallisch

”Elektronensee“

Dipol Coulombkr¨afte von Partialladungen 4.5.1 Ionische Bindung

Voraussetzung: unterschiedliche Atome,leicht zu ionisieren Ionisierung

• Anion und Kation ziehen sich an bis auf einen Abstand der Ionenmit- telpunkte

r₀= (r_Cl−+r_Na+)(bis sich die Elektronenschalen gerade noch ber¨uhren)

• Dabei wird die Energie frei:E_el= r´0

∞

−e2

4π0r2dr=_4π^e2 0r0

• Bindungsenergie betr¨agt_Ionenpaar^{3.4 eV} oder328_Mol^kJ

• Coulombanziehung nicht gerichtet→positive und negative Ionen lagern so dicht aneinander wie m¨oglich→Ionenkristall (nicht ver- formbar)

• Elektronen sind an den Ionen lokalisiert→keine freien Elektronen vorhanden→Isolator

• Differenz der Elektronegativit¨at meist∆E >1.7 4.5.2 Kovalente Bindung

Spinabs¨attigung der ¨außeren Elektronenschale durch gemeinsame Elektro- nen

• Valenz-Elektronen zwischen den Atomen lokalisiert

• keine Kugelsymmetrische Ladungsverteilung mehr im Atom

• Die Anzahl der Elektronen mit umgepaartem Spin zeigt an wie viel- fache kovalente Bindungen eingegangen werden k¨onnen

• treten bei und zwischen Elementen der IV. bis VII. Hauptgruppe auf

• gerichtete Bindungen→m¨ogliche Kristallstrukturen werden einge- schr¨ankt

• Differenz der Elektronegativit¨at meist∆E <1.7

• kovalente gebundene Kristalle sind ¨ublicherweise schlechte Leiter 4.5.3 Metallische Bindung

Sonderfall der kovalenten Bindung, bei der die Valenz-Elektronen nicht lokalisiert sind.

• Vorwiegend Elemente mit nur wenigen Außenelektronen

• freie Elektronen → hohe elektrische Leitf¨ahigkeit, hohe W¨armeleitf¨ahigkeit

• Bindung nicht gerichtet→hohe Packungsdichte

• Bindungen mit gleich- und ungleichartigen Metallen eingegangen wer- den

• Metallische Bindung ist schw¨acher als die ionische oder kovalente Bindung

• Bindungsst¨arke h¨angt von der Zahl der Leitungselektronen ab 4.5.4 Dipolbindung

• zwischen Molek¨ulen mit permanentem Dipolmoment→Molek¨ule mit positiver und negativer Ladung

• Dipole ordnen sich im Dipolfeld der Nachbaratome so an, dass m¨oglichst geringe Abstand und durch die Coulombkr¨afte gebunden werden

4.5.5 Van-der-Waals-Bindung:

• Atome/Molek¨ule haben kein permanentes Dipolmoment

• Bindung zwischen Dipolen durch statistische Fluktuationen der La- dungsschwerpunkte.

• Sehr schwache Bindung 4.5.6 Wasserstoffbr¨uckenbindung

Vorraussetzung: ¨Außere Schale>vier Elektronen, zwischen 2 Atomen.

• Bindungen ¨uber Wasserstoffbr¨ucken der Form A-H-A

• Das H-Atom geht eine kovalente Bindung mit Atom der Sorte A ein und gibt sein Elektron ab. Das Proton bleibt fest an Reaktionspartner gebunden und bindet nun zus¨atzlich das andere negative Atom

• Bindungsenergie ist gering(0.1 eV)

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4.6. Das Periodensystem (Siehe Seite 4)

Hauptquantenzahl n= 1,2, . . .(=K, L, . . . - Schale) Nebenquantenzahl l= 0, . . . , n−1(= s,p,d,f - Zust¨anden) Magnetische Quantenzahl m=−l,−l+ 1, . . . , l−1, l

Spinquantenzahl s=±¹

2

Zu jedem Wert n geh¨orenn²Zust¨ande durch Variation vonlundm.

Außerdem ist jeweils ein Spins=±¹ 2m¨oglich.

Entartungsgrad:Kombination der QZ mit gleicher Energie:2n²

4.7. Atome - Hundsche Regeln

Legen fest, nach welchem Schema jedes einzelne Orbital eines Atoms mit Elektronen besetzt wird.

1. Die Schale wird so aufgef¨ullt, dass|S|=|P s_i|= max 2. Quantenzahl|L|=|P

m_i|= max 3. Falls die Schale weniger als halbvoll ist:

• Bahndrehimpuls und Spin antiparallel

• GesamtdrehimpulsJ:|J|=||L| − |S||

Falls die Schale mehr als halbvoll ist:

• Bahndrehimpuls und Spin parallel

• GesamtdrehimpulsJ:|J|=||L|+|S||

Merke: Volle Schalen liefern keinen Beitrag zuS,LundJ

Pauli-Prinzip: Alle Elektronen unterscheiden sich in mindestens einer Quantenzahl

K L M N O P

nl 0 =s 1 =p 2 =d m= 0 m=−1,0,1 m=−2,−1,0,1,2

1:K ↑↓

2:L ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓

3:M ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓

4.8. Kunststoffe

Bestehen im wesentlichen aus C,H,N und O

Polymerisation: Reaktion von Manomeren mit Doppelbindungen zu makromolekularen Ketten

Polykondensation:Reaktion von Monomere mit reaktiven Endguppen unter Abspaltung von z.BH₂OoderHCL

Polyaddition:Venetzung von Epoxiden mit Aminen oder Alkoholen ohne weiteres Reaktionsprodukt

4.9. Legierungen und Schmelze

5. Mechanische Eigenschaften von Festk¨ orpern

a₀ Gitterkonstante (≈10⁻¹⁰m)

N Anzahl Atome in EZ (Anzahl Atome geteilt durch die Zellen, die sich dieses Atom teilen)

5.1. Dichte

Dichte:ρ=^dm_dV = ₄^mP 3πr3 = ^mN

a3 0

=_V^{1 N} NAA_r

→ArinkgUmrechnen!

Packungsdichte:P= Volumen (Atome) Volumen (Einheitszelle)= ^N

4 3r3π VEZ

5.2. Kristallstrukturen

SC/PK

simple cubic

BCC/KRZ

body-centered cubic

FCC/KFZ

face-centered cubic

P= ^π₆ ≈0.52 P=

√ 3π

8 ≈0.68 P=

√ 2π 6 ≈0.74 r_A=

√4

4 a₀ r_A=

√3

4 a₀ r_A=

√2 4 a₀

KZ= 6 KZ= 8 KZ= 12

HCP

hexagonal Tetraeder Diamant

P= ^π 3√

2≈0.74 P=^π

√ 3

16 ≈0.34 P=^π

√ 3 16 ≈0.34 V_hex= ³

√3

2 a²h V_Tetra=

√2

12a³ V_Diamant=a³₀

KZ= 6,12 KZ= 4 KZ= 4

KZ:Koordinationszahl (Zahl der n¨achsten Nachbarn) Polymorphie: Ein Stoff hat mehrere Kristallgitterstrukturen.

5.3. Elastische Verformung

Elastizit¨atsgrenzeσ_E Streckgrenzeσ_S Bruchgrenzeσ_B(E= 0) Bruchdehnungε_B

ε e

=







εxx εxy εxz εyx εyy εyz εzx εzy εzz







Dehnung xx=^∂ux_∂x yy=^∂uy_∂y zz=^∂uz_∂z

Scherdeformation _xy=∂ux

∂y +∂uy

∂x _yz=∂uy

∂z +∂uz

∂y _xz=∂ux

∂z +∂uz

∂x Spannungen Normalspannungenσxx, σyy, σzzsind Zug bzw. Druck- spannungen. Tangentialspannungen (Scherspannungen)σxy, σyz Verallgemeinertes Hooksches Gesetz

σ e

=Cε e

mitCist 81 Komponenten Elastizit¨atstensor 4. Stufe

Uniaxial:σxx=

c−^2λ2 c+λ

εxx=E·εxx εxx= ^∆l_l

|σ|= ^|F|_A =^EF_cl =E·^∆l_l =εE Hydrostatisch:(σxx=σyy=σzz=−p)

KompressionsmodulK=−V_0dV^{dp isotrop}= _3−6ν^E Metallν≈0.3 Mikroskopische Ebene:Bindungskr¨afte zwischen Atomen PotentialV(r) =− α

rⁿ

|{z}

anziehend

+ β

r^m

| {z } abstoßend

m > n

Zw. atomare KraftF(r) =−^dV(r)_dr im GG-FallF(r=r₀) = 0 Elastizit¨atsmodulE:=−¹_r^dF_dr =σ_∆r^r0 = ^σ_ε =n(m−n) ^α rn+3

0 Akustische Wellen in Festk¨orpern:v_||=q_c

ρ v_⊥=q_µ ρ Gitterschwingungen / Phononen: (F¨ur kleinek)

ω₁=q 2c(_M¹

1 +_M¹

2) ω₂=kaq _2c M1 +M2

6. Thermische Eigenschaften von Festk¨ orpern

Druck [p] ^N

m2

Seebeck-Ko. [S] ^µV_K

W¨armeleitf. [λ] _{m K}^W

W¨armemenge [Q] J = W s

W¨armekapazit¨at [C] _K^J

W¨armeleitwert [G] _W^K

Innere Energie [U] J

spez. W¨armekapazit¨at [cm] _{K kg}^J

W¨armekapazit¨atC=^∂U_∂T =cn=c_m·m=c_mρV Innere EnergieU= 3N k_BT f¨ur 1 mol:∆U= ∆T cm Spezifische W¨arme f¨ur hohe Temp.cm= 3R= 24.9_{mol K}^J W¨armemengeQ=CT

W¨armeleitwertG=λ^A_l W¨armestrom .

Q=−λgrad(T)A=C. T=G∆T W¨armestromdichtew=

Q.

A=_A∆t^∆Q =nvc∆T=−λgrad(T) Phononen:λ_ph= ¹₃C_phv_Schalll_ph

Elektronenλ_el=¹₃C_elv_ell_el

Mittlere freie Wegl¨angel=vτ C_el≈6nk²_B ^T EF

6.1. Thermische Ausdehnung

Ausdehnungskoeffizientα= ^β₃ =^∆l_l ·_∆T¹ Volumen¨anderung:^∆V_V

0 = 3α∆T=β∆T Gr¨uneisenregel f¨ur Metalle:α∝ ¹

TS SchmeltemperaturT_S

6.2. Ideales Gas

Ideales Gasgesetz:pV =nmRT=N k_bT=Nvk_BT Kinetische EnergieE_kin=¹₂mv²=^f₂k_BT Teilchendichte:N=^n·N_V^A =^ρNA

Ar =_k^p BT Stoffmenge:n=_N^N

A = ^m

Ar Druckp=¹₃N mv² Gaskonstante:R=k_bN_A= 8,3144_{mol K}^J

6.3. Freies Elektronengas

Zustandsdichte 3D: D(E) = 1 V

dZ dE= ²

s 2m

~² 3√

E 2π² 2D :D= ^m∗

π~2a 1D:D=

√ 2m∗

π~a2 1

qE−Ex,j−Ez,j

Effektive Masse:

1 m^∗= 1

~² d²E(k)

dk²

W¨armeleitf¨ahigkeit:

λ_el= ¹₃C_elv_ell_el

Energieeigenwerte:E_nml=^~_2m^2k∗² e = ^~2π2

2m∗

e L2(n²+m²+l²) Wiedemann-Franzsches Gesetz:

λ

σelT =L:=^π 2k2

B

3e2 = 2.44×10⁻⁸V²/K² (L:Lorentzzahl)

7. Elektrische Eigenschaften von Festk¨ orpern

Spez. Wid.[ρ] = Ω m Leitf¨ah.[σ] =_{Ω m}¹ [µ] =^m2_{V s}

7.1. Ladungstransport

Je kleinera0, desto flacher die Potentialbarrieren zwischen den Atomen, desto breiter werden die Energieb¨ander.

Freies Teilchen Eingesperrtes Teilchen vgr ~

mk ¹

~ dE(k)

dk v_ph ^E_p

7.2. Widerstand

R=ρ_A^l = ¹_σA^l Fermiradiusk_F=

√2mEF

~ σ= −en∆p_x

m^∗E_x =ne² m^∗·τ Elektronen verbinden sich zu Cooper-Paaren

7.3. Elektrochemische Spannung, Korrosion

kathodisch →edel →positives Potential

anodisch →unedel →negatives Potential Das unedlere Metall wird zuerst in Wasser mit Efeld aufgel¨ost

7.4. Piezo-Effekt

Mechanische Verformung erzeugt elektrische Spannung in Kristallen.

D=−k_pAE^F σ_xx=c^∆l_l +k_pE_x

7.5. Pyroelektrizit¨ at

∆P=λ∆T

8. Thermoelektrische Effekte

elektrische Leitf¨ahigkeit [σ] _m^S W¨armeleitf¨ahigkeit [λ] _{m K}^W Seebeck-Koeffizient [S] ^µV_K

Durch thermische Teilchenbewegung entsteht eine Diffusionsstromdichte:

j_diff=−e(n₁v_1x−n₂v_2x) =e d

dT(Dn·n)dT dx

DiffusionskoeffizientD_n=v_xl_x=v_x²τ, Fermigeschw.v_x²=¹₃v²_F Effektive Teilchengeschw.¹₂m^∗v²= ¹₂k_BT

Seebeck Koeffizient:

S:=−e σ

d

dT(Dn·n) ∆U=S·∆T

8.1. Peltier-Effekt

W¨armestromdichte w= Π·j Peltierkonstante:Π =S·T G¨utezahlZ=|∆S|²·^σ_λmit G¨utefaktor∆S= Π₁−Π₂

8.2. Supraleitung

Starke Abnahme des Widerstands um Faktor≤10⁻¹⁴bei einer Sprung- temperaturT_c

Kritisches Magnetisches Feld:H_c=H₀(1−(^T

TC)²)→siehe Tabelle Skript S.107

Londongl.E=λ_L.

js B=−λ_Lrotj s Londonsche EindringtiefeΛ_L=

rλL

µ0 λ_L= ^m nse2

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9. Halbleiter

Valenzbandenergie E_V Leitungsbandenergie E_L

Bandl¨uckenenergie E_G=E_L−E_V Fermi-Energie E_F=k_BT_F=_2m^~2

e(3π²n)^2/3 Fermi-Temperatur T_F= ₂^~2

mekb(3π²n)^2/3 Fermi-Verteilung f¨ur Elektronen:

fe(E, T) =

1

1 + exp E−E_F k_BT

!!

f_h(E, T) = 1−f_e(E, T)

E_F: Energieniveau mit Besetzungswahrsch.0.5im thermischen Gleichge- wicht. BeiT= 0 KentsprichtE_Fdem maximalen Energiezustand eines Elektrons.

E_F= ^{EV +}₂^EL+^kB₂^T ln N∗

V N∗ L

σ=n_ieµ_n+p_ieµ_p v=±µE mitnp=n²_igilt:0 =n²eµn−σn+n²_ieµp

m^∗·µ=e·τ 1 τ = 1

τ_i+ 1

τ_ph Stromdichtej=−nev_n+ pev_p

9.1. Effektive Masse

m^∗= ^~2

d2E(k) dk2

m^∗=q³ m^∗_||m^∗2_⊥

m^∗_h= m^∗ 3 2 hl +m^∗

3 2 hh

!² 3

Fermi-Verteilung fe [1]

Elektronen/L¨ocherdichte n, p [ ¹ cm3]

Zustandsdichte D_L/V [ ¹

cm3 eV] effkt. Zustandsdichte Leitungsband N_L^∗ [ ¹

m3] effkt. Zustandsdichte Valenzband N_V^∗ [ ¹

m3] Intrinsische Ladungstr¨agerdichte n_i=q

N_L^∗N_V^∗e⁻ Eg 2kbT

Leitungsband Valenzband

Elektronendichte L¨ocherdichte

n=

∞´ EL

D_L·fedE p= E´V

−∞

D_V·f_hdE

Zustandsdichte Zustandsdichte

D_L=^(2m

∗ n)3/2 2π2~3

pE−E_L D_V=^(2m

∗p)3/2 2π2~3

pE_V−E

Effektive Zustandsdichte Effektive Zustandsdichte N^∗_L = 2

_m∗ n kBT 2π~2

3/2

N_V^∗= 2 _m∗

p kBT 2π~2

3/2

n=N_L^∗exp

−^E_k^L−EF B·T

p=N_V^∗exp

−^E_k^F−EV B·T

Boltzmann-N¨aherung: f_e(E, T)≈exp

−^E−EF kB T

Damit gilt: n·p=n²_i =N_L^∗·N_V^∗·e⁻ Eg kBT

Dotierungs-Bilanzgleichung: n+N_A⁻=p+N_D⁺ Leitf¨ahigkeit: σ=n·e·µ_n+p·e·µ_p

9.2. Dotierung von Halbleitern

Energie

Leitungsband

Valenzband Zustands- dichten besetzte

Zustände

Besetzungs- wahrscheinlichkeit

1 0,5

EC

EV

EF, intrinsisch

E_F

ED

ΔE_D

„Aktivierungs- energie“

n-Dotierung+1e⁻ p-Dotierung+1h⁺

Donator ausV Akzeptor ausIII

N_D=N_D⁰+N_D⁺ N_A=N⁰_A+N_A⁺

N_A= 0 N_D= 0

N_D⁰=N_D·f(E_D, T) N_A⁰=N_A[1−f(E_A, T)]

N_D⁺=N_D[1−f(E_D, T)] N_A⁻=N_A·f(E_A, T) Amphoter: Sowohl n- als auch p-Dotierung. BeiIII-VHL:IV

9.3. Temperaturn¨ aherungen f¨ ur dotierte HL

niedrige T:n≈exp(−^EL−ED

2kBT ) mittlere T:n≈N_D= const.

hohe T:n≈n_i Trick:q

N_L^∗N_V^∗∼T³2

9.4. Ausgleichsvorg¨ ange

Generationsrate:G= G_T

Thermisch + G_L

Optisch Rekombinationsrate:R=r(T)np

9.5. Diffusionsstr¨ ome

j_n/p^diff =eD_n/p^dn/p_dx Einstein Beziehung:D_n/p=^kB_e^Tµ_n/p Diffusionsl¨angeL_n/p=q

D_n/pτ_n/p Debye-L¨angeL_D=p Dτ_R

10. Dielektrische Eigenschaften

Dielektr. VerschiebungD=εrε0E=ε0E(1 +χ^el) =ε0E+P Komplexe Permittivit¨at:ε_r=ε⁰_r+ iε⁰⁰_r =|ε_r|e^iδ

ε⁰(ω) =ε_∞+^{εstat−ε∞}

1+ω2τ2 ε⁰⁰(ω) =^{εstat−ε∞}

1+ω2τ2ωτ

Ausfall der Orientierungs-

polarisation Ausfall der Ionen - polarisation

Ausfall der Elektronen - polarisation

Mikrowellen Infrarot UV

Sichtbares Licht

Polarisation[P] =^{A s}

m2 Polarisierbarkeit[α] = m³ Außeres Feld¨ E_ext Induziertes GegenfeldE_in

10.1. Polarisation (S. 144)

Dipolmoment p=s·q=ε₀αE_ext Polarisation P=Np Im KristallgitterN= ¹

8R3

Claudius-Mosotti-Gleichung:^αNv₃ =^εr−1

εr+2⇒_r= 1 + ^αN 1−αN

3 Suszeptibilit¨atχ^el=ε_r−1 =_ε^P

0E= _ε^Pin 0Ein= ^αN

1−αN 3 Elektronische Polarisation

Elektronenh¨ulle verschiebt sich durch ¨außeres Feld p=ε₀αEext Polarisierbarkeitα= 4πR³ Ionische Polarisation

Ionen werden durch ¨außeres Feld verschoben p=q∆r_Atom=ε₀αE α=_2cε^q2

0 Orientirungspolarisation

Permanente Dipole werden durch E-Feld ausgerichtet.ν= ^Ep kB T Energie eines Dipols:U(θ) =−pE=−pE·cos(θ)

Energieverteilungw(θ) = exp(−^U(θ) kB T cos(θ) =w(θ) cos(θ)

w(θ)

11. Magnetische Eigenschaften

Magnetische Flussdichte B [T =^{V s}

m2] Magnetische Feldst¨arke H=M [_m^A]

Bahndrehimpuls L [V A s²]

Magnetisches Moment m [A m²]

magn. Quantenzahl mod.M

Spinquantenzahl S

gyromagnetisches Verh¨altnis g

Gesamtdrehimpuls J [T =^{V s}

m2] Magnetische Suszepitbilit¨at χ^m

Bohrsches Magneton:µ_B= _2me^e~ = 9.274×10⁻²⁴A m²

Dielektrika Magnetika

Polarisation P=ε₀χE_netto J=µ₀M Flussdichte D=ε₀E_netto+P B=µ₀H+J

GesamtdrehimpulsJ=L+S

permanentes mag. DipolmomentM_z=g(−µ_B)J Magnetische Suszeptibilit¨atχ^m=µr−1 =_µ¹

0 J H =^M_H Magnetische FlussdichteB=µ_rµ₀H=µ₀H+J=µ₀(H+M)

Elementare Dipole:

Mechanischer DrehimpulsL=r×m₀v=m₀r²ω Magnetisches Momentm=IA=−¹₂er²ω=−_2m^e

0L Gyromagn. Verh¨altnis:g= 1 +J(J+1)+S(S+1)−L(L+1)

2J(J+1) Spezial:S= 0⇒g= 1(unreal) L= 0⇒g= 2

Diamagnetismus (µ

_r<1)

Wirkung der Lorentzkraft. Immer aktiv, wird aber von Para- und Ferro- mag. ¨uberlagert. Temperaturunabh¨angig.

χ^m_dia=^M_H =−^{N Z∗}_6m^e2r2µ0 e

Paramagnetismus (µ

r>1)

Material besitzt magnetische Dipolmomente. (Unvollst¨andige Elektronen- schalen)

dominiert oberhalb der Curie-Temperatur Curiesches Gesetz:χ^m_para= ^{N µ0g}

2J(J+1)µ2 3kBT B

Leitungselektronen (µ

_r1) χ^m_para,le=³₂^nµ0µ

2 B kBTF χ^m_dia,le=−¹

3χ^m_para,le )

χ^m_le=χ^m_para,le+χ^m_dia,le= ^nµ0µ 2B kBTF (mitn= ^freie_Vez^e)

Ferromagnetismus

(µ_r1) gekoppelte, parallele Ausrichtung der Momente. Wirkung nur bis Curie-Temp.

E_A=−µ₀´

VW wH_GH_AdV

Curie-Weiss-Gesetz:χ^m=_T−Θ^C mitΘ =^E_k^F b Hystereseverlustewv=¸

BdH

Antimagnetismus

gekoppelte, antiparallele Ausrichtung.

Ferimagnetismus

In eine Richtung st¨arkere Magnetisierung.

m=IAist antiparallel zuL

12. Skizzen und Tabellen

12.1. Skizzen

Name Seite

molare spezifische W¨arme 70

Thermoelement 104

Peltier-Effekt 105

Peltier-Element 105

Leitf¨ahigkeit/Supraleitung 106

W¨armeleitf¨ahigkeit 75

Temp. dot. Halbleiter 122

Berthe-Slater-Kurve 164

Magnetische S¨attigung 167

Magnetisierungskurve 171

Legierungssystem ohne Mischl¨ucke 42

Legierungssystem ohne Mischkristallbildung 44

Legierungssystem mit Mischl¨ucke 45

Legierungssystem mit intermetallischen Verbindungen 46 Abstandsabh¨angigkeit interatomarer Kr¨afte 59

Spannungs/Dehnungsdiagramm 63

Festigkeit bei wechselnder Belastung 67

Dotierkonzentrationen 126

Hystereskurve eines Ferroelektikums 149

12.2. Tabellen / Werte

Name Seite

W¨armeleitf¨ahigkeit 75

Thermopaare 104

Kritische Feldst¨arke Supraleiter 107

Orbitalebestetzung 23

Elektronenh¨ulle 24

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1

1. Hg IA

Benennung mit Haupt- und Nebengruppen

IUPAC – Empfehlung

Von Chemical Abstracts Service bis 1986 verwendet

18

8. Hg VIIIA

1

1,00794 1s¹

1 H

-1,1

-259 2.2 -253 13.6 Wasserstoff

2

2. Hg IIA

Periodensystem der Elemente

http://www.pse-online.de 13

3. Hg IIIA

14

4. Hg IVA

15

5. Hg VA

16

6. Hg VIA

17

7. Hg VIIA

^{-269 24.6}

4,002602 1s²

2 He

-272 - Helium

2

6,941 [He]2s¹

3 Li

1

181 1.0 1278 1.5 1317 5.4 2970 9.3 Lithium

9,012182 [He]2s²

4 Be

2

Schmelzpunkt [°C]

Siedepunkt [°C]

Beryllium

Relative Atommasse 243,0614 *

[Massenzahl des langlebigsten Isotops]

Ordnungszahl

994 ~1.2 2607 6.0 Elementname

Künstliches Element [Rn]5f⁷7s²

95 Am

3,4,5,6

Elektronegativität Erste Ionisierungsenergie [eV]

Americium

Elektronenkonfiguration

Elementsymbol

Oxidationszahlen (häufigste)

Elementsymbol:

Tc = kein stabiles Isotop bekannt N =

gasförmig

Br = flüssig (bei 20 °C)

Am = fest

10,811 [He]2s²2p¹

5 B

3 2300 2.0 2550 8.3 Bor

12,0107 [He]2s²2p²

6 C

-4,2,4 3550 2.5 4827 11.3 Kohlenstoff

14,00674 [He]2s²2p³

7 N

-3,2,3,4,5 -210 3.1 -196 14.5 Stickstoff

15,9994 [He]2s²2p⁴

8 O

-2,-1 -218 3.5 -183 13.6 Sauerstoff

18,9984032 [He]2s²2p⁵

9 F

-1

-220 4.1 -249 - -188 17.4 -246 21.6 Fluor

20,1797 [He]2s²2p⁶

10 Ne

Neon

3

22,989770 [Ne]3s¹

11 Na

1

98 1.0 649 1.2

892 5.1 1107 7.6 Natrium

24,3050 [Ne]3s²

12 Mg

2 Magnesium

3

3. Ng IIIB

4

4. Ng IVB

5

5. Ng VB

6

6. Ng VIB

7

7. Ng VIIB

8

8. Ng VIII

9

8. Ng VIII

10

8. Ng VIII

11

1. Ng IB

12

2. Ng IIA

26,981538 [Ne]3s²3p¹

13 Al

3 661 1.5 2467 6.0 Aluminium

28,0855 [Ne]3s²3p²

14 Si

-4,4 1410 1.7 2355 8.2 Silicium

30,973761 [Ne]3s²3p³

15 P

-3,3,5 44 2.1 280 10.5 Phosphor

32,066 [Ne]3s²3p⁴

16 S

-2,2,4,6 113 2.4 445 10.4 Schwefel

35,4527 [Ne]3s²3p⁵

17 Cl

-1,1,3,5,7

-101 2.8 -189 - -35 13.0 -186 15.8 Chlor

39,948 [Ne]3s²3p⁶

18 Ar

Argon

4

39,0983 [Ar]4s¹

19 K

1

64 0.9 839 1.0 774 4.3 1487 6.1 Kalium

40,078 [Ar]4s²

20 Ca

2

1539 1.2 Calcium

44,955910 [Ar] 3d¹4s²

21 Sc

3 2832 6.5 Scandium

47,867 [Ar] 3d²4s²

22 Ti

3,4

1660 1.3 1890 1.5 3260 6.8 3380 6.7 Titan

50,9415 [Ar] 3d³4s²

23 V

0,2,3,4,5

1857 1.6 2482 6.8 Vanadium

51,9961 [Ar]3d⁵4s¹

24 Cr

0,2,3,6

Chrom

54,938049 [Ar]3d⁵4s²

25 Mn

-1,0,2,3,4,6,7 1244 1.6 2097 7.4 Mangan

55,845 [Ar]3d⁶4s²

26 Fe

-2,0,2,3,6 1535 1.6 2750 7.9 Eisen

58,93320 [Ar]3d⁷4s²

27 Co

-1,0,2,3 1495 1.7 2870 7.9 Cobalt

58,6934 [Ar] 3d⁸4s²

28 Ni

0,2,3

1453 1.8 1084 1.8 2732 7.6 2595 7.7 Nickel

63,546 [Ar] 3d¹⁰4s¹

29 Cu

1,2

Kupfer

65,39 [Ar]3d¹⁰4s²

30 Zn

2 420 1.7 907 9.4 Zink

69,723 [Ar]3d¹⁰4s²4p¹

31 Ga

3 30 1.8 2403 6.0 Gallium

72,61 [Ar]3d¹⁰4s²4p²

32 Ge

4 937 2.0 2830 7.9 Germanium

74,92160 [Ar]3d¹⁰4s²4p³

33 As

-3,3,5 613(subl.) 2.2 - 9.8 Arsen

78,96 [Ar]3d¹⁰4s²4p⁴

34 Se

-2,4,6 217 2.5 685 9.8 Selen

79,904 [Ar]3d¹⁰4s²4p⁵

35 Br

-1,1,3,5,7

-7 2.7 -157 -

59 11.8 -152 14.0 Brom

83,80 [Ar]3d¹⁰4s²4p⁶

36 Kr

2 Krypton

5

85,4678 [Kr]5s¹

37 Rb

1

39 0.9 769 1.0 688 4.2

Rubidium

87,62 [Kr]5s²

38 Sr

2

1523 1.1 1384 5.7

Strontium

88,90585 [Kr]4d¹5s²

39 Y

3 3337 6.4 Yttrium

91,224 [Kr]4d²5s²

40 Zr

4

1852 1.2 2468 1.2 4377 6.8 4927 6.9 Zirconium

92,90638 [Kr]4d⁴5s¹

41 Nb

3,5

2617 1.3 5560 7.1 Niobium

95,94 [Kr]4d⁵5s¹

42 Mo

0,2,3,4,5,6

Molybdän [98]

[Kr]4d⁶5s¹

43 Tc

7 2172 1.4 5030 7.3 Technetium

101,07 [Kr]4d⁷5s¹

44 Ru

-2,0,2,3,4,6,8 2310 1.4 3900 7.4 Ruthenium

102,90550 [Kr]4d⁸5s¹

45 Rh

0,1,2,3,4,5 1966 1.5 3727 7.5 Rhodium

106,42 [Kr]4d¹⁰

46 Pd

0,2,4

1552 1.4 962 1.4 3140 8.3 2212 7.6 Palladium

107,8682 [Kr]4d¹⁰5s¹

47 Ag

1,2 Silber

112,411 [Kr]4d¹⁰5s²

48 Cd

2 321 1.5 765 9.0 Cadmium

114,818 [Kr]4d¹⁰5s²5p¹

49 In

3 157 1.5 2080 5.8 Indium

118,710 [Kr]4d¹⁰5s²5p²

50 Sn

2,4 232 1.7 2270 7.3 Zinn

121,760 [Kr]4d¹⁰5s²5p³

51 Sb

-3,3,5 631 1.8 1750 8.6 Antimon

127,60 [Kr]4d¹⁰5s²5p⁴

52 Te

-2,4,6 450 2.0 990 9.0 Tellur

126,90447 [Kr]4d¹⁰5s²5p⁵

53 I

-1,1,5,7

114 2.2 -112 -

184 10.5 -107 12.1 Iod

131,29 [Kr]4d¹⁰5s²5p⁶

54 Xe

2,4,6

Xenon

6

132,90545 [Xe]6s¹

55 Cs

1

28 0.9 725 1.0 690 3.9 1640 5.2 Cäsium

137,327 [Xe]6s²

56 Ba

2 Barium

57 – 71 La-Lu

Lanthanoide

178,49

[Xe]4f¹⁴5d²6s²

72 Hf

4

2150 1.2 2996 1.3 5400 7.0 5425 7.9 Hafnium

180,9479 [Xe]4f¹⁴5d³6s²

73 Ta

5

3407 1.4 5927 8.0 Tantal

183,84 [Xe]4f¹⁴5d⁴6s²

74 W

0,2,3,4,5,6

Wolfram

186,207 [Xe]4f¹⁴5d⁵6s²

75 Re

-1,2,4,6,7 3180 1.5 5627 7.9 Rhenium

190,23 [Xe]4f¹⁴5d⁶6s²

76 Os

-2,0,2,3,4,6,8 3045 1.5 5027 8.7 Osmium

192,217 [Xe]4f¹⁴5d⁷6s²

77 Ir

-1,0,1,2,3,4,6 2410 1.6 4130 9.1 Iridium

195,078 [Xe]4f¹⁴5d⁹6s¹

78 Pt

0,2,4

1772 1.4 1064 1.4 3827 9.0 2940 9.2 Platin

196,96655 [Xe]4f¹⁴5d¹⁰6s¹

79 Au

1,3

Gold

200,59 [Xe]4f¹⁴5d¹⁰6s²

80 Hg

1,2 -39 1.5 357 10.4 Quecksilber

204,3833 [Xe]4f¹⁴5d¹⁰6s²6p¹

81 Tl

1,3 304 1.4 1457 6.1 Thallium

207,2 [Xe]4f¹⁴5d¹⁰6s²6p²

82 Pb

2,4 328 1.6 1740 7.4 Blei

208,98038 [Xe]4f¹⁴5d¹⁰6s²6p³

83 Bi

3,5 271 1.7 1560 7.3 Bismut

[209]

[Xe]4f¹⁴5d¹⁰6s²6p⁴

84 Po

2,4,6 254 1.8 962 8.4 Polonium

[210]

[Xe]4f¹⁴5d¹⁰6s²6p⁵

85 At

-1,1,3,5,7

302 2.0 -71 -

337 9.5 -62 10.7 Astat

[222]

[Xe]4f¹⁴5d¹⁰6s²6p⁶

86 Rn

2 Radon

7

[223]

[Rn]7s¹

87 Fr

1

27 0.9 700 1.0

677 4.0 1140 5.3 Francium

[226]

[Rn]7s²

88 Ra

2 Radium

89 –103 Ac-Lr

Actinoide

[261] * [262] * [Rn]5f¹⁴6d²7s²

104 Rf

Rutherfordium

[263] * [Rn]5f¹⁴6d³7s²

105 Db

Dubnium

[Rn]5f¹⁴6d⁴7s²

106 Sg

Seaborgium

[264] * [Rn]5f¹⁴6d⁵7s²

107 Bh

Bohrium

[265] * [Rn]5f¹⁴6d⁶7s²

108 Hs

Hassium

[268] * [Rn]5f¹⁴6d⁷7s²

109 Mt

Meitnerium

[269] * [272] * [Rn]5f¹⁴6d⁹7s¹

110 Ds

Darmstadtium

[Rn]5f¹⁴6d¹⁰7s¹

111 Uuu

Unununium

112 Uub

Ununbium¹

113 Uut

Ununtrium¹

114 Uuq

Ununquadium¹

115 Uup

Ununpentium¹

116 Uuh

Ununhexium¹

117 Uus

Ununseptium¹

118 Uuo

Ununoctium¹

1Die Elemente mit den Ordnungszahlen 112 – 118 wurden noch nicht synthetisiert bzw. von der IUPAC offiziell anerkannt!

6

138,9055 [Xe]5d¹6s²

57 La

3 920 1.1 3454 5.6 Lanthan

140,116 [Xe]4f²6s²

58 Ce

3,4

798 1.1 931 1.1 3257 5.5 3212 5.4 Cer

140,90765 [Xe]4f³6s²

59 Pr

3,4

1010 1.1 3127 5.5 Praseodym

144,24 [Xe]4f⁴6s²

60 Nd

3 Neodym

[145]

[Xe]4f⁵6s²

61 Pm

3 1080 1.1 2730 5.6 Promethium

150,36 [Xe]4f⁶6s²

62 Sm

2,3 1072 1.1 1778 5.6 Samarium

151,964 [Xe]4f⁷6s²

63 Eu

2,3 822 1.0 1597 5.7 Europium

157,25 [Xe]4f⁷5d¹6s²

64 Gd

3

1311 1.1 1360 1.1 3233 6.1 3041 5.9 Gadolinium

158,92534 [Xe]4f⁹6s²

65 Tb

3,4 Terbium

162,50 [Xe]4f¹⁰6s²

66 Dy

3 1406 2335 5.9 Dysprosium

164,93032 [Xe]4f¹¹6s²

67 Ho

3 1470 1.1 2720 6.0 Holmium

167,26 [Xe]4f¹²6s²

68 Er

3 1522 1.1 2510 6.1 Erbium

168,93421 [Xe]4f¹³6s²

69 Tm

2,3 1545 1.1 1727 6.2 Thulium

173,04 [Xe]4f¹⁴6s²

70 Yb

2,3 824 1.1 1193 6.3 Ytterbium

174,967 [Xe]4f¹⁴5d¹6s²

71 Lu

3

1656 1.1 3315 5.4 Lutetium

© 1999-2003 by Lars Röglin lars@pse-online.de http://www.pse-online.de

7

[227]

[Rn]6d¹7s²

89 Ac

3 1047 1.0 3197 6.9 Actinium

[232]

[Rn]6d²7s²

90 Th

4 1750 1.1

4787 7.0 4030 - Thorium

[231]

[Rn]5f²6d¹7s²

91 Pa

4,5

1554 1.1 1132 1.2 3818 6.1 Protactinium

[238]

[Rn]5f³6d¹7s²

92 U

3,4,5,6

Uran

[237]

[Rn]5f⁴6d¹7s²

93 Np

3,4,5,6 640 1.2 3902 Neptunium

[244]

[Rn]5f⁶7s²

94 Pu

3,4,5,6 641 1.2 3327 5.8 Plutonium

[243] * [Rn]5f⁷7s²

95 Am

3,4,5,6 994 ~1.2 2607 6.0 Americium

[247] * [247] * [Rn]5f⁷6d¹7s²

96 Cm

3,4

1340 ~1.2 986 ~1.2 3100 Curium

[Rn]5f⁹7s²

97 Bk

3,4 Berkelium

[251] * [Rn]5f¹⁰7s²

98 Cf

3,4 900 ~1.2 Californium

[252] * [Rn]5f¹¹7s²

99 Es

3 860 ~1.2 Einsteinium

[257] * [Rn]5f¹²7s²

100 Fm

3 ~1.2 Fermium

[258] * [Rn]5f¹³7s²

101 Md

3 ~1.2 Mendelevium

[259] * [Rn]5f¹⁴7s²

102 No

2,3 Nobelium

[262] * [Rn]5f¹⁴6d¹7s²

103 Lr

3 Lawrencium

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