Zeigen Sie: Das in Gleitpunktrechnung erhaltene Ergebnis hy, zif l des Skalarproduktes ist gleich hˆy, zi f¨ur ein ˆy mit |y−y| ≤ˆ n|y|eps +O(eps2)

(1)

Universität Tübingen Tübingen, den 11.12.2018 Mathematisches Institut

Prof. Dr. Christian Lubich

9. ¨Ubungsblatt zur Numerik

Aufgabe 33: Es sei A∈R^m×n. Zeigen Sie, dass f¨ur die zur Betragssummen- und zur Maximums- norm geh¨orenden Matrixnormen gilt:

(a) kAk₁ = maxj=1,...,nPm

i=1|a_ij|(maximale Spaltenbetragssumme) (b) kAk_∞= maxi=1,...,mPn

j=1|a_ij|(maximale Zeilenbetragssumme) (c) ^√¹_nkAk_∞≤ kAk₂≤√

mkAk_∞ Aufgabe 34: Zeigen Sie:

cond(A) = maxkyk=1kAyk minkzk=1kAzk.

Mithilfe der rechten Seite l¨asst sich die Kondition auch f¨ur nichtquadratische Matrizen definieren.

Aufgabe 35: Seieny, z zwei Vektoren von Gleitpunktzahlen. Das Standardskalarprodukt l¨asst sich rekursiv durchhy, zi=znyn+hyⁿ⁻¹, zⁿ⁻¹i berechnen, wobeiyⁿ⁻¹ := (y1,· · ·, yn−1)^T,zⁿ⁻¹ analog.

Zeigen Sie: Das in Gleitpunktrechnung erhaltene Ergebnis hy, zi_{f l} des Skalarproduktes ist gleich hˆy, zi f¨ur ein ˆy mit

|y−y| ≤ˆ n|y|eps +O(eps²).

Aufgabe 36: Seien L, R untere bzw. obere Dreiecksmatrizen von Gleitpunktzahlen,b, c Vektoren von Gleitpunktzahlen. Zeigen Sie: Die in Gleitpunktrechnung erhaltenen Ergebnisse ˆx, ˆy f¨ur die GleichungssystemeLy=b,Rx=csind die exakten L¨osungen von ˆLyˆ=b mit|L−L| ≤ˆ n|L|eps + O(eps²) bzw. ˆRxˆ=c mit|R−R| ≤ˆ n|R|eps +O(eps²).

Hinweis: Beachten Sie Aufgabe 35.

Besprechung in den ¨Ubungen am 18.12.2018.