04/06/2004 Teilchen & Wellen SS2004 Denninger Eulersche Gleichung
Eulersche Gleichung
Für die mathematische Beschreibung von Schwingungen und Wellen benutzt man häufig eine komplexe Schreibweise, welche auf folgende Identität aufbaut:
cos sin
e i θ = θ + ⋅ i θ exp (i ) θ = cos θ + ⋅ i sin θ
Diese Gleichung heißt Eulersche Gleichung
x y
θ
cos sin
z = θ + ⋅ i θ
Kurzer Beweis dieser Eulerschen Gleichung:
Man betrachtet die Zahl: z = cos θ + ⋅ i sin θ
Man berechnet das Differential bezüglich einer Änderung
d θ
sin cos
dz = − θ θ d + ⋅ i θ θ d
dz = ⋅ ⋅ i z d θ
denni z ⋅ = ⋅ i cos θ − sin θ
Jetzt integrieren wir die Gleichung dz = ⋅ ⋅ i z d θ
dz i d
z = ⋅ θ dz
z = ⋅ i d θ
Die Anfangswerte sind θ0= 0 und z0= 11 0
z
dz z i d
θ