Klausur zu Grundz¨ uge der Statistik: Statistik I Prof. Dr. Claudia Becker
Wintersemester 2005/06 23.03.2006
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Matrikelnummer: ...
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
Erlaubte Hilfsmittel:
• Taschenrechner (keine alphanumerische Tastatur)
• standardisierte Formelsammlung Statistik vom WS 05/06 in gehefteter Form (unver¨andert, keine Hervorhebungen, keine Zus¨atze, keine losen Bl¨atter)
Nicht zugelassen sind:
• eigenes Papier
• Skript, ¨ Ubungsaufgaben, alte Klausuren, andere Formelsammlungen, eigene Aufzeichnungen
• Lehrb¨ucher, Verteilungstabellen
Es sind insgesamt 100 Punkte zu erreichen.
Uberpr¨ufen Sie, ob Ihre Klausur alle sechs Aufgaben enth¨alt. ¨
Geben Sie die Aufgaben bitte zusammen mit Ihrer L¨ osung ab!
Aufgabe 1 2 3 4 5 6 P
erreichbare
Punkte 19 18 13 15 18 17 100
erreichte
Punkte
Aufgabe 1 (19 Punkte)
(a) Markieren Sie bei den folgenden Aussagen jeweils, welche Antworten / Berechnungen korrekt sind. Nutzen Sie die vorgesehenen Felder f¨ur Ihre Markierung.
1. (3 Punkte) Gegeben sind die folgenden Merkmale:
(1) Blutgruppe, (2) Pulsfrequenz, (3) Rauchgewohnheit (mit Auspr¨agungen Rau- cher / Nichtraucher), (4) Teilnahme an der heutigen Pr¨ufung (mit Auspr¨agungen ja / nein), (5) erreichte Punktzahl in der heutigen Pr¨ufung.
Welche Merkmale sind metrisch skaliert?
(1) und (3) (1) und (4) (2) und (5) (1), (3) und (4) (2), (3) und (5) alle
2. (5 Punkte) Gegeben ist der folgende Datensatz: 3, 1, 7, 2, 2.
Welche Werte sind korrekt berechnet?
x= 3 xmed = 7 xmod = 2
Spannweite R= 5 se2 = 5.5
3. (6 Punkte) Betrachten Sie die folgende H¨aufigkeitsverteilung:
Familiengr¨oße (in Personen) 2 3 4 5 6 Anzahl Familien 15 35 50 30 20 Welche Aussagen sind richtig?
Das Merkmal ist nominal skaliert und diskret.
Das Merkmal ist ordinal skaliert und diskret.
Das Merkmal ist metrisch skaliert und diskret.
Das Merkmal ist metrisch skaliert und stetig.
Die graphische Darstellung der H¨aufigkeitsverteilung kann durch ein Histogramm erfolgen.
Die graphische Darstellung der H¨aufigkeitsverteilung kann durch ein Kreisdiagramm erfolgen.
Die graphische Darstellung der H¨aufigkeitsverteilung kann durch ein Balkendiagramm erfolgen.
Die H¨aufigkeiten k¨onnen nicht graphisch dargestellt werden, da zwei Merkmale ohne H¨aufigkeiten angegeben sind.
Eine m¨ogliche Rechenoperation f¨ur diese Daten ist das Ausz¨ahlen.
Eine m¨ogliche Rechenoperation f¨ur diese Daten ist das Ordnen.
Eine m¨ogliche Rechenoperation f¨ur diese Daten ist die Bildung von Differenzen.
Eine m¨ogliche Rechenoperation f¨ur diese Daten ist die Bildung von Quotienten.
(b) Betrachten Sie die folgende Abbildung. Wie beurteilen Sie die Qualit¨at der Darstel- lung? Begr¨unden Sie Ihre Ansicht. (5 Punkte)
-3 -2 -1 0 2 4 6
minus plus
Reserven schwinden: Wirtschaftsdaten aus Suedafrika
Bruttoinlandsprodukt gegenueber dem Vorjahr in Prozent
1983 1984 1985
Aufgabe 2 (18 Punkte)
Die Einsparungen in Sachsen-Anhalt mit dem Ziel der Haushaltskonsolidierung machen auch vor der Universit¨atsbibliothek nicht Halt. Um den finanziellen Spielraum f¨ur Neuanschaffun- gen von B¨uchern seri¨os planen zu k¨onnen, interessiert sich der Bibliotheksleiter f¨ur die H¨ohe der Mahngeb¨uhren, welche die Bibliothek pro ( ¨Offnungs-)Tag von den s¨aumigen Lesern ein- nimmt. Dazu greift er auf eine Liste zur¨uck, in die jeden Tag eingetragen wird, wieviel Euro an Mahngeb¨uhren eingenommen wurden:
j Geb¨uhreneinnahmen Anzahl der pro Tag [Euro/Tag] Tage
1 bis unter 20 50
2 20 bis unter 60 50
3 60 bis unter 120 200
4 120 und mehr 100
Als maximale Einnahme werden 200 Euro/Tag, als minimale Einnahme 0 Euro/Tag f¨ur m¨oglich gehalten.
(a) Charakterisieren Sie kurz das vorliegende Datenmaterial. Welche Lagemaße k¨onnten Sie theoretisch f¨ur diese Daten berechnen? (Bitte nicht rechnen, nur kurz beschreiben).
(5 Punkte)
(b) Berechnen Sie die 5-Punkte-Zusammenfassung. (6 Punkte)
(c) Berechnen Sie die durchschnittliche H¨ohe der Mahngeb¨uhreneinnahmen/Tag. Wie hoch k¨onnten die durchschnittlichen Mahngeb¨uhreneinnahmen eines Jahres mit 300 ( ¨Offnungs-)Tagen ausfallen? (3 Punkte)
(d) Ermitteln Sie die Standardabweichung der Mahngeb¨uhreneinnahmen/Tag mit Hilfe des Verschiebungssatzes. (4 Punkte)
Hinweis:
Geben Sie in (b), (c) und (d) jeweils zun¨achst die allgemeinen Formeln an.
Runden Sie ggf. Ihre Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma.
Aufgabe 3 (13 Punkte)
Zur Erreichung der strategischen Ziele eines Gesamtunternehmens werden seine dezentralen Teilbereiche einer Budgetierung unterworfen. Dabei werden den einzelnen Abteilungen des Unternehmens jedes Jahr von der Zentrale Finanzmittel in bestimmter H¨ohe (Budget) zur Verf¨ugung gestellt, aus denen die Abteilungen alle Ausgaben bestreiten und dabei bestimmte Zielvorgaben erreichen m¨ussen.
Die Budgetverteilung auf die einzelnen Abteilungen erfolgt nach einem Verfahren, das die Erreichung der Zielvorgaben in der Vergangenheit und die zuk¨unftigen Erfolgspotenziale ber¨ucksichtigt. Im letzten Jahr gab es folgende Budgetverteilung auf die 20 Abteilungen:
Finanzmittel je Anzahl der Abteilung [1 000 Euro/Abt.] Abteilungen
38.75 8
25.00 4
15.00 4
10.00 2
5.00 2
(a) Stellen Sie die empirische H¨aufigkeitsverteilung (Dichtefunktion) des Merkmals Finanz- mittel je Abteilung in relativen H¨aufigkeiten graphisch dar. Nutzen Sie dazu das unten vorgegebene Koordinatensystem und erg¨anzen Sie die fehlenden Achsenbeschriftungen.
(5 Punkte)
(b) Ermitteln Sie die relative Konzentration des Merkmals Finanzmittel je Abteilung und bewerten Sie das Ergebnis. (8 Punkte)
Hinweis:
Geben Sie in (b) zun¨achst die allgemeinen Formeln an.
Runden Sie ggf. Ihre Ergebnisse auf 2 Nachkommstellen.
Abbildung: Empirische H¨aufigkeitsverteilung der Finanzmittel
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Ein Unternehmer im Nahrungsmittel- und Gastst¨attengewerbe unterh¨alt in drei verschiede- nen St¨adten Imbissst¨ande. Unter Anderem verkauft er dort den Klassiker “Gyros mit Zaziki”.
F¨ur seine Kunden sind vier Varianten dieses Gerichts im Angebot, die sich ergeben aus den M¨oglichkeiten, Zwiebeln oder keine Zwiebeln dazu zu nehmen, und das Zaziki mit oder ohne Knoblauch zu bekommen. Aus den Verkaufszahlen der drei Imbissst¨ande stellt er f¨ur einen ausgew¨ahlten Tag die folgende Tabelle auf:
Anzahl verkaufter Portionen Gyros mit Zaziki Variante (Zwiebeln / Knoblauch)
mit / mit mit / ohne ohne / mit ohne / ohne
Dortmund 510 350 400 140 1 400
Stadt M¨unchen 650 380 500 270 1 800
Halle 340 170 200 90 800
1 500 900 1 100 500 4 000
(a) Der Unternehmer m¨ochte wissen, ob das Merkmal “Variante” und das Merkmal “Stadt”
voneinander abh¨angen. Dazu will er die MaßzahlK∗ benutzen. Im ersten Schritt stellt er die unter Unabh¨angigkeit der beiden Merkmale erwartete Kontingenztafel auf. Das Resultat seiner Berechnungen sehen Sie unten. Begr¨unden Sie, ohne die Werte im Ta- belleninneren nachzurechnen, warum der Unternehmer sich bei den Werten der letzten Spalte (Variante ohne / ohne) verrechnet haben muss. (3 Punkte)
(b) Korrigieren Sie die Werte der letzten Spalte (Variante ohne / ohne) und tragen Sie die richtigen Werte in die unten stehende Tabelle ein. Die restlichen Werte sind korrekt berechnet und m¨ussen nicht ¨uberpr¨uft werden. (2 Punkte)
(c) Der χ2-Wert f¨ur diese Tafel betr¨agt 32.13. Wie stark h¨angen die beiden Merkmale miteinander zusammen? (7 Punkte)
(d) Angenommen, es h¨atte sich ein starker Zusammenhang zwischen den beiden Merkma- len herausgestellt. Sollte der Unternehmer seine Gyros-Vielfalt dann von Stadt zu Stadt eher unterschiedlich gestalten oder gleich lassen? Begr¨unden Sie Ihre Interpretation.
(3 Punkte) Hinweis:
Geben Sie in (b) und (c) zun¨achst die ben¨otigten allgemeinen Formeln an.
Runden Sie, falls n¨otig, auf 3 Nachkommastellen.
Unter Unabh¨angigkeit erwartete Tafel, falsch berechnet Variante (Zwiebeln / Knoblauch)
mit / mit mit / ohne ohne / mit ohne / ohne
Dortmund 525 315 385 140
Stadt M¨unchen 675 405 495 180
Halle 300 180 220 80
Aufgabe 5 (18 Punkte)
In einer Studie zum Nutzen von Ausgaben f¨ur Werbemaßnahmen werden acht vergleich- bare Unternehmen untersucht, die sich im Wesentlichen nur durch die Aufwendungen f¨ur Werbung unterscheiden. F¨ur jedes Unternehmen wurde ebenfalls erhoben, welche Gewinne erzielt wurden. Die Daten sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt:
Unternehmen 1 2 3 4 5 6 7 8
Ausgaben f¨ur Werbung X (100 000 Euro) 8 5 3 7 4 2 1 6 Gewinne Y (100 000 Euro) 64 78 79 69 80 76 71 75 (a) Bestimmen Sie f¨ur diese Daten den Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman.
Warum d¨urfen Sie ihn berechnen? (10 Punkte)
(b) Angenommen, in (a) h¨atte sich als Wert rSp= 0.4 ergeben (Achtung: entspricht nicht dem tats¨achlichen Ergebnis!). Wenn Sie zus¨atzlich den Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson berechnen w¨urden, w¨urden Sie erwarten, dass er betragsm¨aßig eher einen sehr hohen Wert (nahe 1) aufweist oder eher nicht? Begr¨unden Sie Ihr Urteil.
Bitte nur argumentieren, nicht rechnen! (4 Punkte)
(c) Angenommen, der Wert von rXY f¨ur die obigen Daten w¨are ebenfalls rXY = 0.4. Sind bei Unternehmen mit hohen Ausgaben f¨ur Werbung auch die Gewinne h¨oher? Be- gr¨unden Sie Ihre Einsch¨atzung. (4 Punkte)
Hinweis:
Geben Sie in (a) zun¨achst die ben¨otigte allgemeine Formel an.
Runden Sie ggf. auf zwei Nachkommastellen.
Aufgabe 6 (17 Punkte)
Zufallsmechanismen kann man f¨ur verschiedenste Zwecke nutzen. Schon Mozart setzte f¨ur einen speziellen Sonatenzyklus Zufallsmechanismen ein, um die Melodien zu generieren. F¨ur ein Experiment hat nun ein Musikwissenschaftler insgesamt 800 Kompositionen zusammen- gestellt, die entweder nach einem Zufallsprinzip entstanden sind (Z) oder aber von Menschen komponiert wurden (ZC). Ein Expertenteam hat die Melodien dieser Kompositionen dahin- gehend eingeteilt, ob sie sich “gut” anh¨oren (G) oder eher nicht (GC). Unter insgesamt 500 zuf¨allig erzeugten Kompositionen konnten 220 vor dem Ohr der Experten bestehen. Insge- samt fand das Expertenteam 380 Kompositionen nicht gelungen.
(a) Stellen Sie den beschriebenen Sachverhalt in einer Kontingenztafel und in einem Venn- Diagramm dar. (5 Punkte)
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
1. eine zuf¨allig ausgew¨ahlte Komposition von einem Menschen geschaffen wurde?
(2 Punkte)
2. eine zuf¨allig ausgew¨ahlte Komposition zuf¨allig generiert wurde und gut klingt?
(2 Punkte)
3. eine zuf¨allig ausgew¨ahlte Komposition von einem Menschen geschaffen wurde und nicht gut klingt? (2 Punkte)
4. eine unter den zuf¨allig generierten Kompositionen zuf¨allig ausgew¨ahlte Komposi- tion gut klingt? (3 Punkte)
5. eine unter den gut klingenden Kompositionen zuf¨allig ausgew¨ahlte Komposition von Menschen geschaffen wurde? (3 Punkte)
Hinweis:
Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 3 Nachkommastellen.
