Prof. Dr. R. Schrader WS 2003/2004 Ch. Hagemeier
5. ¨ Ubung zur Vorlesung Graphentheorie
Abgabe: 27.–28.11.2003 Besprechung: 04.–05.12.2003 jeweils in Eurer ¨Ubungsgruppe
Beachte:Wenn nichts anderes vermerkt ist, sind alle in den ¨Ubungsaufgaben betrachteten Graphen einfach.
Aufgabe 18:
Sei G = (V, E) ein planarer Graph. Zeige die beiden folgenden Eigenschaften (ohne Ver- wendung der Dualit¨at von Graphen):
a) G enth¨alt mindestens einen Knoten v ∈V mit d(v)≤5.
b) Hat G keine Schnittkanten und ist d(v)≥3 f¨ur alle v ∈V, so existiert eine Region, die von h¨ochstens 5 Kanten begrenzt wird.
Aufgabe 19:
Zeige, dass der Petersen–Graph nicht planar ist, ohne den Satz von Kuratowski zu verwen- den.
Aufgabe 20:
Sei G = (V, E) planar und habe jeder Knoten v ∈ V geraden Grad. Beweise, dass dann der Dualgraph G∗ von Gbipartit ist.
Aufgabe 21:
Ein Graph G∗ = (V∗, E∗) heißt abstrakt dual zu G= (V, E), falls eine Bijektion zwischen E und E∗ existiert, so dass C ⊆ E ein Kreis in G genau dann ist, wenn C∗ ⊆ E∗ ein inklusionsminimaler Schnitt in G∗ ist.
Zeige, dass sowohl K3,3 als auch K5 keinen abstrakt dualen Graphen besitzen.
Aufgabe 22:
Sei G = (V, E) ein einfacher planarer Graph. Zeige, dass man die Knoten aus V mit
h¨ochstens 5 Farben so f¨arben kann, dass je zwei benachbarte Knoten verschiedene Farben aufweisen.
(Tipp: Verwende in einer Induktion ¨uber die Knotenzahl das Ergebnis aus Aufgabe 18 (a).
Betrachte nun einen geeigneten Teilgraphen G0 von G. Nutze dann in G0 die Anzahl der durch die Knoten mit zwei Farben induzierten Komponenten, um unter Umst¨andenGneu zu f¨arben, so dass G5–f¨arbbar ist.)
