(1)Distributionen, WS09/10 Bálint Farkas 5

Distributionen, WS09/10 Bálint Farkas

5. November 2009

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

2. Übung zu den L^p-Räumen

7.

a) BetrachteΩ = (0,1)undf(x) =x^α,α∈R. Für welche1≤p≤ ∞liegtf inL^p(Ω)?

b) BetrachteΩ = (0,1)^dundf(x) =|x|^α,α∈R. Für welche1≤p≤ ∞liegtf inL^p(Ω)?

8. Sei (Ω,A, µ) ein endlicher Maßraum (µ(Ω)<∞) und1≤r≤p≤ ∞. Beweise:

a) L^p(Ω, µ)⊆L^r(Ω, µ).

b) Fürf ∈L^∞(Ω, µ)gilt kfk∞= limp→∞kfkp. c) Falls f ∈L^p0 für einp0, so gilt kfk1= limp→1kfkp. Zeige auch, dassL^p_loc(R^d)⊆L¹_loc(R^d).

9. Sei n∈ N und 0< p_i ≤ ∞,f_i ∈L^pi für i= 1, . . . , n. Sei ferner 0 < p <∞ so, dass

1 p =Pn

i=1 1

pi. Beweise:

n

Y

i=1

fi ∈L^p und

n

Y

i=1

fi

_p ≤

n

Y

i=1

kfikpi .

10. Interpolationsungleichung. Seien p0, p1 ∈ (0,∞], p0 < p1, θ ∈ (0,1) und _p¹

θ :=

1−θ p0 +_p^θ

1. Sind f ∈L^p0(Ω, µ)∩L^p1(Ω, µ), dann f ∈L^pθ(Ω, µ), und es gilt kfk_pθ ≤ kfk^1−θ_p0 kfk^θ_p1.

Wir haben auch den folgenden “Interpolationssatz” gesehen: Für 0< p < r < q <∞ gilt

kfkp ≤1, kfkq ≤1 =⇒ kfkr ≤1.

11. Beweise die Interpolationsungleichung mithilfe der Interpolationssatz! Hinweis: mul- tipliziereµund f mit geeigneten Skalaren, so dass der Interpolationssatz verwendbar wird.

12. Beweise, dass ein normierter Vektorraum X genau damm vollständig ist, falls für jede Folgex_n ∈X die Konvergenz der Skalar-Reihe P

n∈Nkxnk auch die Konvergenz der Vektor-ReiheP

n∈Nxn inX impliziert.

13. Sei(Ω,A, µ) ein Maßraum. Die folgenden Aussagen sind zu beweisen.

a) Der RaumL¹∩L^∞(Ω, µ) :=L¹(Ω, µ)∩L^∞(Ω, µ), versehen mit der Normkfk_L¹∩L^∞ :=

kfk1+kfk∞, ist ein Banachraum.

b) Definiere L¹ + L^∞(Ω, µ) := {f : f : Ω → Kmessbar und∃g ∈ L¹(Ω, µ), h ∈ L^∞(Ω, µ) mit f =g+h}.Die Abbildung

kfk_L¹+L^∞ := inf{khk1+kgk∞:f =g+h, h∈L¹, g∈L^∞}.

ist eine Norm, versehen mit der L¹+L^∞ ein Banachraum ist.

14. Beweise das Folgende: Für1< p <∞ sind L^p-Räume strikt konvex, d.h. für f, g,∈ L^p(Ω, µ) mit kf +gk_p= 2,kfk_p =kgk_p = 1gilt f =g. Was kann man im Falle p= 1,∞ aussagen? Für welchep∈(0,+∞]sind die Einheitskugel in L^p konvex?

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5. November 2009

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

15. Beweise, dassL¹(R^d) versehen mit∗ eine kommutative Banach algebra ist, die kein neutrales Element besitzt! Wie sollte ein “solches Element” aussehen?

16. Beweise:

a) Falls f ∈ C(K), K ⊆ R^d kompakt, dann gilt sup_x∈K|f(x)| = kfkL^∞ =wesentliche Supremum von f.

b) Der Raum F_b(R^d) aller beschränkten Funktionen f : R^d → C versehen mit k · k∞ ist ein Banachraum.

c) BU C(R^d) versehen mit k · k∞ ist ein Banachraum.

d) Eine beschränkte Funktion f : R^d → C ist genau dann gleichmässig stetig, wenn die Abbildung

R^d∋y7→τ_yf ∈F_b(R^d) bezüglich der sup-Norm stetig ist.