Berechnung nicht-galoisscher kubischer Erweiterungen mit Mitteln der Klassenk¨orpertheorie

Berechnung nicht-galoisscher kubischer Erweiterungen

mit Mitteln der Klassenk¨ orpertheorie

Michael E. Pohst

Institut f¨ur Mathematik Technische Universit¨at Berlin

4.2.2015

Aufgabenstellung

Zur Berechnung aller ganzen Punkte einer Mordell Kurve y² = x³ + κ

bestimmt man

∆ := −108κ ,

welches im hier betrachteten Fall kein Quadrat ist. Wir schreiben

∆ = dλ² ,

wobeid die Diskriminante einer quadratischen Erweiterung Ω von F ist, also

Ω = F(√ d).

Die fraglichen kubischen ErweiterungenE besitzen eine

DiskriminanteD =df² mitf |λ. Im letzten Schritt m¨ussen wir dann alle Elemente inE mit IndexI =λ/f bestimmen.

A A A A A A A A AA

A A A A A A A AA

F E

Ω Γ

2 3

3 2

Nicht galoissche kubische Erweiterungen E /F

In Diagramm bezeichnet Γ die galoissche H¨ulle des K¨orpersE. (Γ ist dann eine zyklische kubische Erweiterung von Ω.) Gem¨aß Klassenk¨orpertheorie sind die Diskriminante d der

quadratischen Erweiterung Ω und eine IdealgruppeH vom Index 3 in der StrahlklassengruppeCl_f vom F¨uhrer f in Ω die Invarianten vonE.

Strahlklassengruppe

Es seiO_K die Maximalordnung eines globalen K¨orpers K, der F enth¨alt. Wir setzen

I := {1

aa|06=a∈R, 06=aIdeal inOK}, P := {αO_K|06=α∈K}, Cl := I/P ( Klassengruppe),

I_f := {a∈I|akoprim zu f O_K},

P_f := {αO_K|06=α∈K, α≡1 modf}, Cl_f := I_f/P_f Strahlklassengruppe zum F¨uhrer f.

Klassenk¨ orpertheorie zur Erweiterung E /F

Gem¨aß Klassenk¨orpertheorie sind die Diskriminante d der

quadratischen Erweiterung Ω und eine IdealgruppeH vom Index 3 in der StrahlklassengruppeCl_f vom F¨uhrer f in Ω die Invarianten vonE.

Man zerlegtCl_f in ein direktes Produkt zyklischer UntergruppenG_i (1≤i ≤r), deren Elementzahlenni die Teilbarkeitsbedingungen n1|n₂|. . .|n_r erf¨ullen. Ist dann j minimal mit der Eigenschaft 3|n_j, so existieren genau (3^r−(j−1)−1)/2 Kandidaten f¨ur H. (Von diesen besitzen im allgemeinen nicht alle den F¨uhrer f.)

Klassenk¨ orpertheorie zur Erweiterung E /F

Gem¨aß Klassenk¨orpertheorie sind die Diskriminante d der

quadratischen Erweiterung Ω und eine IdealgruppeH vom Index 3 in der StrahlklassengruppeCl_f vom F¨uhrer f in Ω die Invarianten vonE.

Man zerlegtCl_f in ein direktes Produkt zyklischer UntergruppenG_i (1≤i ≤r), deren Elementzahlenni die Teilbarkeitsbedingungen n1|n₂|. . .|n_r erf¨ullen. Ist dann j minimal mit der Eigenschaft 3|n_j, so existieren genau (3^r−(j−1)−1)/2 Kandidaten f¨ur H. (Von diesen besitzen im allgemeinen nicht alle den F¨uhrer f.)

Klassenk¨ orpertheorie zur Erweiterung E /F

LemmaEs bezeichne τ den nicht trivialen F-Automorphismus von Ω, der√

d auf −√

d abbildet.

(i) Γ/F ist genau dann galoissch, wennτ(H) =H gilt.

(ii) Γ/F ist genau dann abelsch, wennτ(aH) =aH gilt.

F¨ uhrer f bei Zahlk¨ orpern (nach Hasse)

LemmaDer F¨uhrer f ist von der Form f = p^w_op₁· · ·p_n ,

wobei diep_i paarweise verschiedene Primzahlen6= 3 sind und p₀ = 3 mitw ∈ {0,1,2} gilt. F¨urw = 1 muss ¨uberdies

d ≡ ±3 mod 9 und f¨urw = 2 zudem 36 |d oderd ≡ −3 mod 9 gelten. Weiterhin m¨ussen die Primzahlenp_i f¨ur 1≤i ≤n die Kongruenzen

d p_i

≡pi mod 3 erf¨ullen.

F¨ uhrer bei Funktionenk¨ orpern F

(t)

Der F¨uhrer f ist ein Produkt verschiedener Primelementeπ vonoF. F¨urq ≡1 mod 3 m¨ussen alle Primteiler π vonf in Ω zerlegt sein.

F¨urq ≡2 mod 3 k¨onnen nur solche Primelemente π den F¨uhrer f teilen, welche entweder zerlegt mit deg(π) gerade oder tr¨age mit deg(π) ungerade sind.

Der Algorithmus

1. F¨ur ∆ =−108κ berechne alle Tripel (D,d,f).

F¨ur jedes Tripel f¨uhre aus:

2. Berechne die Strahlklassengruppe Cl_f vom F¨uhrer f in Ω =F(√

d).

3. Berechne alle Untergruppen H vom Index 3 in Cl_f. F¨ur jede UntergruppeH f¨uhre aus:

4. Berechne den Klassenk¨orper Γ und ¨uberpr¨ufe F¨uhrer und Galoisgruppe.

5. Berechne den kubischen Teilk¨orperE von Γ.

6. In E (mit DiskriminanteD) l¨ose eine Indexformgleichung mit rechter Seitep

∆/D.