Bem: Ist ein L NP -vollständig und L ∈ P , so folgt P = NP

Martin Ziegler

Komplexitätstheorie

NP -Vollständigkeit

L heißt NP -schwer, falls für jedes A ∈ NP gilt: A

L.

L heißt NP -vollständig, falls NP -schwer und ∈ NP ist.

Bem: Ist ein L NP -vollständig und L ∈ P , so folgt P = NP

Korollar: Falls NP ≠ P gilt, dann sind alle NP -vollständigen Sprachen in NP \ P , also insbesondere nicht in P .

A heißt polynomiell reduzierbar auf B ( „A

_{B” ),}

falls es eine in polynomieller Zeit berechenbare totale Funktion f: Σ * → Σ * gibt mit x ∈ A ⇔ f(x) ∈ B ∀ x ∈ Σ *.

Lemma: a) A

_{B und B} ∈ P ⇒ A ∈ P

b) A

_{B und B}

_C ⇒ A

_C (Transitivität)

P

NP c NP

(und 1 000 000 $US)

Komplexitätstheorie

Die Master-Reduktion

Satz von Cook-Levin (1971/72) SAT ist NP -vollständig.

Zu zeigen:

• SAT ∈ NP

(schon erledigt)

• Für jedes L ∈ NP gilt:

L

SAT

Martin Ziegler 15

Komplexitätstheorie

Beweisidee

Sei L ∈ NP , N=(Q, Σ , Γ , δ , q

,F) eine 1-NTM,

die L in Zeit T(n) entscheidet für ein Polynom T.

O.B.d.A.: N macht immer genau T(n) Schritte!

Aufgabe: Beschreibe eine in polynomieller Zeit berechenbare Funktion f, die bei Eingabe w ∈ Σ *

eine Boole‘sche Formel Φ

=f(w) liefert, so dass gilt:

N akzeptiert w ⇔ Φ

ist erfüllbar

Idee: Konstruiere Formel Φ

so, dass erfüllende Belegungen für

zu akzeptierenden Rechnungen von N korrespondieren.

Boole‘sche Variablen von Φ und ihre intuitive Bedeutung:

d

: „Nach Schritt t steht in Bandzelle #s das Symbol a“

h

: „Nach Schritt t steht der Kopf auf Zelle #s“

z

: „Nach Schritt t ist N im Zustand q“

∀ L ∈ NP : L ^{≼ ≼≼ ≼} _p SAT

a ∈ Γ , q ∈ Q

s=1..S(|w|), t=0…T(|w|)

Komplexitätstheorie

Beweisskizze

T(n)·S(n)·|Γ| + T(n)·S(n) + |Q|·T(n)

= polynomiell viele Var.en Jede Rechnung von N gestartet mit w kann durch

passende Belegung der Var.en beschrieben werden.

Belegungen können aber auch Unsinn beschreiben.

Ziel: Entwerfe KNF Φ , die genau für diejenigen Belegungen der Variablen wahr wird, die eine akzeptierende Rechnung von N beschreiben.

Konstruiere Formel Φ

so, dass erfüllende Belegungen für Φ zu akzeptierenden Rechnungen von N korrespondieren.

Boole‘sche Variablen von Φ und ihre intuitive Bedeutung:

d_s,a,t: „Nach Schritt t steht in Bandzelle s das Symbol a“

h_s,t : „Nach Schritt t steht der Kopf auf Zelle s“

z_q,t : „Nach Schritt t ist die Maschine im Zustand q“

a∈Γ, q∈Q s=1..S(|w|) t=0…T(|w|)

Martin Ziegler

Komplexitätstheorie

Teilformeln von Φ

V_t := der Teil der Variablen, die zum Rechenschritt #t gehören

= { d_s,a,t : a ∈ Γ, s ≤ S } ∪ { h_s,t : s ≤ S } ∪ { z_q,t : q ∈ Q } Config(V_t) : wird wahr genau für die Belegungen von V_t ,

die eine Konfiguration beschreiben.

Succ(V_t, V_t+1) : wird wahr genau für die Belegungen von V_t ∪ V_t+1, die Konfigurationen K und K´ beschreiben mit K ⊢ K´ .

Start_w(V₀) : wird wahr genau für Belegung, die q₀w beschreibt.

Akz(V_T) wahr für Belegung, die einen akz. Endzustand beschreibt

Konstruiere Formel Φ

so, dass erfüllende Belegungen für Φ zu akzeptierenden Rechnungen von N korrespondieren.

Boole‘sche Variablen von Φ und ihre intuitive Bedeutung:

d_s,a,t: „Nach Schritt t steht in Bandzelle s das Symbol a“

h_s,t : „Nach Schritt t steht der Kopf auf Zelle s“

z_q,t : „Nach Schritt t ist die Maschine im Zustand q“

a∈Γ, q∈Q s=1..S(|w|) t=0…T(|w|)

Φ

(V

,..,V

) := Config(V

) ∧ Config(V

) ∧ … ∧ Config(V

)

∧ Start

(V

) ∧ Succ(V

,V

) ∧ … ∧ ^Succ(V

^,V

⁾ ∧ Akz(V

)

Komplexitätstheorie

Skizze zum Beweis

Τ

S

► s w

w

w

w

░ ░ ░ ░ ░ ░ ░

t=1

► … … … … q

… … … …

t=2

t=T

Gibt es solch eine Rechnung auf der NTM?

Start(V

,w)

Akz(V

)

Gibt es so eine Belegung?

Succ(V

,V

) Succ(V

,V

)

Succ(V

,V

)

C o n fig (V

) ∧ … ∧ C o n fig (V

)

Martin Ziegler 19

Komplexitätstheorie

Config(V), Start _w , Akz

Abkürzung uniq(x

,…,x

) := (x

∨ … ∨ x

) ∧ ∧

^{( ¬ x}

^{∨ ¬ x}

⁾

wahr ⇔ genau ein x

ist wahr , Länge O(r

).

Config(V) :=

uniq(h

,…,h

) ∧ uniq(z

:q ∈ Q) ∧ ∧

^uniq(d

^{:a ∈ Γ)}

hat Länge O(S

+|Q|

+S · | Γ |

) = O(S

), da NTM N fixiert.

Start

(V) := h

∧ z

∧ d

1

∧ … ∧ d

n

∧ d

∧ … ∧ d

Akz(V) := z

+

wahr für Belegungen, die eine Konfiguration beschreiben V = { d

: a ∈ Γ , s ≤ S } ∪ { h

: s ≤ S } ∪ { z

: q ∈ Q } d

: „in Bandzelle #s steht das Symbol a“

h

: „Kopf steht auf Zelle #s“ z

: „N ist in Zustand q“

Start

(V) : wird wahr genau für Belegung, die q

w beschreibt.

Länge O(S)

Komplexitätstheorie

nicht in KNF!

aber äquivalent umformulierbar

Succ(V _t ,V _t+1 )

Abkürzungen: „x=y“ ⇔ (x ∨ ¬ y) ∧ ( ¬ x ∨ y)

γ

:= „(h

∧ z

∧ d

) ⇒ (z

∧ d

∧ h

)“

γ

(V

,V

) und γ

(V

,V

) analog

wahr genau für die Belegungen, die aufein- anderfolgende Konfigurationen beschreiben

d_s,a,t: „Nach Schritt t steht in Bandzelle s das Symbol a“

h_s,t : „Nach Schritt t steht der Kopf auf Zelle #s“

a∈Γ, q∈Q s=1..S

„Kopf steht auf Bandzelle #s oder Zelle #s bleibt unverändert“

Succ (V

,V

) := ∧

∧

^{( h}

^{∨ „d}

^{= d}

^{“ )}

∧ ∧

∨

^γ

(V

,V

)

Martin Ziegler

Komplexitätstheorie

Jeweils berechenbar aus w in polynom. Zeit

Config(V_t) : wird wahr genau für die Belegungen von V_t , die eine Konfiguration beschreiben.

Succ(V_t, V_t+1) : wird wahr genau für die Belegungen von V_t ∪ V_t+1, die Konfigurationen K und K´ beschreiben mit K ⊢ K´ .

Start_w(V₀) : wird wahr genau für Belegung, die q₀w beschreibt.

Akz(V_T) wahr für Belegung, die einen akz. Endzustand beschreibt

Zusammenfassung des Beweises

N akzeptiert w ⇔ Φ _w ist erfüllbar

Φ

(V

,..,V

) := Config(V

) ∧ Config(V

) ∧ … ∧ Config(V

)

∧ Start

(V

) ∧ Succ(V

,V

) ∧ … ∧ ^Succ(V

,V

) ∧ Akz(V

)

Berechenbar in polynom. Zeit und gilt:

Komplexitätstheorie

NP-vollständige Probleme

Def. (Erinnerung): A heißt NP -vollständig, falls A ∈ NP und für jedes L ∈ NP gilt: L ≼≼ ≼ ≼

A

Cook-Levin: SAT ist NP -vollständig.

Wissen: CLIQUE ≡

IS ≼ ≼≼ ≼

SAT ≡

3SAT ≼≼ ≼ ≼

IS.

⇒ auch CLIQUE, IS, 3SAT sind NP -vollständig

Lemma. Sei A NP -vollständig und gelte:

• B ∈ NP

• A ≼ ≼≼ ≼

B

Dann ist auch B ist NP -vollständig. P

NP c

NP

Martin Ziegler 23

Komplexitätstheorie

A NP-vollständig, B ∈ NP und A ≼≼≼≼_p B. Dann auch B NP-vollständig.

SubsetSum ^NP -vollständig

SubsetSum ∈ NP √ Zeige: 3SAT ≼

_SubsetSum

In polynom. Zeit: 3KNF Φ → X ⊆ und b ∈ mit:

∃ erfüllend. Belegung von Φ ⇔ ∃ Y ⊆ X: b= Σ

a { 〈a

,…,a

,b〉 | a

,…,a

,b ∈ , ∃ α

,…, α

∈ {0,1} : b= Σ

^a

^· α

}

Bsp Φ = (x

∨ ¬ x

∨ x

) ∧ ( ¬ x

∨ x

∨ x

) ∧ ( ¬ x

∨ ¬ x

∨ ¬ x

)

v

:= 100 10000 v

:= 000 01000 v

:= 000 00100 v

:= 010 00010 v

:= 110 00001

v

‘ := 010 10000 v

' := 002 01000 v

' := 100 00100 v

' := 000 00010 v

' := 001 00001

b := 444 11111 c

:= 100 00000 d

:= 200 00000 c

:= 010 00000 d

:= 020 00000 c

:= 001 00000 d

:= 002 00000

m Klauseln in n Var. → 2n+2m+1 Werte à n+m Dez.ziffern