UBUNGEN ZUR VARIATIONSRECHNUNG IM SS 2011¨ BLATT 9 (BESPRECHUNG AM 26. MAI)
SABINE HITTMEIR
Aufgabe 1. Zeigen Sie, dass die FunktionF(A) = detA, wobei F auf der Menge der 2×2 - Matrizen definiert ist,nicht konvex ist.
Aufgabe 2. Es sei u : Rd → Rd ein glattes Vektorfeld. Beweisen Sie folgende Divergenzformel f¨ur die Kofaktormatrix der JacobischenDu:
d
X
j=1
∂
∂xj(cofDu)ij = 0, i= 1, . . . , d.
Hinweis:Beweisen Sie zun¨achst, daß f¨ur beliebige MatrizenA∈Rd×d mit Eintr¨agen ak` gilt:
∂
∂ak`(detA) = (cofA)k`. Verwenden Sie dann die Identit¨at
Du(cofDu)T = detDu Id und bilden Sie die Divergenz.
Aufgabe 3. Seien φ, f ∈ L2(Ω), wobei Ω⊂ Rn ein beschr¨anktes Ge- biet mit glattem Rand ist. Definiere
U ={w∈L2(Ω) :w≥φ f.¨u. in Ω}
Zeigen Sie, dass eine eindeutige L¨osung u ∈ U der Variationsunglei- chung
Z
Ω
u(w−u)dx≥ Z
Ω
f(w−u)dx ∀w∈U
existiert. Hinweis: Uberpr¨¨ ufen Sieu(x) = max{φ(x), f(x)}.
Aufgabe 4. Berechnen Sie Γ−lim Fn f¨ur die FolgenFn:R→R (i)
Fn(x) :=
nx 0≤x≤ 1n 2−nx n1 ≤x≤ n2
0 sonst
sabine.hittmeir@tuwien.ac.at.
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2 SABINE HITTMEIR
(ii)
Fn(x) :=
−nx 0≤x≤ 1n
−2 +nx n1 ≤x≤ n2
0 sonst
