7 .1 M e tr ik (A bs ta nd)

(1)

K a pi te l 7

M e tr ik , N o rm und Sk a la rpr o duk t

AusIhrert¨aglichenPraxissindIhnendieBegri↵eAbstandundL

¨ange

,m

weisegarWinkelwohlvertraut. ¨oglicher-

7 .1 M e tr ik (A bs ta nd)

Definition:SeiMeineMenge.EineAbbildungd:M⇥M!RisteineMetrikinM,genaudannwenn

(Met1)d(x,y)0f

¨ur

allex,y2M

(Met2)d(x,y)=0genaudann,wennx=y

(Met3)d(x,y)=d(y,x)

(Met4)d(x,y)+d(y,z)d(x,z)

cMartinWilkens10922.August2014

(2)

110Metrik,NormundSkalarprodukt

Mannenntd(x,y)auchdenAbstandderbeidenPunktex,y2M,entsprechenddeineAbstandsfunktion.IstaufeinerMengeMeineMetrikdeingef

¨uhr

t,sagtmanMseieinMetrischerRaum,zuweilennotiert(M,d).

DieAxiome(1)–(3)gebendemintuitivenAbstandbegri↵eineForm:Abst¨andesindpositiv(niemandw

derbeidenPunktezumdrittenPunkt. jezweierPunkteeinesDreiecksistimmerkleinergleichderSummederAbstände BerlinundPotsdam.Axiom(4)nenntmanauchDreiecksungleichung:derAbstand Null,derAbstandvonPotsdamundBerlinistdergleichewiederAbstandvon Minus-Sieben-Meilen”verstehen),derAbstandzwischenPotsdamundPotsdamist ürdedieAussage“DerAbstandvonBerlinundPotsdambeträgt Beispiel:DieMenge(!)R nmit

d(x,y):= p(x1y1)2+(x2y2)2+···+(xnyn)2(7.1)

isteinmetrischerRaum.DiehierausgezeichneteAbstandsfunktionisteinekarte-sischeDarstellungderEuklidischenMetrikdesR n.WerdenSatzdesPythagorasnichtvergessenhat,wirdsich

¨ub

erdieDefinition(7.1)nichtwundern.Manbeachteallerdings,dassauchd1(x,y):=|x1y1|+|x2y2|+···+|xnyn|odergard2:=max(|x1y1|,|x2y2|,...,|xnyn|)akzeptableMetrikenf¨urdenR n.

7.2 Nor m (L

¨a ng e ) .. .

VomBegri↵desAbstandsistderBegri↵derL

¨ang

ewohlzuunterscheiden:EinDingbefindetsichineinemgewissenAbstandzueinemanderenDing–AbstandisteinePaarbeziehung.ImGegensatzdazubeziehtsichderBegri↵derL

¨ang

eaufnureinDing(einZollstock,einWeg).

22.August2014110cMartinWilkens

(3)

7.2Norm(L

¨ange)...111

DermathematischeL

¨ang

enbegri↵vonVektorenistderBegri↵derNorm,undsoistsiedefiniert:

Defintion:SeiVreellerVektorraum.EineAbbildungk·k:V!RisteineNorminVgenaudannwenn

(1)k~vk0wobeik~vk=0nurgenaudann,wenn~v=o.

(2)k~vk=||k~vk

(3)k~u+~vkk~uk+k~vk

EinVektor~vmitk~vk=1heißtEinheitsvektor.IsteinVektorraumVmiteinerNormk·kversehen,sagtmanVseieinnormierterVektorraum,notiert(V,k·k).EinnormierterVektorraumistimmeraucheinmetrischerRaum:diemitd(~u,~v):=k~u~vkdefinierteAbbildunggen

¨ug

tdenAxiomeneinerMetrik!Mansagt,dieNorm(desVektorraumsV)induziereeinMetrik(aufderGrundmengeV).

DerNormeinesVektorsentsprichtdieL

¨ang

eseinerPfeildarstellunginderEuklidi-schenGeomtrie,undL

¨ang

ensindpositiv,wasin(1)zumAusdruckgebrachtwird.Strecken(oderStauchen)bedeutetnach(2)verl¨angernbzw.verk

istdieElementarweisheitf¨ureinDreieckausgedr ¨urzen.Undin(3)

¨uckt,dassn

¨amlic

himDreieckjedeSeitek

¨urzeralsdieSummederL

¨ang

enderbeidenanderenSeiten.

Beispiel:DerVektorraum(!)R nistmit

k~xk= p(x1)2+(x2)2+···+(xn)2(7.2)

einnormierterVektorraum.O↵ensichtlicheinduziertk·kgenaudiein(7.1)verein-barteMetrikf¨urdenZahlenraumR n.

(4)

7 .3 .. . und Sk a la rpr o duk t (Wi nk e l)

Definition:SeiVreellerVektorraum.EineAbbildungg:V⇥V!RdefinierteinSkalarproduktgenaudannwenn

(1)g(~u,1~v1+2~v2)=1g(~u,~v1)+2g(~u,~v2)undg(1~u1+2~u2,~v)=1g(~u1,~v)+

2g(~u2,~v)(gistbilinear)

(2)g(~u,~v)=g(~v,~u)(gistsymmterisch)

(3)g(~u,~v)0undg(~v,~v)=0nurf¨ur~v=o(gistnichtausgeartet)

IsteinreellerVektorraummiteinemSkalarproduktversehen,redetmanvoneinemEuklidischenVektorraum,notiert(V,g).Stattg(~u,~v)notiertmandasSkalarpro-duktvon~uund~vauchgerneh~u,~vi,odernochk

nichtandersgesagt–diePunktnotation. ¨urzer~u·~v.Wirbenutzen–sofern

DasSkalarproduktinkomplexenVektorr

¨aume

ngen

¨ug

t¨ahnlic

henAxiomen:(1a)und(3)unver¨andert,(2)wirdersetztdurchg(~u,~v)=g(~v,~u) ⇤,und(1b)entspre-chendg(1~u1+2~u2,~v)= ⇤1g(~u1,~v)+ ⇤2g(~u2,~v)(dasSternchenbedeutetKomplex-Konjugation).EinkomplexerVektorraummitSkalarproduktfirmiertauchunterderBezeichnungunit¨arerVektorraum,undmansagt,dasSkalarproduktseiHer-mitesch(stattsymmetrisch),undsesqulinear(stattblinear).

DieAbbildung~v7! p~v·~vgen

¨ug

tdenNormaxiomen,daherist

k~vk:= p~v·~v.(7.3)

eineNormf¨ur(V,·).

AusderElementargeometrieistIhnenderSatzdesPythagorasvertraut:ineinemrechtwinkligenDreieckistdasQuadrat

¨ub

erderHypothenusegleichderSummeder

(5)

7.3...undSkalarprodukt(Winkel)113

Quadrate

¨ub

erdenbeidenKatheten,c 2=a 2+b 2.EinKorellaristderKosinussatz:c 2=a 2+b 2+2abcos(')worin'derdurchaundbgegebenenAußenwinkel(?mussichnochrichtigbezeichnen).

Abb7.1GeometrsicheDeutungdesSka-larproduktsimKosinussatz. k~u+~vk 2=(~u+~v)·(~u+~v)(7.4)=~u·~u+~v·~v+~u·~v+~v·~u(7.5)=k~uk 2+k~vk 2+2~u·~v(7.6)

VergleichmitdemKosinussatzderGeometrie

~u·~v=:k~ukk~vkcos'(7.7)

worin'dervon~uund~vgebildeteWinkel.EntsprechendheißenzweiVektoren~u,~vorthogonal,wennihrSkalarproduktgleichNull,~u·~v=0.

HatmaneinenVektor~u,l

1nwirdsiebenutzt,umeinegegebeneV-Basis(b,...,b)zuorthonormieren:~~ Zerlegungisteindeutig.ImErhardSchmidt’schenOrthonormalisierungsverfahren k~ukkk2?ksenkrechtauf~u,und~vVielfachesvon~u,genauer~v=~u,und~v=~v~v.Die ~u·~v k??¨asstsichjederVektor~vzerlegen~v=~v+~v,worin~v

~e1:= 1k~b1k ~b1,~ei:= ~bi Pi1k=1(~ek·~bi)~ek~bi Pi1k=1(~ek·~bi)~ek ,i=2,...,n.(7.8)

PerKonstruktiondefiniert(~e1,...,~en)einesog.OrthonormalbasisvonV,alsoeineVektorraumbasismit

~ei·~ej=ij:= ⇢1f

¨ur

i=j0f

¨ur i6=j (7.9)

(6)

Seiennun~vund~uzweiVektoren,nachderOrthonormalbasisentwickelt~v=~eiv i

und~u=~eiu i,erh

¨alt

manf¨urihrSkalarprodukt

~u·~v= nX

i=1 ~eiv i !· nX

j=1 ~ejv j !

= X

ij v iu j(~ei·~ej|{z}=ij )

=v 1u 1+v 2u 2+···+v nu n.(7.10)

bzw.mitEinstein’scherSummenkonventionkurzundb

¨undig

~u·~v=iju iv j.WasIhnenihrinFormderijbegegnetistdieEuklidischeMetrik–genauer:dieKom-ponentenderEuklidischenMetrikineinerOrthormalbasis.

7 .4 A dj ung ie rt e

IneinemK-Vektorraum(K=RoderC)mitSkalarprodukth·,·iistjedemEndo-morphismusAviah~u,A †(~v)i:=hA(~u),~vi(7.11)einEndomorphismusA †zugeordent,genanntderAdjungiertevonA.GiltA †=AsoheißtAselbstadjungiert.

AusderdefinierendenGleichungfolgtf¨urdasAdjungierteeinerVerkettung

(AB) †=B †A †(7.12)

wasstarkandieInversioneinerVerkettungerinnert,(AB) 1=B 1A 1.IneinerDarstellungimK nmitStandardbasisund-SkalarproduktbezeichnetA †diezurMatrixAadjungierteMatrix.IhreElementelassensichleichtaus(7.11)ablesen

A †ij=A ji ⇤.(7.13)

(7)

7.5Unit¨areundOrthogonale115

ImMatrizenbildbedeutetdas“SpiegelnanderDiagonalenundkonjugiert-komplexnehmen”.SpiegelnanderDiagonalennenntmanauchTransposition,unddaimreellenVektorraumKomplex-Konujgationentf¨alltistinsolchenVektorr

¨aume

ndieAdjungiertegleichderTransponierten.IstAselbstadjungiert,heißtA=A †mitA ij=A ji ⇤Hermitesch.HatmanesmiteinemreellenVektorraumzutun,heißtA=A TmitA ij=A jisymmetrisch.SymmetrischeMatrizensinddasBrotundButterderPhysik.DerTr¨agheitstensor,beispielsweise,aberauchderDielektrizit

werdenh ¨atstensor

¨aufig

mitsymmetrischenMatrizendargestellt.

7 .5 U ni t¨a re und O rt ho g o na le

EinEndomorphismuUunterdemdasSkalarproduktinvariantist,hU(~u),U(~v)i=h~u,~viheißtunit¨arfallsVkomplexerVektorraum,undorthogonalfallsVreellerVektorraum.MitBlickauf(7.11)giltf¨urunit

¨areEndomorphismen

U †U=idVbzw.U †=U 1,(7.14)

undanalogf¨urorthogonale

R TR=idVbzw.R T=R 1.(7.15)

EinelineareAbbildung,diedasSkalarpoduktineinemEuklidischenVektorraumrespektiert,respektiertimmerauchdieNormkR(~v)k 2=k~vk 2,d.h.orthogonaleEinheitsvektorenwerdenunterRauforthogonaleEinheitsvektorenabgebildet.Ab-bildungendiesenTypsdefinierendieIsometrieneinesEukldischenVektorraums,unddassindzumeinendieSpiegelungen,zumanderendiereinenDrehungen.

SosindbeispielsweiseimEuklidischenVektorraumR 2diebeidenMatrizen

Rd= ✓cos'sin'sin'cos' ◆oderRs= ✓cos'sin'sin'cos' ◆(7.16)

(8)

orthogonal.DieerstederbeidenbeschreibteinereineDrehung(manmachesichdasaneinerSkizzeklar),diezweiteeineSpiegelung, 1gefolgtvoneinerDrehung.OrthogonaleMatrizen,diereineDrehungenbeschreiben,heißenauchtre↵endDreh-matrizen.DrehmatrizenbleibenunterMatrixmultiplikationuntersich–siebildendiesog.speziell-orthogonaleGruppeSO(n).Das“speziell”bedeutet,dassdieDe-terminantederartigerMatrizendenWert1hat.¨UberDeterminantenredenwirindern

¨achstenVorlesung...

1dargestellt ✓1001 ◆f¨ureineSpiegelunganderX-Achse.

(9)

7.6Aufgaben117

7 .6 A uf g a b e n

.Aufgabe7-1

ManbestimmedieNormderVektoren

a= 0@ 112 1A,b= 0@ 345 1A(7.17)

ihrSkalarproduktunddenWinkel,densiebilden.

.Aufgabe7-2

MittelsErhard-Schmidt’schemOrthogonalisierungsverfahrenerzeugemanaus

a= 0@ 123 1A,b= 0@ 321 1A,c= 0@ 342 1A.(7.18)

eineOrthonormalbasis.

.Aufgabe7-3

GegebendreiVektoren(vgl.Aufgabe5(b)vom¨Ubungsblatt5)

~a= 0@ 123 1A,~b= 0@ 321 1A,~c= 0@ 342 1A.(7.19)

BerechnenSiedieSkalarprodukte~a·~b~a·~c,~b·~c,dieKreuzprodukte~a⇥~b,~a⇥~c,~b⇥~cunddasSpatprodukt~a·(~b⇥~c).

(10)

.Aufgabe7-4

GegebendreiVektoren

~a= 0@ 123 1A,~b= 0@ 321 1A,~c= 0@ 234 1A.(7.20)

BerechnenSiedasSpatprodukt.Hinweis:Auf

¨ubung

sblatt5,Aufgabe5(a)habenSieschongezeigt,dassdiesedreiVektorenlinearabh

¨ang

ig.M

oderk ¨ussenSiedasSpatproduktalsowirklichausrechnen,

¨onne

nSiedieAntwortgleichhinschreiben?

.Aufgabe7-5

UntereinemOrtsvektor~xverstehtmaneinenVektor,dessenSchaftineinembeson-derenPunkt,dem“Ursprung”Obefestigtist,unddessenSpitzeeinenRaumpunktPbezeichnet.W

¨ahlt

maneineOrthonormalbasis~ei,fungierendieKomponentenx 1,x 2,x 3desOrtsvektors~x=~eix ialskartesischeKoordinatenvonP.Dabeizeigt~e1vereinbarungsgem

stattdesverwirrendenx,x,x. 123 3~einRichtungderZ-Achse.DieKomponentenvon~xschreibtmandannauchx,y,z 2¨aßinRichtungderX-Achse,~einRichtungderY-Achse,und

HatmannuneineVektorgleichung,beispielsweise~x·~e3=0,bestimmenderenL

L 3¨osungeneingeometrischesObjekt.ImFalle~x·~e=0sindalleOrtvektoren~x

Ebene,dieXY-Ebene! derenZ-KomponentegleichNull,unddieEndpunktedieserVektorenbildeneine 3¨osung,diesenkrechtauf~estehen.DassindaberallediejenigenOrtsvektoren,

(a)WelchesgeometrischeObjektwirddurchdieGleichung|~x|=1bestimmt?

(11)

7.6Aufgaben119 (b)WelchesgeometrischeObjektwirddurchdieGleichung|~x~x0|=Rbestimmt,wobei~x0festerOrtsvektorundReinfestesSkalar?(c)WelchesgeometrischeObjektwirddurchdieGleichung~x·~e=0bestimmt,wobei~efesterEinheitsvektor?(d)WelchesgeometrischeObjektwirddurchdieGleichung~x⇥~a=~b⇥~abestimmt,wobei~aund~bfesteVekoren?Hinweis:EigentlichsinddasdreiGleichungen.Warum?

(e)¨UberzeugenSiesichdavon,dassmit~x·~k=k 2f¨urfestes~kundk=|~k|derBetragvon~kdieEbenesenkrechtzu~kimAbstandkvomUrsprungausgezeichnetist.

DerDuckeinerSchallwellekanninderFormp(~x,t)=p0+f(~k·~x!t)angegebenwerden,worinfirgendeine“sch

¨one

”Funktion(nichtunbedingtSinusoderCosinus).

(f)BestimmenSiedieOrteandenenzueinembestimmtenZeitpunktt0derDruckp0+f(0)herrscht.(g)Wiebewegtsichdasin(f)bestimmtegeometrischeObjekt,undwelchesistgegebenenfallsseineGeschwindigkeit?

Bemerkung:In(f)und(g)begegnetIhneneinwichtigesphysikalischesKonzept–dieebeneWelle.Warumdiewohl“eben”heißt?

(12)