§1. Elementare Zahlentheorie

(1)

Skriptum

EINF ¨ UHRUNG IN DIE ALGEBRA

G¨ unter Lettl SS 2010

§1. Elementare Zahlentheorie

N={1,2,3,4,5, . . .} Menge der natürlichen Zahlen Z={. . . ,−2,−1,0,1,2, . . .} Menge der ganzen Zahlen N0 ={0,1,2,3,4,5, . . .} Menge der nicht negativen, ganzen Zahlen Q={â_b |a, b∈Z, b6= 0}={â_b |a∈Z, b∈N} Menge der rationalen Zahlen

R Menge der reellen Zahlen C Menge der komplexen Zahlen F¨ur x∈R heißt

|x|:=

( x falls x≥0

−x falls x <0 der Absolutbetrag von x,

sgn(x) :=







1 falls x >0 0 falls x= 0

−1 falls x <0

das Signum (oder Vorzeichen) von x und

[x] := max{n∈Z|n≤x} das gr¨oßte Ganze kleiner oder gleichx .

Beispiel 1: F¨ur welche x∈Rgilt x= sgn(x)|x|, und f¨ur welche gilt _|x|^x = sgn(x)?

Beispiel 2: Berechnen Sie [2,5], [−0,75], [⁴⁷²₄₇₃], [−⁷₃].

Beispiel 3: Zeigen Sie anhand von Gegenbeispielen, dass im allgemeinen[x] + [y] = [x+y]und [2x] = 2[x]falsch ist.

Prinzip der vollst¨andigen Induktion f¨ur N:

Ist M ⊆ N mit 1 ∈M und gilt f¨ur alle m ∈M: ,,falls m∈ M, so ist auch m+ 1∈ M”, dann istM =N.

Prinzip vom Minimum:

Ist ∅ 6=M ⊂N, so existiert m₀ = min(M)∈M (⇐⇒ jede nicht leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element.)

1

(2)

1.1 Teilbarkeit und Fundamentalsatz der Arithmetik

Definition 1 (Teilbarkeit in Z). Es seien a, b ∈ Z. Gibt es eine Zahl a⁰ ∈ Z mit a·a⁰ =b, so sagt man:

•) a teilt b (und schreibt: a |b)

•) b ist durch a teilbar

•) a ist ein Teiler von b

•) b ist einVielfaches von a.

a⁰ heißt dann Komplement¨arteiler zu a (bez¨uglich b).

Ist a kein Teiler vonb, schreibt man: a-b.

Lemma 1 (Eigenschaften der Teilerrelation).

Es seien a, b, c∈Z. Dann gilt:

a) a |b ⇔ |a|

|b| ⇔ ±a| ±b.

b) 0|b ⇔ b = 0.

c) 1|b , a|0 und a|a.

d) a|b und b |c ⇒ a|c.

e) a|b und a|c ⇒ a |b±c.

f ) a|b ⇒ ac|bc.

g) a|b und b6= 0 ⇒ |a| ≤ |b|.

h) a|b und b |a ⇔ |a|=|b| ⇔ a=±b.

Beispiel 4: Beweisen Sie die (in der Vorlesung nicht bewiesenen) Punkte von Lemma 1 sowie folgende Aussagen:

Sinda, b, c, d∈Z, so gilt:

i)a|b und c|d ⇒ ac|bd (Tip: Lemma 1.d), f) verwenden) ii) a|b ⇒ a|bc

Sindk∈N, a1, . . . , ak, c1, . . . , ck, d∈Z, so gilt:

(d|a1 und d|a2 und ... d|ak)⇒ d

Pk i=1ciai.

Definition 2.

a) F¨ur a∈Z definieren wir

T(a) ={t ∈N| t |a} Menge der positiven Teiler von a V(a) = {v ∈N| a|v} Menge der positiven Vielfachen von a b) Die Teileranzahlfunktion τ wird definiert durch

τ :N→N

n 7→τ(n) :=|T(n)|

(3)

c) Es seien a₁, a₂, . . . , a_k ∈Z. Sind nicht alle a_i = 0, so heißt

d= max T(a₁)∩ · · · ∩T(a_k)

∈N der gr¨oßte gemeinsame Teiler von a1, . . . , ak.

Schreibweise: d= ggT(a₁, . . . , a_k) = (a₁, . . . , a_k) = gcd(a₁, . . . , a_k).

Sind alle ai 6= 0, so heißt

v = min V(a₁)∩ · · · ∩V(a_k)

∈N das kleinste gemeinsame Vielfache von a₁, . . . , a_k.

Schreibweise: v = kgV(a₁, . . . , a_k) = [a₁, . . . , a_k] = lcm(a₁, . . . , a_k).

d)a, b∈Zheißenteilerfremd (oder relativ prim zueinander), wenn ggT(a, b) = 1 gilt.

Beispiel 5: Geben Sie T(n), V(n) und τ(n) f¨urn=−1, 15, −29, 72, 1000, 10000an.

Beispiel 6: Bestimmen Sie ggT und kgV f¨ur folgende Zahlentupel: (−12,42), (81,144,45), (108,−192), (36,150,−81,16).

Satz 1. Es seien k≥2, a₁, . . . , a_k ∈Z, nicht alle a_i = 0, und d= ggT(a₁, . . . , a_k).

Dann gilt:

a) T(a₁)∩ · · · ∩T(a_k) = T(d).

b) Es gibt x₁, . . . , x_k ∈Z, sodass d=x₁a₁+x₂a₂+· · ·+x_ka_k. c) d = ggT ggT(a₁, . . . , a_k−1), a_k

.

Korollar. a) Sind a, b, c∈Zmit ggT(a, b) = 1 und a |bc, so gilta|c.

b) Sind a, b∈Z, nicht beide = 0, und istd = ggT(a, b), so gilt ggTa d,b

d

= 1.

Satz 2 (Division mit Rest). Es seien a, b∈Z mitb 6= 0.

Dann existieren eindeutig bestimmte q, r ∈Z mit 0≤r <|b|, sodass a=bq+r gilt.

Beispiel 7: Wenden Sie Satz 2 auf die Zahlenpaare(a, b) = (150,11),(−150,11)und(0,−3)an!

Satz 3 (Euklidscher Algorithmus). Es seien a, b∈N. F¨ur i≥ −1, j ≥0 werden r_i, q_j ∈N0 rekursiv definiert durch:

•) r−1 =a, r0 =b

•) f¨ur i ≥ 0: falls ri > 0 bereits defniert ist, so wird (qi, ri+1) gem¨aß Satz 2 eindeutig definiert durch r_i−1 =q_ir_i+r_i+1 (Division von r_i−1 durch r_i mit Rest).

a) Dann existiert ein n∈N⁰ mit rn >0 und rn+1 = 0, und es gilt rn= ggT(a, b).

(4)

b) (Algorithmus von Berlekamp) Es sei n ∈ N0 mit r_n > 0 und r_n+1 = 0. F¨ur 0≤i≤n werden x_i, y_i ∈Z rekursiv definiert durch

x₀ = 0, y₀ = 1, x₁ = 1, y₁ =−q₀

f¨ur 1≤i≤n−1 : xi+1 =xi−1−qixi, yi+1 =yi−1−qiyi

Dann gilt f¨ur alle 0≤i≤n: r_i =ax_i+by_i, und insbesondere ggT(a, b) = r_n=ax_n+by_n.

Beispiel 8: Bestimmen Sie mit Hilfe des Euklid’schen Algorithmus ggT(352,105), ggT(299,247,143),ggT(85529,62651).

Definition 3. a) Eine Zahl n∈N heißt Primzahl, wenn τ(n) = 2 gilt ( ⇐⇒ n >1 und T(n) ={1, n}).

P={2,3,5,7,11,13, . . .} bezeichne die Menge aller Primzahlen.

b) Eine Zahl n ∈ N heißt zusammengesetzte Zahl, wenn τ(n)> 2 gilt ( ⇐⇒ n > 1 und n6∈P ⇐⇒ n besitzt einen nichttrivialen Teiler t, d.h.: t |n mit 1< t < n).

Beispiel 9: Welche der folgenden Zahlen sind Primzahlen, welche zusammengesetzt:

19,1,57,203,23,725193?

Lemma 2. Ist 2≤n ∈N, so ist p= min(T(n)\ {1}) eine Primzahl.

Satz 4 (Fundamentalsatz der Arithmetik).

Jedes n∈N l¨aßt sich eindeutig als ein Produkt von Primzahlen n=

r

Y

i=1

p_i mit r∈N0, p_i ∈P und p₁ ≤p₂ ≤ · · · ≤p_r

schreiben.

Varianten von Satz 4: F¨ur 06=n∈Z gibt es eindeutig bestimmte a) k ∈N0,p₁ < p₂ <· · ·< p_k∈P, e₁, . . . , e_k∈N, sodass

n= sgn(n)

k

Y

i=1

p^e_iⁱ

b) e₁ ∈ {0,1}, e_p ∈N0 mit e_p = 0 f¨ur fast allep∈P, sodass n= (−1)^e¹Y

p∈P

p^e^p

Beispiel 10: Geben Sie die Primfaktorisierung folgender Zahlen nach Satz 4 bzw. dessen Vari- anten an: −128,891,59,−100000.

(5)

Satz 5. Sind a, b∈Z\ {0} mit a= sgn(a) Q

p∈P

p^e^p, b= sgn(b)Q

p∈P

p^f^p, so gilt:

a) a |b ⇔ f¨ur alle p∈P gilt: e_p ≤f_p

b) Ist q∈P mit q |ab, so gilt q |a oder q|b.

c) T(a) = Q

p∈P

p^h^p |0≤hp ≤ep und τ(a) = Q

p∈P

(ep+ 1) d) V(a) = Q

p∈P

p^k^p |kp ∈N⁰, ep ≤kp und kp = 0 f¨ur fast allep∈P e) ggT(a, b) = Q

p∈P

p^min{e^p^,f^p^} und kgV(a, b) = Q

p∈P

p^max{e^p^,f^p^}

f ) ggT(a, b)·kgV(a, b) =|ab|

Beispiel 11: L¨osen Sie die Beispiele 5 und 6 diesmal unter Verwendung der Primfaktorisierung der Zahlen.

Beispiel 12: Verallgemeinern Sie Satz 5.e) auf mehr als 2 Zahlen:

i)ggT(a1, . . . , ak) =. . . , kgV(a1, . . . , ak) =. . .

ii) Zeigen Sie, dasskgV(a1, . . . , a_k) = kgV kgV(a1, . . . , ak−1), a_k .

Satz 6. a) (Reduzierte Bruchdarstellung rationaler Zahlen)

Jedes r ∈ Q hat eine eindeutige Darstellung r = ^p_q mit p∈ Z, q ∈ N und ggT(p, q) = 1.

(Man nennt dies die reduzierte Bruchdarstellung von r.)

b) Es seien x∈Q, n ∈N, a₀, a₁, . . . , a_n ∈Z mit a_n 6= 0 und a_nxⁿ+an−1xⁿ⁻¹+· · ·+a₁x+a₀ = 0.

Ist x= ^p_q die reduzierte Bruchdarstellung von x, so gilt: p|a₀ und q|a_n.

Beispiel 13: Berechnen Sie ,,möglichst einfach” die reduzierte Bruchdarstellung vonr = ²⁵₇₀+³⁰₆₃. Wofür benötigen Sie dabei ggTbzw. kgV?

Geben Sie ein ,,allgemeines Rezept” f¨ur diesen Rechenvorgang an (d. h.: r= ^a_b + ^c_d).

Beispiel 14: i) Wieso muß bei Satz 6.b) vorausgesetzt werden, dassr in der reduzierten Bruch- darstellung vorliegt?

ii) Geben Sie alle rationalen Zahlen an, die Nullstellen folgender Polynome sein k¨onnten (welche davon sind tats¨achlich Nullstellen?):

f = 9X²−3X+ 2, f = 15X⁶−44, f = 4X⁴+ 3X²−1.

1.2 Primzahlen Satz 7 (Satz von Euklid). |P|=∞.

Lemma 3. Ist n ∈ N eine zusammengesetzte Zahl, so gibt es eine Primzahl p ∈ P mit p|n und p≤√

n.

(6)

Beispiel 15: Bestimmen Sie mit einer Variante des Siebes von Eratosthenes alle Primzahlen zwischen 300 und 400 (es sind 16 Stück). Welche Primzahlen müssen Sie dafür bereits kennen?

Beispiel 16: Ben¨utzen Sie das Ergebnis von Beispiel 15, um alle Primzahlzwillinge zwischen 300 und 400 anzugeben (es sind 2 Paare).

Satz 8. Zu jedem k ∈ N gibt es ein N ∈ N derart, dass N + 1, N + 2, . . . , N +k zusammengesetzte Zahlen sind. (,,P hat beliebig große L¨ucken.”)

Definition 4. Die Funktion

π : (0,∞)→N⁰

x7→π(x) = |{p∈P|p≤x}|

heißt die Z¨ahlfunktion der Primzahlen.

Bertrand’s Postulat: (1852 von Tschebyscheff bewiesen)

F¨ur n≥1 gilt π(2n)−π(n)≥1 (d.h.: es gibt einp∈P mit n < p≤2n).

Beispiel 17: Uberpr¨^¨ ufen Sie die Richtigkeit des Bertrand’schen Postulats f¨urn= 1,2, . . . ,10.

Primzahlsatz(1896): limx→∞

π(x)

x logx

= 1, d.h.: π(x)∼ x logx Dirichlet’scher Primzahlsatz: Sind a, b∈N mit ggT(a, b) = 1, so ist

{a+kb|k ∈N und a+kb∈P} eine unendliche Menge.

Satz 9. Es seien a, n∈N mit a, n≥2.

a) Ist aⁿ+ 1∈P, so ist a gerade und n= 2^m mit einem m∈N. b) Ist aⁿ−1∈P, so ist a= 2 und n ∈P.

Definition 5. Die Funktion

σ :N→N

n 7→σ(n) = X

t∈T(n)

t

heißt die Teilersummenfunktion (σ(n) ist die Summe aller positiven Teiler von n).

Eine Zahl n∈N heißt vollkommen, wenn σ(n) = 2n gilt.

Satz 10. F¨ur eine gerade Zahl n ∈N sind folgende Aussagen ¨aquivalent:

a) n ist eine vollkommene Zahl.

b) Es gibt ein p∈P, sodass M_p = 2^p−1∈P und n = 2^p−1M_p. Beispiel 18: Ist1 eine vollkommene Zahl?

Geben Sie die 4 kleinsten geraden vollkommenen Zahlen an!

(7)

§2. Algebraische Grundbegriffe

2.1 Verkn¨upfungen Definition 1. Es sei ∅ 6=M eine nicht leere Menge.

a) Eine Verkn¨upfung (oder bin¨are Operation)auf M ist eine Abbildung f :M ×M →M

(x, y)7→f(x, y) .

Ublicherweise bezeichnet man eine solche Abbildung¨ f mit einem Operationssymbol ∗ (oder ◦,+,−,·,:,∧,∨, . . .) und schreibt den Funktionswert f(x, y) =∗(x, y) implizit mit diesem Symbol:

f(x, y) = x∗y (oder x◦y, x+y, . . .) .

x∗y heißt das Verkn¨upfungsergebnis (oder Operationsergebnis) von x und y unter ∗.

Ein Paar (M,∗), bestehend aus einer nicht leeren MengeM und einer Verknüpfung ∗auf M, heißt ein Verknüpfungsgebilde (oder Magma,Gruppoid, Menge mit Verknüpfung).

b) Es sei∗eine Verkn¨upfung aufM und∅ 6=N, N⁰ ⊂M nicht leere Teilmengen. Dann definiert man

N ∗N⁰ ={x∗y|x∈N und y ∈N⁰}. N heißtabgeschlossen unter ∗, wenn f¨ur allex, y ∈N gilt: x∗y∈N.

Ist N abgeschlossen unter ∗, so induziert die Einschr¨ankung von ∗ auf N × N eine Verkn¨upfung auf N; (N,∗) heißt dann eine Teil- oder Unterstruktur von (M,∗) (oder:

Teilmagma,Untergruppoid).

c) Es sei ∗ eine Verkn¨upfung aufM. Dann heißt die Operation ∗

• assoziativ, wenn f¨ur alle x, y, z ∈M gilt: (x∗y)∗z =x∗(y∗z).

• kommutativ, wenn f¨ur alle x, y ∈M gilt: x∗y=y∗x.

Ein Element e ∈ M heißt







linksneutrales rechtsneutrales

neutrales







Element f¨ur die Operation ∗, wenn f¨ur

alle x∈M gilt:







e∗x=x x∗e=x e∗x=x=x∗e





 .

Ist∗assoziativ und existiert ein neutrales Elemente∈M f¨ur∗, so heißt das Verkn¨upfungsgebilde (M,∗) eine Halbgruppe.

Existiert f¨ur ∗ ein neutrales Element e ∈ M, so heißt ein Element a ∈ M invertierbar (bez¨uglich ∗), wenn es ein a⁰ ∈M mit a∗a⁰ =a⁰∗a=e gibt; ist dies der Fall, so heißt a⁰ ein Inverses zu a (und a ein Inverses zu a⁰).

Die Menge aller invertierbaren Elemente vonM bezeichnen wir mit M^×= (M,∗)^× ={a∈M |a ist invertierbar bez¨uglich ∗} .

(8)

Beispiel 19: Auf R sei eine Verknüpfung ♦ definiert durch: x♦y = x+ 3y für alle x, y ∈ R. Zeigen Sie, dass ♦ weder kommutativ noch assoziativ ist (Gegenbeispiele!). Zeigen Sie, dass es bezüglich ♦ zwar ein rechtsneutrales, jedoch kein linksneutrales Element gibt. Sind die Teilmengen N,Z,Q⊂R abgeschlossen unter♦?

Beispiel 20: Fürx ∈R sei [x] = max{n∈Z|n≤x}. Auf R sei eine Verknüpfung◦ definiert durch: x◦y = [x+y]. Zeigen Sie, dass ◦ eine kommutative (Beweis!), aber keine assoziative (Gegenbeispiel!) Operation ist. (Beispiel 3 könnte hilfsreich sein.)

Gibt es ein neutrales Element bez¨uglich ◦?

Beispiel 21: Wie viele verschiedene Operationen gibt es für eine n-elementigen Menge (n ∈ N)? Es sei M eine Menge mit 3 Elementen. Zeigen Sie, dass auf M 19 683 verschiedene Verknüpfungen definiert werden können. Wie viele davon besitzen ein fix vorgegebenes Element von M als neutrales Element? Wieviele davon sind kommutativ? (Tipp: Verknüpfungstafel)

Lemma 1. Es sei (M,∗) ein Verkn¨upfungsgebilde.

a)Sind e1 ∈M linksneutral und e2 ∈M rechtsneutral (bez¨uglich ∗), so ist e1 =e2 und e₁ ist neutral.

Insbesondere besitzt (M,∗) h¨ochstens ein neutrales Element.

b)Ist ∗assoziativ und existiert ein neutrales Element e∈M, so besitzt jedes invertier- bare Element a∈M genau ein Inverses, und M^× ist abgeschlossen unter ∗

(d. h.: (M^×,∗) ist ein Verkn¨upfungsgebilde).

Insbesondere gilt: sind x, y ∈M^× und x⁰, y⁰ die Inversen zu x, y, so ist y⁰∗x⁰ das Inverse zu x∗y.

Beispiel 22: Welche ”konkreten” Beispiele haben Sie in Ihrem bisherigen Studium f¨ur das ,,Insbesondere” von Lemma 1.b) kennengelernt? K¨onnen Sie die entsprechenden Mengen bzw.

Operationen angeben? (Tipp: Umkehrabbildungen, regul¨are Matrizen)

Definition 2. Es sei (M,∗) ein Verkn¨upfungsgebilde, n ∈N und a₁, . . . , a_n∈ M. Dann definiert man ⁿ∗

i=1a_i rekursiv durch:

∗1

i=1a_i =a₁ und f¨ur 1< k ≤n : ∗^k

i=1a_i =_k−1

i=1∗ a_i

∗a_k =

... (a₁∗a₂)∗a₃

∗a₄. . .

∗a_k . Ist e∈M ein neutrales Element (bez¨uglich ∗), so definiert man ∗⁰

i=1a_i =e.

Statt ∗ⁿ

i=1a_i schreibt man f¨ur∗=·auch

n

Q

i=1

a_i bzw. f¨ur∗= + auch

n

P

i=1

a_i. Ist a₁ =a₂ =. . .=a_n=a, schreibt man ⁿ∗

i=1a=a^∗n bzw. aⁿ f¨ur ∗=· und naf¨ur∗= +.

(9)

Lemma 2. Es sei (M,∗) ein assoziatives Verkn¨upfungsgebilde, 2≤n ∈N und a₁, . . . , a_n∈M.

a) (Allgemeines Assoziativgesetz)Es ist a₁∗a₂∗. . .∗a_n ∈M unabh¨angig von der Reihenfolge, in der die Operationen ausgewertet werden (d. h. unabh¨angig von ,,Klamme- rungen”).

b) (Allgemeines Kommutativgesetz) Ist ∗ auch kommutativ, so ist

a₁ ∗a₂ ∗. . .∗a_n ∈ M unabh¨angig von der Reihenfolge der Operanden; d. h.: f¨ur jede bijektive Abbildung σ:{1,2, . . . , n} → {1,2, . . . , n} ist

a₁∗a₂∗. . .∗a_n=a_σ(1)∗a_σ(2)∗. . .∗a_σ(n) .

Beispiel 23: Es seien∗eine Operation auf der MengeM unda1, a2, a3, a4∈M. Zeigen Sie, dass es 6 verschiedene Reihenfolgen gibt, in denen die Operationen zur Berechnung vona₁∗a₂∗a₃∗a₄ durchgeführt werden können, aber nur 5 verschiedene Klammerungen für diesen Ausdruck.

2.2 Produkte und Homomorphismen Definition 3. Es sei I eine nicht leere (Index-)Menge und

M_i = (M_i,∗_i)

i∈I eine (mit I indizierte) Familie von Verkn¨upfungsgebilden. Dann wird auf der Produktmenge M :=Q

i∈IM_i eine Operation∗ (,,die komponentenweise Verkn¨upfung”) definiert durch:

a= (a_i)_i∈I, b= (b_i)_i∈I ∈M : a∗b = (a_i∗_i b_i)_i∈I . (M,∗) heißt das (¨außere)direkte Produkt der Familie (M_i)i∈I.

Ist insbesondere n∈N und I ={1,2, . . . , n}, so ist

M =M₁×M₂×. . .×M_n und a∗b= (a₁, . . . , a_n)∗(b₁, . . . , b_n) = (a₁∗₁b₁, . . . , a_n∗_nb_n). Beispiel 24: Wählen Sie 4 verschiedene, konkrete Verknüpfungsgebilde und bilden Sie deren direktes Produkt. Wie sieht die komponentenweise Verknüpfung in Ihrem konkreten Beispiel aus?

Definition 4. (M,∗) und (N,◦) seien Verkn¨upfungsgebilde.

Eine Abbildungϕ:M →N heißt ein Homomorphismus, wenn f¨ur alle x, y ∈M gilt:

ϕ(x∗y) = ϕ(x)◦ϕ(y) . Ein Homomorphismus ϕ:M → N heißt







Monomorphismus Epimorphismus Isomorphismus







, wenn die Abbildung ϕ







injektiv surjektiv

bijektiv





 ist.

M und N heißen zueinander isomorph (Schreibweise: M ' N), wenn es einen Isomor- phismus ϕ:M →N gibt.

(10)

Beispiel 25: Welche ”konkreten” Beispiele für Homomorphismen haben Sie in Ihrem bisherigen Studium kennengelernt? Geben Sie die entsprechenden Verknüpfungsgebilde an! (Tipp: Line- are Abbildungen zwischen Vektorräumen, Logarithmen, Grenzwerte von konvergenten Folgen, Integrale, Ableitung einer Funktion)

Beispiel 26: Auf R seien die Operationen ∧ und ∨ definiert durch x∧y = min{x, y} und x∨y = max{x, y}. Zeigen Sie, dass die Abbildung µ: R→ R, gegeben durch µ(x) =−x f¨ur alle x ∈ R, eine Isomorphismus von (R,∧) nach (R,∨) ist. Ist die Umkehrabbildung µ⁻¹ ein Isomorphismus von(R,∨) nach (R,∧)?

Satz 1. Es seien (M,∗) und (N,◦) Verkn¨upfungsgebilde und ϕ:M →N ein Homomor- phismus.

a) Ist ϕein Epimorphismus, so gilt:

i) Ist ∗ assoziativ (bzw. kommutativ), so ist auch ◦ assoziativ (bzw. kommutativ).

ii) Iste∈M neutrales Element bez¨uglich ∗, so istϕ(e)neutrales Element bez¨uglich ◦.

b) Es seien e∈M neutral bezüglich ∗, f ∈N neutral bezüglich ◦ und ϕ(e) =f. Dann gilt für jedesa∈M: Ist a⁰ ∈M invers zu a bezüglich ∗, so ist ϕ(a⁰) invers zu ϕ(a) bezüglich ◦ (d. h.: ist a ∈M invertierbar, so auch ϕ(a)∈N).

c) Ist f ∈ N neutrales Element und ϕ⁻¹(f) = {b ∈ M | ϕ(b) = f} 6=∅, so ist ϕ⁻¹(f) ein Teilmagma von (M,∗).

Definition 5 (Strukturtransport). Es sei (M,∗) ein Verkn¨upfungsgebilde.

a) Es sei N eine Menge und ϕ: N → M eine bijektive Abbildung. Definiert man f¨ur n, n⁰ ∈N

n◦n⁰ :=ϕ⁻¹(ϕ(n)∗ϕ(n⁰)) ,

so ergibt dies eine Operation aufN und ϕ: (N,◦)→(M,∗) ist ein Isomorphismus.

◦ heißtdie mittels ϕ⁻¹ von M auf N transportierte Verkn¨upfung.

b) Es sei ∅ 6= X eine Menge und Abb(X, M) := {f : X → M} die Menge aller Abbildungen von X nachM. Definiert man f¨urf, g ∈Abb(X, M) die Abbildung

f ~g :X →M

x7→f(x)∗g(x), so ergibt dies eine Operation auf Abb(X, M).

~ heißtdie von M auf Abb(X, M) wertweise ¨ubertragene Verkn¨upfung.

Beispiel 27: Es sei (R,·) die ¨ubliche Multiplikation reeller Zahlen, und ϕ : R → R gegeben durch ϕ(x) =x+ 2. Geben Sie die mittelsϕ⁻¹ von R auf R transportierte Verkn¨upfung◦ an, und untersuchen Sie, welche Eigenschaften◦ besitzt!

Beispiel 28: Uberlegen Sie sich, dass die in Analysis und Linearer Algebra definierten ,,Rechen-^¨ operationen” für Funktionen (bzw. lineare Abbildungen) Beispiele für die wertweise Übertragung von Verknüpfungen nach Definition 5.b) sind.

(11)

2.3 Relationen Definition 6. Es sei ∅ 6=M eine Menge.

a) Eine (bin¨are) Relation auf M ist eine Teilmenge R ⊂ M × M. Ublicherweise¨ bezeichnet man eine RelationR ⊂M ×M mit einem Symbol R (oder ∼, ', =, ⊂, |, <,

≥,≡, . . .) und schreibt f¨urx, y ∈M:

xRy ⇐⇒(x, y)∈ R (,,x steht in der Relation R zu y”). b) Eine RelationR aufM (bzw. R ⊂M ×M) heißt

i) reflexiv, wenn f¨ur alle x∈M gilt: xRx (bzw. (x, x)∈ R).

ii) symmetrisch, wenn f¨ur alle x, y ∈M mit xRy auch yRxgilt (bzw. (x, y)∈ R=⇒(y, x)∈ R).

ii’) antisymmetrisch, wenn f¨ur alle x, y ∈M gilt: (xRy und yRx) =⇒x=y (bzw. ((x, y)∈ R ∧(y, x)∈ R) =⇒x=y).

iii) transitiv, wenn f¨ur allex, y, z ∈M gilt: (xRy und yRz) =⇒xRz (bzw. ((x, y)∈ R ∧(y, z)∈ R) =⇒(x, z)∈ R).

Eine Relation R auf M heißt Aquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und¨ transitiv ist.

Eine RelationR aufM heißtOrdnungsrelation (oder: Teilordnung,Halbordnung,partielle Ordnung), wenn sie reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.

c)Es sei ∼eine ¨Aquivalenzrelation auf M. Dann heißt f¨ur x∈M [x]∼={y∈M |x∼y}

die Äquivalenzklasse von x, und jedesx⁰ ∈[x]∼ heißt ein Repräsentant dieser Äquivalenz- klasse.

Die Menge aller ¨Aquivalenzklassen wird mit M/∼ ={[x]∼ |x∈M} bezeichnet.

Eine TeilmengeZ ⊂M heißt ein Repräsentantensystem für ∼, wenn es zu jeder Äquiva- lenzklasse [x]∼ ∈M/∼ genau ein z ∈Z gibt mit [x]∼ = [z]∼.

Beispiel 29: Auf N sei die ,,Teilbarkeitsrelation” wie in Definition 1.1 gegeben. Untersuchen Sie, welche der Eigenschaften aus Definition 6.b) diese Relation besitzt. Ist es eine ¨Aquivalenz- bzw. eine Ordnungsrelation?

Beispiel 30: AufNwerde die Relationfolgendermaßen definiert: f¨ura, b∈Nsei abgenau dann, wenn f¨ur alle p ∈P gilt: p | a ⇐⇒ p | b (d.h.: a und b besitzen dieselben Primteiler).

Uberpr¨¨ ufen Sie, ob46,41024,636,3761,18921,189021 zutrifft.

Zeigen Sie, dass eine Äquivalenzrelation auf N ist und dass jede (bis auf eine!!) Äquivalenz- klasse unendlich viele Zahlen enthält, und geben Sie ein Repräsentantensystem dafür an!

Beispiel 31: Es sei R[x] die Menge aller (reellen) Polynomfunktionen, und f¨ur f ∈ R[x] sei gr(f)∈N0∪ {−∞} der Grad vonf. (Anm.: das Nullpolynomf = 0hat den Grad−∞.) Auf R[x]werden die Relationen ∼und definiert wie folgt: f¨urf, g ∈R[x]sei

f ∼g⇐⇒gr(f) = gr(g) und f g⇐⇒gr(f)≤gr(g).

(12)

Zeigen Sie, dass ∼eine Äquivalenzrelation auf R[x] ist, geben Sie die Äquivalenzklassen von ∼ sowie einen Repräsentanten für jede Äquivalenzklasse an.

Welche Eigenschaften von Definition 6.b) besitzt ? Ist eine Ordnungsrelation?

Satz 2. Es sei ∅ 6=M eine Menge.

a) Es sei ∼ eine ¨Aquivalenzrelation auf M.

i) F¨ur x, y ∈M gilt:

[x]∼ = [y]∼ ⇐⇒x∼y und [x]∼∩[y]∼ =∅ ⇐⇒x6∼y . ii) Es gibt zi ∈M (i∈I), sodass M =

·

S

i∈I[zi]∼ . b) Es sei M =

·

S

i∈IA_i eine Partition von M in nicht leere Teilmengen A_i. Definiert man f¨ur x, y ∈M:

x∼y ⇐⇒ es gibt ein i∈I mit {x, y} ⊂A_i ,

so ist ∼ eine ¨Aquivalenzrelation auf M, und f¨ur jedes x∈A_i gilt: A_i = [x]∼.

(13)

§3. Elementare Gruppentheorie

3.1 Definition, Untergruppen, Nebenklassen

Definition 1. Eine Gruppe ist eine Halbgruppe (G,·) mit G^× =G, d. h. jedes Element von G ist (bez¨uglich ·) invertierbar.

Eine Gruppe (G,·) heißt

•abelsch (oder kommutativ), wenn ihre Operation ·kommutativ ist.

• endlich, wenn |G|<∞ ist.

Satz 1. Ein assoziatives Verkn¨upfungsgebilde (G,·) ist eine Gruppe genau dann, wenn f¨ur alle g, h∈G gilt:

i) es existiert genau ein x∈G mitg ·x=h und ii) es existiert genau ein y∈G mit y·g =h.

Beispiel 32: Wie findet man in der Verkn¨upfungstafel einer Gruppe das neutrale Element?

Was bedeutet Satz 1 f¨ur die Verkn¨upfungstafel einer Gruppe? (Tipp: Wie oft darf/muss ein Gruppenelement in jeder Zeile bzw. Spalte vorkommen?)

Wie findet man in der Verkn¨upfungstafel das Inverse zu einem Gruppenelement?

Woran erkennt man, ob die Gruppe abelsch ist?

Definition 2. Es sei (G,·) eine Gruppe.

a)EineUntergruppe H von G(Schreibweise: H ≤G) ist eine Unterstruktur (H,·) von (G,·), die wieder eine Gruppe ist.

b) Es sei M ⊆G und M:={H |H ≤G und M ⊆H} die Menge aller Untergruppen von G, die M enthalten. Dann heißt

hMi:= \

H∈M

H

die von M erzeugte Untergruppe von G. [Beachte dazu Satz 2.b) unten!]

c)Gheißtendlich erzeugt, wenn es eine endliche TeilmengeM ⊂Gmit hMi=Ggibt.

Beispiel 33: Ist eine endliche Gruppe auch endlich erzeugt?

K¨onnen Sie eine endlich erzeugte Gruppe angeben, die nicht endlich ist?

Beispiel 34: Geben Sie die vonM1 ={3,11} erzeugte Untergruppe von(Q+,·) an!

Geben Sie die vonM2={10,12}erzeugte Untergruppe von (Z,+)an!

(14)

Satz 2. Es sei (G,·) eine Gruppe.

a) F¨ur eine Teilmenge ∅ 6=H ⊆G gilt:

H ist eine Untergruppe von G genau dann, wenn f¨ur alle g, h∈H gilt: g·h⁻¹ ∈H.

b) Es sei I eine (nicht leere Index-) Menge und f¨ur jedes i ∈ I sei H_i ≤ G eine Untergruppe. Dann ist auch T

i∈I

H_i ≤G eine Untergruppe.

c) Es sei M ⊆G. Dann gilt f¨ur jede Untergruppe U ≤G:

M ⊆U ⇐⇒ hMi ⊆U

d. h.: hMi ist die (bez¨uglich ⊆) kleinste Untergruppe von G, die M enth¨alt.

Beispiel 35: Welche zu Satz 2 analogen Ergebnisse für Vektorräume kennen Sie aus der Linearen Algebra? (Beachte: Vektorräume sind abelsche Gruppen, aber nicht umgekehrt!)

Lemma 1. Es seien (G,·) eine Gruppe und H ≤G eine Untergruppe von G.

a) Definiert man f¨ur g, g⁰ ∈G die Relation ∼

Hl durch g ∼

Hlg⁰ ⇐⇒g⁻¹·g⁰ ∈H , so ist ∼

Hl eine ¨Aquivalenzrelation auf G mit ¨Aquivalenzklassen [g]∼

Hl

=gH ={g·h|h∈H} .

b) Definiert man f¨ur g, g⁰ ∈G die Relation ∼

Hr durch g ∼

Hr g⁰ ⇐⇒g·(g⁰)⁻¹ ∈H , so ist ∼

Hr eine ¨Aquivalenzrelation auf G mit ¨Aquivalenzklassen [g]∼

Hr

=Hg ={h·g |h∈H} .

Definition 3. Es seien (G,·) eine Gruppe und H ≤G eine Untergruppe von G.

a)F¨urg ∈Gheißt die ¨Aquivalenzklasse [g]∼

Hl

=gH die durchg bestimmte Linksneben- klasse von G nach H, jedes g⁰ ∈[g]∼

Hl

heißt ein Repr¨asentant dieser Nebenklasse, und G/H ={gH |g ∈G}

bezeichnet die Menge aller Linksnebenklassen vonG nach H.

Eine TeilmengeR⊂Gheißt einRepräsentantensystem fürG/H (oder: Linkstransversale von H inG), wenn es für jedes gH ∈G/H genau ein r ∈R mit gH =rH gibt,

d. h.: G=

·

S

r∈R rH.

(15)

b)F¨urg ∈Gheißt die ¨Aquivalenzklasse [g]∼

Hr

=Hgdiedurchg bestimmte Rechtsneben- klasse von G nach H, jedes g⁰ ∈[g]∼

Hr

heißt ein Repr¨asentant dieser Nebenklasse, und H\G={Hg |g ∈G}

bezeichnet die Menge aller Rechtsnebenklassen von Gnach H.

Eine Teilmenge R ⊂ G heißt ein Repräsentantensystem für H\G (oder: Rechtstransver- sale vonH inG), wenn es für jedes Hg ∈H\G genau ein r∈R mit Hg =Hr gibt, d. h.: G=

·

S

r∈R Hr.

c)Es sei e∈Gdas neutrale Element von (G,·). Dann heißt (G:H) =|G/H| ∈N∪ {∞}

der Index von H in G, und

ord(G) = (G:{e}) =|G|

heißt die Ordnung der Gruppe G.

Beispiel 36: Zeigen Sie: ist (G,·) eineabelsche Gruppe und H≤Geine Untergruppe, so gilt f¨ur jedesg ∈G: gH =Hg. Stimmen dann auch die ¨Aquivalenzrelationen ∼

Hl und ∼

Hr uberein,¨ bzw. giltG/H=H\G?

Beispiel 37: Zeigen Sie: ist(G,·)eine Gruppe undH ≤Gmit(G:H) = 2, so giltG/H=H\G!

(Gbraucht hier nichtabelsch zu sein.)

Beispiel 38: Es sei G= (R²,+) und H ein 1-dimensionaler Untervektorraum von R². Zeigen Sie, dass H eine Untergruppe von G ist, und geben Sie die Elemente von G/H explizit an!

(Achtung, hier ist die Gruppenoperation ”+”!)

K¨onnen Sie die Elemente von G/H geometrisch deuten?

Satz 3 (Satz von Lagrange). Es seien (G,·) eine Gruppe und H0 ≤ H ≤ G Unter- gruppen von G. Dann gilt:

(G:H₀) = (G:H)·(H :H₀) und |G|= (G:H)· |H| .

3.2 Ordnung von Gruppenelementen, zyklische Gruppen Definition 4. Es sei (G,·) eine Gruppe mit neutralem Elemente.

a)F¨urg ∈G heißt

ord(g) = inf{n ∈N|gⁿ=e} ∈N∪ {∞}

die Ordnung des Gruppenelements g.

g ∈ G heißt ein Torsionselement von G, wenn ord(g) ∈ N ist (d. h. wenn g endliche Ordnung hat).

(16)

b) F¨urg ∈G heißt hgi ≤G die von g erzeugte, zyklische Untergruppe von G.

Gheißt eine zyklische Gruppe, wenn es ein a∈G mit G=hai gibt.

Beispiel 39: Wir betrachten die Gruppe (GL₂(R),·) mit der Matrizenmultiplikation als Ope- ration. Bestimmen Sie die Ordnung der Gruppenelemente A₁ = ^{−1 1}_{−1 0}

, A₂ = ⁰_{1 0}⁻¹ und A₃ =A₁·A₂. Welche davon sind Torsionselemente?

Satz 4. Es sei (G,·) eine Gruppe mit neutralem Element e∈G und g ∈G.

a) hgi={g^k |k ∈Z}

b) Ist ord(g) = ∞, so ist f¨ur alle k, l∈Z mit k 6=l g^k 6=g^l, und es ist hgi={. . . , g⁻², g⁻¹, g⁰ =e, g, g², . . .} eine unendliche Menge.

c) Ist ord(g) =n ∈N, so gilt:

i) f¨ur k, l∈Z: g^k =g^l ⇐⇒n|(l−k); und insbesondere gilt: g^l=e⇐⇒n|l.

ii) |hgi|=n= ord(g) und hgi={g, g², g³, . . . , gⁿ=e}. iii) f¨ur m∈Z ist

ord(g^m) = n ggT(m, n) . d) Ist G endlich, so gilt ord(g)|ord(G).

e) Ist |G|=p∈P eine Primzahl, so ist G zyklisch, und es gilt:

hgi=G ⇐⇒ g 6=e .

f ) Ist G zyklisch, so ist auch jede Untergruppe von G zyklisch.

Beispiel 40: Geben Sie die zyklischen Untergruppen hA_ii ≤ GL₂(R), (i = 1,2,3), f¨ur die Matrizen aus Beispiel 39 an!

Beispiel 41: Es sei(G,·)eine zyklische Gruppe der Ordnung10, alsoG={a, a², a³, . . . , a¹⁰=e}

mit einem geeignetena∈G. Geben Sie alle Gruppenelemente mit Ordnung 1, 2, 5, 10 an!

Zeigen Sie: f¨ur jeden positiven Teiler d|10 besitztG genau eine Untergruppe der Ordnungd.

Beispiel 42: Verallgemeinern Sie Beispiel 41 und beweisen Sie: ist(G,·) eine zyklische Gruppe der Ordnung n ∈ N, so besitzt G f¨ur jeden positiven Teiler d | n genau eine Untergruppe U₁ der Ordnung d und genau eine Untergruppe U2 mit Index (G : U2) = d. (Tipp: Wie viele Gruppenelemente besitztG, deren Ordnungdteilt?)

Beispiel 43: Es sei(G,·) eine abelsche Gruppe undg, h∈GTorsionselemente mit ord(g) =m und ord(h) =n. Zeigen Sie, dass auchgh ein Torsionselement ist undord(gh)|kgV(m, n) gilt.

K¨onnen Sie ein Beispiel mit ord(gh)6= kgV(m, n) angeben?

Beispiel 39 zeigt, dass obige Aussage f¨ur nicht abelsche Gruppen im Allgemeinen falsch ist.

(17)

3.3 Konjugation, Normalteiler Definition 5. Es sei (G,·) eine Gruppe.

a)F¨ura∈G heißt die Abbildung

κ_a :G→G g 7→aga⁻¹

die Konjugation mit dem Element a. Elemente g, h ∈ G heißen zueinander konjugiert, wenn es ein a∈G mit h=κ_a(g) = aga⁻¹ gibt.

,,Zueinander konjugiert sein” definiert eine ¨Aquivalenzrelation auf G, deren ¨Aquivalenz- klassen Klassen konjugierter Elemente genannt werden.

UntergruppenU, V ≤G heißen zueinander konjugiert, wenn es ein a ∈G mit V =κa(U) = aU a⁻¹ ={aua⁻¹ |u∈U}

gibt.

b)Eine UntergruppeH ≤Gheißt einNormalteiler von G(Schreibweise: H / G), wenn f¨ur alle a ∈ G gilt: H = κ_a(H) (d. h.: H bleibt bei Konjugation mit beliebigem a ∈ G invariant).

Beispiel 44: Es sei (G,·) eine abelsche Gruppe. Zeigen Sie, dass dann f¨ur jedes a ∈ G die Konjugationκ_adie identische Abbildung ist. Geben Sie die Klassen der zueinander konjugierten Elemente an. Ist jede Untergruppe von Gein Normalteiler?

Beispiel 45: Zeigen Sie: sind zwei Elemente einer Gruppe zueinander konjugiert, so haben sie dieselbe Ordnung.

Welche Gruppen besitzen nur eine einzige Klasse konjugierter Elemente?

Satz 5. Es sei (G,·) eine Gruppe und H ≤ G eine Untergruppe. Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent:

a) H / G

b) f¨ur alle a∈G ist aH =Ha c) H\G=G/H

d) f¨ur alle a, b∈G ist aH·bH =ab H

e) f¨ur alle a∈G und f¨ur alle h∈H ist aha⁻¹ ∈H.

Beispiel 46: Zeigen Sie: ist (G,·) eine Gruppe und H ≤ G eine Untergruppe vom Index (G:H) = 2, so ist H / G. (Tipp: Beispiel 37)

Definition 6. Es sei (G,·) eine Gruppe und N / G ein Normalteiler von G. Dann wird durch

(aN)·(bN) = (ab)N (a, b∈G)

eine Operation auf G/N definiert, und (G/N,·) ist eine Gruppe mit neutralem Element N. (G/N,·) heißt die Faktorgruppe von G nach N.

(18)

Lemma 2 (Restklassen von Z modulo m).

a) Zu jeder Untergruppe U von (Z,+) gibt es ein eindeutig bestimmtes m ∈N0 mit U =hmi=mZ={mk |k ∈Z} .

b) Es sei m ∈ N und U = hmi = mZ. F¨ur ganze Zahlen a, b ∈ Z sind folgende Aussagen ¨aquivalent:

i) m |(b−a) ii) a+U =b+U

iii) a undb haben bei ,,Division durchm mit Rest” denselben Rest in {0,1, . . . , m−1}.

Sind für a, b∈ Z die äquivalenten Bedingungen von b) erfüllt, so sagt man: ,,a ist zu b kongruent modulo m” und schreibt a≡b mod (m).

Die Nebenklassen von Z nach U =hmi heißen auch die Restklassen von Z modulo m.

Beispiel 47: Stellen Sie fest, ob folgende Relationen zutreffen oder nicht:

14≡39 mod (5), −14≡39 mod (7), −3≡30 mod (11).

Gilt f¨ur beliebige a, b∈Z: a≡b mod (1)?

Wie l¨asst sich die Eigenschaft einer ganzen Zahl, gerade oder ungerade zu sein, mit einer Kon- gruenz mod (2) ausdr¨ucken? Welche Zahlen bilden die beiden Restklassen modulo2?

Beispiel 48: Beweisen Sie, dass f¨urm ∈Nund beliebige a, b, c, d∈Z gilt: ista≡b mod (m) undc≡d mod (m), so gilt auch a+c≡b+d mod (m).

3.4 Gruppenhomomorphismen

Definition 7. Es seien (G,·) und (G⁰,∗) Gruppen.

a)Ein Gruppenhomomorphismus ϕvon G nachG⁰ ist ein Homomorphismus nach §2, Def. 4, d. h. eine Abbildung ϕ:G→G⁰, sodass f¨ur alle g, h∈G gilt:

ϕ(g·h) = ϕ(g)∗ϕ(h) .

Ist ein Gruppenhomomorphismusϕein Mono-, (Epi-, Iso-)-morphismus (nach§2, Def. 4), so heißtϕ auchGruppenmono-,(-epi-, -iso-)-morphismus.

G und G⁰ heißen zueinander isomorph (Schreibweise: G' G⁰), wenn es einen Gruppen- isomorphismus ϕ:G→G⁰ gibt.

b) Ist ϕ : G → G⁰ ein Gruppenhomomorphismus von G nach G⁰ und ist e⁰ ∈ G⁰ das neutrale Element vonG⁰, so heißen

ker(ϕ) =ϕ⁻¹({e⁰}) ={g ∈G|ϕ(g) = e⁰} der Kern von ϕ und

Bi(ϕ) = ϕ(G) ={ϕ(g)|g ∈G}

das Bild von ϕ.

(19)

c)Ist N / G ein Normalteiler vonG, so heißt

π : (G,·)→(G/N,·) g 7→gN

der (kanonische) Restklassenhomomorphismus (oder: die nat¨urliche Projektion) von G auf die Faktorgruppe vonG nach N.

Beispiel 49: Zeigen Sie: sind (G,·) und (G⁰,∗) Gruppen undϕ:G→ G⁰ ein Gruppenisomor- phismus, so ist die Umkehrabbildungϕ⁻¹:G⁰ →Gauch ein Gruppenisomorphismus.

Satz 6. Es seien (G,·) und (G⁰,∗) Gruppen und ϕ:G→ G⁰ ein Gruppenhomomorphis- mus.

a) Ist e∈G bzw. e⁰ ∈G⁰ das neutrale Element von G bzw. G⁰, so gilt: ϕ(e) =e⁰. b) F¨ur jedes g ∈G ist ϕ(g⁻¹) =ϕ(g)⁻¹.

c) Ist H ≤G eine Untergruppe von G, so ist auch ϕ(H)≤G⁰. d) Ist H / G ein Normalteiler von G, so ist ϕ(H)/ ϕ(G) = Bi(ϕ).

e) Ist H⁰ ≤G⁰ (bzw. H⁰/ G⁰), so ist ϕ⁻¹(H⁰)≤G (bzw. ϕ⁻¹(H⁰)/ G).

Beispiel 50: Es seien (G,·) und (G⁰,∗) Gruppen, ϕ : G → G⁰ ein Gruppenhomomorphismus und N / G ein Normalteiler von G. Zeigen Sie, dass durch ϕ(gN) := ϕ(g)ϕ(N) (für g ∈ G) ein Gruppenepimorphismus ϕ : G/N → ϕ(G)/ϕ(N) definiert wird. (Vergessen Sie nicht nachzuweisen, dass die Definition von ϕ unabhängig von der Wahl des Repräsentanten g der RestklassegN ist! Wo benötigen Sie Satz 6.d)?)

Korollar. Es seien (G,·) und (G⁰,∗) Gruppen, e ∈ G das neutrale Element von G und ϕ:G→G⁰ ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt:

a)ker(ϕ)/ G.

b) Ist g ∈G und ϕ(g) =g⁰, so ist ϕ⁻¹({g⁰}) =g·ker(ϕ) . c)ϕ ist ein Monomorphismus genau dann, wenn ker(ϕ) ={e}.

Beispiel 51: Es seien (G,·) und (G⁰,∗) Gruppen, ϕ : G → G⁰ ein Gruppenhomomorphismus, M ⊂Gund M⁰ =ϕ(M). Zeigen Sie, dass ϕ⁻¹(M⁰) =Mker(ϕ) gilt. Ist die Aussage (bzw. Ihr Beweis) auch im Falle M =∅ richtig?

Satz 7 (Universelle Eigenschaft des Restklassenhomomorphismus). Es sei (G,·) eine Gruppe, N / G ein Normalteiler von G und π:G→G/N der Restklassenhomomor- phismus.

Ist ϕ : G → G⁰ ein Gruppenhomomorphismus (in eine beliebige Gruppe (G⁰,∗)) mit N ⊂ker(ϕ), so existiert genau ein Homomorphismus ϕ:G/N →G⁰ mit ϕ◦π =ϕ.

(20)

Korollar.

a) (Homomorphiesatz) Ist ϕ : G → G⁰ ein Gruppenhomomophismus und π : G → G/ker(ϕ) der Restklassenhomomorphismus, so existiert genau ein Gruppenmonomorphis- mus

ϕ⁰ :G/ker(ϕ)→G⁰ mit ϕ⁰ ◦π=ϕ. Insbesondere ist G/ker(ϕ)'Bi(ϕ).

b) (Klassifikationssatz f¨ur zyklische Gruppen) Ist (G,·) eine zyklische Gruppe, so ist

G'

((Z,+) falls |G|=∞ Z/nZ falls |G|=n ∈N .

Satz 8. Es sei G eine Gruppe, U ≤G eine Untergruppe und N / G ein Normalteiler.

a) i) Dann ist U N ≤G und U∩N / U. ii) (1. Isomorphiesatz) Die Abbildung

ϕ:U/(U ∩N)→(U N)/N a(U ∩N)7→aN ist ein Gruppenisomorphismus.

b) Es sei H / G ein weiterer Normalteiler von G mit N ⊂H.

i) Dann ist H/N / G/N.

ii) (2. Isomorphiesatz) Die Abbildung

ψ :G/H →(G/N)/(H/N) aH 7→(aN)·(H/N) ist ein Gruppenisomorphismus.

Beispiel 52: Zeigen Sie, dass det : GL3(R) → R ein Gruppenepimorphismus von (GL3(R),·) auf(R\ {0},·) ist.

Wieso istH = det⁻¹(Q\ {0}) ={A∈GL₃(R)|det(A)∈Q} ein Normalteiler vonGL₃(R)?

Verwenden Sie den 2. Isomorphiesatz mitN = ker(det)und den Homomorphiesatz, um GL₃(R)/H'(R\ {0})/(Q\ {0})

zu zeigen.

Definition 8. Es sei (G,·) eine Gruppe.

a)Ein Automorphismus von G ist ein Gruppenisomorphismusϕ:G→G.

Aut(G) bezeichnet die Menge aller Automorphismen von G und Inn(G) = {κ_a|a∈G}

die Menge aller Konjugationen (oder: inneren Automorphismen) von G.

b) Z(G) ={z ∈G|zg =gz f¨ur alle g ∈G} heißt das Zentrum der Gruppe G.

(21)

Satz 9. Es sei (G,·) eine Gruppe.

a) Gemeinsam mit der Hintereinanderausf¨uhrung ◦ von Abbildungen ist (Aut(G),◦) eine Gruppe, die ,,Automorphismengruppe von G”, und Inn(G)/Aut(G).

b) Die Abbildung Ψ :G →Inn(G), definiert durch a 7→κ_a, ist ein Gruppenhomomor- phismus und ker Ψ =Z(G).

Insbesondere ist Z(G) abelsch und Z(G)/ G.

Beispiel 53: Es sei(G,·)eine Gruppe. Zeigen Sie, dass f¨ur jeden Automorphismusλ∈Aut(G) gilt: λ(Z(G)) =Z(G).

3.5 Produkte von Gruppen, Struktur endlicher abelscher Gruppen Definition 9. Es sei φ 6= I eine (Index-) Menge, und f¨ur jedes i ∈ I sei (G_i,∗_i) eine Gruppe. Dann ist G = Q

i∈IG_i gemeinsam mit der komponentenweise Verkn¨upfung ∗ (vgl. § 2, Def. 3) wieder eine Gruppe.

(G,∗) heißt das ¨außere direkte Produkt der Familie von Gruppen (G_i,∗_i)i∈I.

Satz 10. Es sei (G,·) eine Gruppe, r∈N, N₁, . . . , N_r/ G und N =N₁·. . .·N_r ={g₁·. . .·g_r |g_i ∈N_i} das Produkt dieser Normalteiler. Dann gilt:

a) N / Gist ein Normalteiler.

b) Die folgenden Aussagen sind ¨aquivalent:

i) Die Abbildung

ϕ:N₁×. . .×N_r →N

(g1, . . . , gr)7→g1·. . .·gr

ist ein Gruppenisomorphismus.

ii) Zu jedem a ∈ N existieren eindeutig bestimmte g_i ∈ N_i (1 ≤ i ≤ r) mit a = g₁·. . .·g_r.

iii) F¨ur jedes 1≤i≤r gilt: N_i ∩(N₁·. . .·N_i−1·N_i+1·. . .·N_r) = {e}.

Definition 10. Es sei (G,·) eine Gruppe,r ∈N, N₁, . . . , N_r/ Gund N =N1·. . .·Nr ={g1·. . .·gr |gi ∈Ni}

das Produkt dieser Normalteiler. Sind die ¨aquivalenten Bedingungen von Satz 10. b) erf¨ullt, so heißtN das (innere) direkte Produkt der Normalteiler N_i (1≤i≤r).

Schreibweise: N =N₁·. . .·N_r (dir)

Beispiel 54: Es sei G =hai ={a, a², a³, a⁴, a⁵, a⁶ =e} eine zyklische Gruppe der Ordnung 6.

Zeigen Sie, dass dann gilt: G=ha²i · ha³i (dir).

Wie viele Elemente haben die beiden Normalteiler, dieG als Produkt darstellen?

(22)

Satz 11 (Struktursatz f¨ur endliche abelsche Gruppen). Es sei G eine endliche, abelsche Gruppe mit |G|=n≥2. Dann existieren eindeutig bestimmte Zahlen

r, d₁, . . . , d_r ∈ N mit 1 < d₁ | d₂ | . . . | d_r, zu denen es (im allgemeinen nicht eindeutig bestimmte) Elemente b_i ∈G mit ord(b_i) = d_i gibt, sodass

G=hb₁i · hb₂i ·. . .· hb_ri (dir)

Beispiel 55: Es seien p₁, p₂, p₃ ∈ P drei paarweise verschiedene Primzahlen und n = p³₁p²₂p₃. Wie viele verschiedene M¨oglichkeiten gibt es, f¨ur dieses nentsprechende Werte r, d₁, . . . , d_r mit den Bedingungen aus Satz 11 zu finden? Gilt stets r≤3? Warum?

K¨onnen Sie eine Methode angeben, wie man diese Aufgabe ,,systematisch” l¨osen kann?

(23)

§4. Grundbegriffe der Ringtheorie

4.1 Definition, Ideale, Kongruenzen

Definition 1. a) Eine nicht leere Menge ∅ 6= R gemeinsam mit zwei Verkn¨upfungen + und ·heißt ein Ring (mit Einselement), wenn folgendes gilt:

(R1) (R,+) ist eine abelsche Gruppe

(R2) (R,·) ist eine Halbgruppe (mit neutralem Element 1_R∈R) (R3) f¨ur allex, y, z ∈R gelten die Distributivgesetze:

x·(y+z) = (x·y) + (x·z) und (y+z)·x= (y·x) + (z·x)

R^× = (R,·)^× bezeichne die Menge der bez¨uglich · invertierbaren Elemente (die Ein- heitengruppe von R).

Ist ·eine kommutative Verkn¨upfung, so heißt (R,+,·) ein kommutativer Ring.

b) Es sei (R,+,·) ein Ring. Eine Teilmenge ∅ 6= R0 ⊂ R heißt ein Teilring (oder Unterring) von R, wenn gilt:

(TR1) (R₀,+) ist eine Untergruppe von (R,+)

(TR2) (R₀,·) ist ein Teilmagma von (R,·) mit 1_R∈R₀.

(d. h.: R₀ ist mit den auf R₀ eingeschr¨ankten Operationen wieder ein Ring und besitzt dasselbe Einselement wieR.)

Ist R₀ ein Teilring von R, so heißt R ein Oberring (oder Erweiterungsring) von R₀. Beispiel 56: Es sei (R,+,·) ein Ring unda, r ∈R. Geben Sie die folgenden Ringelemente b, c mit Hilfe von Vielfachen- und Potenzschreibweise in einfacherer Form an: b=a·a+a·a+a·a, c =a·a·a+a·a·a. K¨onnen Sie das Element b+c mit Hilfe des Distributivgesetzes weiter vereinfachen? Wieso sind (im Allgemeinen) die Ringelementea·r·a,a²·rundr·a² verschieden?

(K¨onnen Sie spezielle Beispiele daf¨ur angeben, etwa mit R=M2,2(R)?)

Beispiel 57: Zeigen Sie, dass Abb(R,R) = {f : R → R} mit den gem¨aß §2, Def. 5.b von R

¨

ubertragenen Verkn¨upfungen+und ·einen kommutativen Ring bildet. Geben Sie sein Einsele- ment an, und beschreiben Sie seine Einheitengruppe!

Satz 1 (Rechenregeln f¨ur Ringe). Es sei (R,+,·) ein Ring mit Nullelement 0_R ∈R.

Dann gilt f¨ur beliebige a, b∈R:

a) a·0R= 0R·a= 0R

b) a·(−b) = (−a)·b=−(a·b) und (−a)·(−b) = a·b c) Ist a∈R^×, so ist auch −a ∈R^× und (−a)⁻¹ =−(a⁻¹).

d) F¨ur alle m∈Z ist (ma)·b =a·(mb) =m(a·b) e) Gilt a·b=b·a, so gilt f¨ur alle n ∈N0:

(a+b)ⁿ=

n

X

i=0

n i

aⁿ⁻ⁱ·bⁱ

(24)

Lemma 1. F¨ur einen Ring (R,+,·) sind folgende Aussagen ¨aquivalent:

a) |R|= 1 b) R ={0_R} c) 0_R= 1_R

Satz 2 (Teilringkriterium). Es sei (R,+,·) ein Ring.

F¨ur eine nicht leere Teilmenge ∅ 6= R₀ ⊂ R gilt: R₀ ist genau dann ein Teilring von R, wenn folgendes erf¨ullt ist:

i) 1_R ∈R₀

ii) f¨ur alle a, b∈R₀ ist a−b∈R₀ und ab∈R₀.

Beispiel 58: Zeigen Sie, dass die Menge aller (reellen) Polynomfunktionen einen Teilring des RingesAbb(R,R)aus Beispiel 57 bildet.

Beispiel 59: Zeigen Sie, dass die Menge aller stetigen (bzw. die Menge aller differenzierbaren) Funktionenf :R→Reinen Teilring des RingesAbb(R,R) aus Beispiel 57 bildet.

Definition 2. Es sei (R,+,·) ein Ring.

a) Eine nicht leere Teilmenge ∅ 6= I ⊂R heißt ein Ideal von R (Schreibweise: I / R), wenn folgendes gilt:

(I1) I ist eine Untergruppe von (R,+),

(I2) f¨ur alle a∈I und r∈R gilt: ar∈I und ra∈I (d. h.: f¨ur aller ∈R gilt: Ir ⊂I und rI ⊂I).

b)Ist I / R ein Ideal, so heißen Ringelemente a, b∈R zueinander kongruent modulo I Schreibweise: a≡b mod I ,

wennb−a ∈I ist (d. h.: wenn a+I =b+I als Nebenklassen der Gruppe (R,+) nach der Untergruppe I).

c)Der Ring R heißt einfach, wenn {0} und R die einzigen Ideale von R sind.

Beispiel 60: Zeigen Sie, dass I ={f :R→R|f(2) = 0} ein Ideal vonAbb(R,R) bildet. Sind Elemente g, h∈Abb(R,R) zueinander kongruent modulo I, wenn sie an der Stelle 2denselben Funktionswert haben? Gilt auch die Umkehrung?

Beispiel 61: F¨ur eine Teilmenge M ⊂ R sei I_M = {f : R → R | f(x) = 0f¨ur alle x ∈ M}.

Zeigen Sie, dass I_M ein Ideal von Abb(R,R) ist. Kann man auch die trivialen Ideale von Abb(R,R) in der Form I_M (mit geeigneten Mengen M) darstellen?

Was bedeutet es f¨ur Elemente g, h∈Abb(R,R), zueinander kongruent moduloIM zu sein?

(25)

Satz 3. Es sei (R,+,·) ein Ring und I / R ein Ideal.

a) Sind a, a⁰, b, b⁰ ∈R mit a≡a⁰ mod I und b≡b⁰ mod I, so gilt auch:

a+b≡a⁰ +b⁰ modI und ab≡a⁰b⁰ mod I . b) Definiert man f¨ur a, b∈R

(a+I)·(b+I) = (ab) +I ,

so erh¨alt man eine Verkn¨upfung auf R/I, die (R/I,+,·)zu einem Ring macht. Dabei ist I das Nullelement und 1 +I das Einselement von R/I.

R/I heißt der Restklassenring von R moduloI.

Beispiel 62: Es sei I /Abb(R,R) wie in Beispiel 60 gegeben. Beweisen Sie: die Menge aller konstanten Funktionen bildet ein Repr¨asentantensystem f¨ur den Restklassenring Abb(R,R)/I.

Können Sie auch für die Ideale I_M /Abb(R,R) aus Beispiel 61 ein Repräsentantensystem für den RestklassenringAbb(R,R)/I_M angeben?

a)Sind I1, I2/ R Ideale vonR, so definiert man die Summe der Ideale I1, I2 als I₁+I₂ ={a+b |a∈I₁ und b ∈I₂}

und dasProdukt der Ideale I₁, I₂ als I₁·I₂ =nXⁿ

i=1

a_ib_i

n∈N, a_i ∈I₁, b_i ∈I₂o .

b) Es sei M ⊂ R eine Teilmenge von R und M := {I | M ⊂ I / R} die Menge aller Ideale vonR, die M umfassen. Dann heißt

(M) = \

I∈M

I

dasvon M erzeugte Ideal vonR (d. h.: (M) ist das (bez¨uglich Mengeninklusion) kleinste Ideal vonR, in dem die MengeM enthalten ist). [Beachte dazu Satz 4.a) unten!]

c) Ein Ideal I / R heißt endlich erzeugt, wenn es eine endliche Menge M ⊂ R mit (M) = I gibt.

Satz 4. Es sei (R,+,·) ein Ring.

a) Ist ∅ 6=J eine nicht leere Indexmenge und ist f¨ur jedes j ∈J I_j / R ein Ideal, so ist auch

\

j∈J

I_j / R

ein Ideal von R.

b) Sind I₁, I₂, I₃/ R Ideale, so sind auch I₁+I₂, I₁·I₂ und I₁∩I₂ Ideale von R, und es gilt:

(26)

i) I₁+I₂ = (I₁∪I₂)

ii) I₁·I₂ = ({ab|a∈I₁ und b∈I₂}) iii) I1·I2 ⊂I1∩I2

iv) I₁·(I₂+I₃) = (I₁·I₂) + (I₁·I₃) und (I₁+I₂)·I₃ = (I₁·I₃) + (I₂·I₃).

c) F¨ur ein Ideal I / R sind folgende Aussagen ¨aquivalent:

i) I =R ii) 1∈I iii) I ∩R^× 6=∅

Beispiel 63: Es sei I₁ = {f :R → R |f(1) = 0}/Abb(R,R) und I₂ = I /Abb(R,R) wie in Beispiel 60 gegeben. Beweisen Sie, dass

I₁+I₂ = Abb(R,R) und I₁∩I₂=I₁·I₂ ={f :R→R|f(1) = 0 =f(2)}=I_{1,2}

(in der Bedeutung von Beispiel 61) gilt.

K¨onnen Sie f¨ur beliebige Teilmengen M1, M2⊂Rpassende TeilmengenA, B⊂Rangeben, mit denenIM1+IM2 =IAundIM1·IM2 =IB (wieder mit den Bezeichnungen von Beispiel 61) gilt?

4.2 Ringhomomorphismen, Charakteristik Definition 4. Es seien (R,+,·) und (R⁰,+,·) Ringe.

a) Ein Ringhomomorphismus (von R nach R⁰) ist eine Abbildung ϕ : R → R⁰ mit folgenden Eigenschaften:

(RHom1) f¨ur alle a, b∈R ist

ϕ(a+b) = ϕ(a) +ϕ(b) und ϕ(ab) =ϕ(a)ϕ(b)

(d. h.: ϕ:R→R⁰ ist ein Homomorphismus bez¨uglich ,,+” und bez¨uglich ,,·” wie in§ 2, Def. 4)

(RHom2) ϕ(1_R) = 1_R⁰ .

b) Ist ϕ:R →R⁰ ein Ringhomomorphismus, so heißen ker(ϕ) =ϕ⁻¹({0_R⁰}) der Kern von ϕund Bi(ϕ) =ϕ(R) das Bild von ϕ.

c) Ein Ringhomomorphismus ϕ : R → R⁰ heißt ein Ring−





 mono

epi iso







−morphismus,

wennϕ







injektiv surjektiv

bijektiv





 ist.

Die Ringe R und R⁰ heißen zueinander isomorph (Schreibweise: R ' R⁰), wenn es einen Ringisomorphismus ϕ:R →R⁰ gibt.

Ein Ring−

homo iso

−morphismus ϕ:R →R heißt auchRing−

endo auto

−morphismus.

(27)

d) Ist I / R ein Ideal von R, so heißt

π : (R,+,·)→(R/I,+,·) a7→a+I

der (kanonische)Restklassenhomomorphismus von R auf den Restklassenring R/I. Beispiel 64: F¨ur eine nicht leere Teilmenge ∅ 6= M ⊂ R sei ϕ : Abb(R,R) → Abb(M,R) definiert durch die Einschr¨ankung der Definitionsmenge auf M, d.h. ϕ(f) =f

M.

Zeigen Sie, dass ϕ ein Ringhomomorphismus ist! (Dazu sollte man sich auch ¨uberlegen, wieso Abb(M,R) uberhaupt ein Ring ist.) Ist¨ ϕ ein Ringepimorphismus? Bestimmen Sie ker(ϕ)!

(Gibt es einen Bezug zu Beispiel 61?)

Satz 5. Es seien(R,+,·)und(R⁰,+,·)Ringe undϕ:R →R⁰ ein Ringhomomorphismus.

Dann gilt:

a) ϕ(R^×) ⊂ (R⁰)^× und ϕ

R^× : R^× → R^0× ist ein (multiplikativer) Gruppenhomomor- phismus.

b) Ist R₀ ≤R ein Teilring, so ist ϕ(R₀)≤R⁰ ein Teilring von R⁰. c) Ist I / R ein Ideal, so ist ϕ(I)/ ϕ(R) ein Ideal des Ringes ϕ(R).

d) Ist R⁰₀ ≤ R⁰ ein Teilring (bzw. I⁰ / R⁰ ein Ideal), so ist auch ϕ⁻¹(R⁰₀) ≤ R ein Teilring (bzw. ϕ⁻¹(I⁰)/ R ein Ideal) von R.

e) ker(ϕ)/ R.

Satz 6. Es seien (R,+,·) und (R⁰,+,·) Ringe.

a) (Universelle Eigenschaft des Restklassenhomomorphismus)

Sind I / R ein Ideal und π : R → R/I der Restklassenhomomorphismus, so gibt es zu jedem Ringhomomorphismus ϕ : R → R⁰ mit I ⊂ ker(ϕ) genau einen Ringhomomor- phismus ϕ⁰ :R/I →R⁰ mit ϕ⁰◦π=ϕ.

b) (Homomorphiesatz)Istϕ:R→R⁰ ein Ringhomomorphismus, so existiert genau ein Ringmonomorphismus ϕ⁰ :R/ker(ϕ)→R⁰ mit ϕ⁰◦π =ϕ.

Insbesondere ist R/ker(ϕ)'Bi(ϕ).

c) Es seien ϕ:R →R⁰ ein Ringepimorphismus, Ω ={I | ker(ϕ) ⊂I / R} die Menge aller Ideale von R, welcheker(ϕ)enthalten, und Ω⁰ ={I⁰ |I⁰/ R⁰} die Menge aller Ideale von R⁰. Dann ist

ϕe: Ω→Ω⁰ I 7→ϕ(I)

eine inklusionserhaltende Bijektion, und f¨ur I⁰ ∈Ω⁰ ist ϕe⁻¹(I⁰) =ϕ⁻¹(I⁰)/ R.

Beispiel 65: Zeigen Sie, dass die Abbildung ϕ : Abb(R,R) → R, definiert durch ϕ(f) = f(2) f¨urf ∈Abb(R,R), ein Ringepimorphismus ist.

Es sei I /Abb(R,R) wie in Beispiel 60 gegeben. Verwenden Sie Satz 6, um Abb(R,R)/I 'R zu beweisen! K¨onnen Sie einen Zusammenhang mit Beispiel 62 herstellen? Verwenden Sie die Ergebnisse von Beispiel 64, um auf analoge Weise Abb(R,R)/IM 'Abb(M,R) zu beweisen.

(28)

Lemma 2. F¨ur einen beliebigen Ring (R,+,·) gilt:

a) Es existiert genau ein Ringhomomorphismus ϕ:Z→R, und f¨ur diesen ist ϕ(Z) ={k1_R |k ∈Z}=:R₀ .

b) R₀ ist der kleinste Teilring von R (d. h.: jeder Teilring von R enth¨alt R₀).

c) Es gibt genau ein n∈N⁰ mit R₀ 'Z/(n).

Definition 5. Es sei (R,+,·) ein Ring. Dann heißt der in Lemma 2.a) definierte kleinste Teilring R₀ = {k1_R | k ∈ Z} ≤ R der Primring von R, und die nach Lemma 2.c) eindeutig bestimmte Zahl n ∈N0 mit R₀ ' Z/(n) heißt die Charakteristik des Ringes R (Schreibweise: char(R) = n).

4.3 Nullteiler, Ideale in kommutativen Ringen Ab nun sind alle betrachteten Ringe kommutativ (d. h.: ∀a, b∈R:ab=ba).

Definition 6. Es sei (R,+,·) ein kommutativer Ring.

a)Ein Element a∈R heißt einNullteiler (von R), wenn es einb ∈R\ {0} mit ab= 0 gibt. Die Menge aller Nullteiler vonR bezeichnen wir mit NT(R).

b) Der Ring R heißt ein Integrit¨atsbereich [engl.: domain], wenn NT(R) ={0} ist (d. h.: wenn das Nullelement 0 der einzige Nullteiler von R ist).

c) Der Ring R heißt ein K¨orper [engl.: field, franz.: corps], wenn R^× = R\ {0} gilt (d. h.: jedes Element außer 0 besitzt ein (multiplikatives) Inverses)

Beispiel 66: Zeigen Sie: ein Elementf ∈Abb(R,R)ist genau dann ein Nullteiler, wenn0∈f(R) ist. Ist jedes Element vonAbb(R,R) entweder Nullteiler oder Einheit (d. h.: giltAbb(R,R) = Abb(R,R)^×∪^· NT(Abb(R,R))?

Lemma 3. Es sei (R,+,·) ein kommutativer Ring.

a) F¨ur ein Element a∈R sind folgende Aussagen ¨aquivalent:

i) a 6∈NT(R)

ii) f¨ur alle b, c∈R gilt: aus ab=ac folgtb =c(d. h.: das Element a ist ,,k¨urzbar”).

b) Es gilt: R^×∩NT(R) =∅.

Insbesondere gilt: Ist R ein K¨orper, so ist R auch ein Integrit¨atsbereich.

c) Ist R ein Integrit¨atsbereich (bzw. speziell ein K¨orper), so gilt: char(R)∈P∪ {0}.

(29)

Satz 7 (Struktur des Restklassenrings Z/(n)). Es sei n ∈N. a) F¨ur a∈Z sind folgende Aussagen ¨aquivalent:

i) a+nZ∈(Z/(n))^× ii) a+nZ6∈NT(Z/(n)) iii) ggT(a, n) = 1

Insbesondere gilt: Z/(n) = (Z/(n))^×∪^· NT(Z/(n)).

b) Folgende Aussagen sind ¨aquivalent:

i) Z/(n) ist ein K¨orper.

ii) Z/(n) ist ein Integrit¨atsbereich.

iii) n ∈P .

a)F¨ura∈Rheißt (a) =aR=Ra={ar |r∈R}dasvonaerzeugte Hauptideal vonR.

Ein Ideal I / R heißt ein Hauptideal, wenn es ein a∈R mit I = (a) gibt.

Ist R ein Integrit¨atsbereich und ist jedes Ideal von R ein Hauptideal, so heißt R ein Hauptidealring (= PID =principal ideal domain).

b) Ein IdealP / R heißt

ein maximales Ideal, wenn P 6=R ist und es kein Ideal Q / R mit P $Q$R gibt;

ein Primideal, wenn P 6=R ist und f¨ur allea, b∈R gilt:

aus ab∈P folgt a∈P oder b∈P.

Beispiel 67: F¨ur eine TeilmengeM ⊂Rsei IM /Abb(R,R) so wie in Beispiel 61 definiert.

Zeigen Sie, dassIM ein Hauptideal ist! (Tipp: Die charakteristische Funktion der Menge R\M k¨onnte hilfreich sein.)

Satz 8. F¨ur einen kommutativen Ring (R,+,·) mit |R| ≥ 2 sind folgende Aussagen

¨

aquivalent:

a) R ist ein K¨orper.

b) {0} und R sind die einzigen Ideale von R.

c) Jeder Ringhomomorphismus ϕ: R → R⁰ in einen (nicht notwendig kommutativen) Ring R⁰ mit|R⁰| ≥2 ist ein Monomorphismus.

Beispiel 68: Wieso kann es (wegen Satz 8) keinen Ringhomomorphismus ϕ : R → Q geben?

(Tipp: welche dieser Mengen ist abz¨ahlbar?)

Beispiel 69: Beweisen Sie folgende Variante von Satz 8: ein kommutativer RingR mit|R| ≥2 ist genau dann ein K¨orper, wenn{0} ein maximales Ideal vonR ist.