Ubungen zur Ingenieur-Mathematik III ¨ WS 2017/2018
Blatt 8 01.12.2017
Aufgabe 29: Bestimmen Sie x
y
∈ R
2so, daß
f (x, y ) =
1 −2
2 6
2 7
x
y
−
0 0 45
2
minimal wird.
Berechnen Sie den Wert der Funktion f an dieser Stelle.
Aufgabe 30: Orthonormalisieren Sie im R
4die Vektoren:
a
1= (1, 1, 0, 0)
T, a
2= (1, 0, 1, 0)
Ta
3= (0, 0, 1, 0)
TErg¨ anzen Sie zu einer Orthonormalbasis im R
4.
Aufgabe 31: Betrachten Sie die von den Vektoren
1 1 0
und
3
√ −1 8
aufgespannte Ebene durch den Ursprung.
a) Berechnen Sie eine Orthonormalbasis der Ebene.
b) Berechnen Sie mit Hilfe der Orthonormalbasis die Projektion des Punktes p =
1 2
√1 2
auf diese Ebene.
c) Geben Sie die Ebene in der Form {x|x · n = d} an.
d) Berechnen Sie mit Hilfe von n erneut die Projektion des Punktes p =
1 2
√1 2
auf diese Ebene.
Aufgabe 32: Thema: Eigenschaften schiefsymmetrischer Matrizen
Sei A eine reelle n × n Matrix mit A
T= −A, d. h. A ist schiefsymme- trisch. Welche Aussagen sind richtig?
a) Die Spur von A, tr A, ist gleich null. ja 2 nein 2 b) Es gilt det A = 0 f¨ ur n = 2. ja 2 nein 2 c) Es gilt det A = 0 f¨ ur n = 3. ja 2 nein 2 d) Es gilt Ax · x = 0 f¨ ur alle x ∈ R
n. ja 2 nein 2
e) Wenn λ ∈ R ein Eigenwert von A ist, dann folgt λ = 0.
ja 2 nein 2
f) exp A ist eine orthogonale Matrix. ja 2 nein 2
g) Es gilt det (exp A) = 1. ja 2 nein 2
Aufgabe 33: Thema: Orthonormalsystem und orthogonale Projektion Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt und U = span{u
1, ..., u
n} ein Unterraum, wobei {u
1, ..., u
n} ein Orthonormalsystem sei. Welche Aus- sagen sind richtig?
a) Wenn v ∈ V und v·u
i= 0 f¨ ur i = 1, ..., n, dann ist v = 0.
ja 2 nein 2
b) Die orthogonale Projektion P v ∈ U eines Vektors v ∈ V ist eindeutig bestimmt und es gilt: P v = P
ni=1
(v·u
i)u
i.
ja 2 nein 2
c) F¨ ur v, w ∈ V gilt: P v·P w = P
ni=1
(v·u
i)(w·u
i).
ja 2 nein 2
d) Wenn v ∈ V , dann gilt: kvk
2= P
ni=1
(v·u
i)
2.
ja 2 nein 2
e) Wenn v ∈ U , dann gilt: kvk
2= P
ni=1
