Ubungen zur Ingenieur-Mathematik III ¨ WS 2017/2018

Ubungen zur Ingenieur-Mathematik III ¨ WS 2017/2018

Blatt 8 01.12.2017

Aufgabe 29: Bestimmen Sie x

y

∈ R ² so, daß

f (x, y ) =





1 −2

2 6

2 7



 x

y

−



 0 0 45





2

minimal wird.

Berechnen Sie den Wert der Funktion f an dieser Stelle.

L¨ osung: Verwende das QR-Verfahren f¨ ur Ausgleichsprobleme mit

A =





1 −2

2 6

2 7



 b =



 0 0 45





Schritt 1:

α ₁ = −sign(1)



 1 2 2





= − √

1 + 4 + 4 = − √

9 = −3

v ₁ =





1 − (−3) 2

2



 =



 4 2 2





Q ⁽¹⁾ = 1 + 1

α ₁ v ₁₁ v ₁ v ^T ₁ = 1 − 1 12



 4 2 2



 4 2 2

Q ⁽¹⁾



 1 2 2



 =



 1 2 2



 − 1 12



 4 2 2



 12 =





−3 0 0





Q ⁽¹⁾





−2 6 7



 =





−2 6 7



 − 1 12



 4 2 2



 18 =





−2 6 7



 − 3 2



 4 2 2





=





−2 6 7



 −



 6 3 3



 =





−8 3 4





Q ⁽¹⁾ A =





−3 −8

0 3

0 4



 = A ⁽²⁾

b ⁽²⁾ = Q ⁽¹⁾ b =



 0 0 45



 − 1 12



 4 2 2



 90 =



 0 0 45



 − 15 2



 4 2 2



 =





−30

−15 30





Schritt 2:

α ₂ = −sign(3)



 0 3 4





= − √

9 + 16 = − √

25 = −5

v ₂ =



 0

3 − (−5) 4



 =



 0 8 4





Q ⁽²⁾ = 1 − 1

40



 0 8 4



 0 8 4

Q ⁽²⁾





−8 3 4



 =





−8 3 4



 − 1 40



 0 8 4



 (0 + 24 + 16) =





−8 3 4



 −



 0 8 4



 =





−8

−5 0





Q ⁽²⁾ A ⁽²⁾ =





−3 −8 0 −5

0 0



 = A ⁽³⁾

b ⁽³⁾ = Q ⁽²⁾ b ⁽²⁾ =





−30

−15 30



 − 1 40



 0 8 4



 (0 − 120 + 120) =





−30

−15 30





Damit f(x, y) minimal wird, muss (x, y) −3 −8

0 −5

x y

=

−30

−15

l¨ osen. Durch R¨ uckw¨ artseinsetzen ergibt sich y = 3 und x = 2.

F¨ ur das Residuum ergibt sich f (2, 3) = k(30)k ² = 900.

Aufgabe 30: Orthonormalisieren Sie im R ⁴ die Vektoren:

a ₁ = (1, 1, 0, 0) ^T , a ₂ = (1, 0, 1, 0) ^T a ₃ = (0, 0, 1, 0) ^T Erg¨ anzen Sie zu einer Orthonormalbasis im R ⁴ .

L¨ osung: Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren:

• v ₁ = _ka ^a

¹

1

k = ( ^{√ 1}

2 , ^{√ 1}

2 , 0, 0) ^T

• v ˜ ₂ = a ₂ − (a ₂ .v ₁ )v ₁ = ( ¹ ₂ , − ¹ ₂ , 1, 0) ^T v ₂ = _k˜ ^{˜ v} _v

²

2

k = ( ^{√ 1}

6 , − ^{√ 1}

6 , q

2 3 , 0) ^T

• v ˜ 3 = a 3 − (a 3 .v 2 )v 2 − (a 3 .v 1 )v 1 = (− ¹ ₃ , ¹ ₃ , ¹ ₃ , 0) ^T v ₃ = _k˜ ^{˜ v} _v

³

3

k = (− ^{√ 1}

3 , ^{√ 1}

3 , ^{√ 1}

3 , 0) ^T Sei v 4 = (0, 0, 0, 1) ^T , denn

kv ₄ k = 1, v ₁ .v ₄ = v ₂ .v ₄ = v ₃ .v ₄ = 0

und v ₁ , v ₂ , v ₃ , v ₄ ist eine Orthonormalbasis im R ⁴ .

Aufgabe 31: Betrachten Sie die von den Vektoren



 1 1 0



 und



 3

√ −1 8



 aufgespannte Ebene durch den Ursprung.

a) Berechnen Sie eine Orthonormalbasis der Ebene.

b) Berechnen Sie mit Hilfe der Orthonormalbasis die Projektion des Punktes p =



 1 2

√ 1 2



 auf diese Ebene.

c) Geben Sie die Ebene in der Form {x|x · n = d} an.

d) Berechnen Sie mit Hilfe von n erneut die Projektion des Punktes p =



 1 2

√ 1 2



 auf diese Ebene.

L¨ osung:

a)

v ₁ = 1



 1 1 0







 1 1 0



 = 1

√ 2



 1 1 0





˜ v ₂ =



 3

−1 √ 8



 − 1 2







 3

−1 √ 8



 ·



 1 1 0











 1 1 0



 =



 2

√ −2 8





v ₂ = 1 k˜ v 2 k ˜ v ₂ =





1 2

− ¹ ₂

√ 1 2





Die beiden Vektoren v ₁ und v ₂ bilden eine Orthonormalbasis der Ebene.

b) Die Projektion des Punktes p auf die Ebene berechnet sich wie folgt:

(p · v ₁ )v ₁ + (p · v ₂ )v ₂ =







 1 2

√ 1 2



 ·



 1 1 0







 1 2



 1 1 0



 +







 1 2

√ 1 2



 ·





1 2

− ¹ ₂

√ 1 2













1 2

− ¹ ₂

√ 1 2





= 3 2



 1 1 0



 + 0





1

− 2 ¹ ₂

√ 1 2





=





3 2 3 2

0





c)

˜ n =



 1 1 0



 ×



 3

−1 √ 8



 =





√ 8

− √ 8

−4





n = 1

k˜ nk n ˜ = 1

√ 32





√ 8

− √ 8

−4



 =





1 2

− ¹ ₂

− ^{√ 1}

2





Die Ebene l¨ asst sich also schreiben als





 x

x ·





1

− 2 ¹ ₂

− ^{√ 1}

2



 = 0





 .

d)

p − (p · n)n =



 1 2

√ 1 2



 −







 1 2

√ 1 2



 ·





1

− 2 ¹ ₂

− ^{√ 1}

2













1

− 2 ¹ ₂

− ^{√ 1}

2





=



 1 2

√ 1 2



 +





1 2

− ¹ ₂

− ^{√ 1}

2





=





3 2 3 2

0





Aufgabe 32: Thema: Eigenschaften schiefsymmetrischer Matrizen

Sei A eine reelle n × n Matrix mit A ^T = −A, d. h. A ist schiefsymme- trisch. Welche Aussagen sind richtig?

a) Die Spur von A, tr A, ist gleich null. ja 2 nein 2 b) Es gilt det A = 0 f¨ ur n = 2. ja 2 nein 2 c) Es gilt det A = 0 f¨ ur n = 3. ja 2 nein 2 d) Es gilt Ax · x = 0 f¨ ur alle x ∈ R ⁿ . ja 2 nein 2

e) Wenn λ ∈ R ein Eigenwert von A ist, dann folgt λ = 0.

ja 2 nein 2

f) exp A ist eine orthogonale Matrix. ja 2 nein 2

g) Es gilt det (exp A) = 1. ja 2 nein 2

L¨ osung: Die Antworten lauten:

a) Ja, denn alle Diagonaleintr¨ age von A sind Null.

b) Nein! Beispiel A =

0 −1 1 0

c) Ja. Man berechnet f¨ ur eine beliebige schiefsymmetrische 3 × 3-Matrix

det





0 c −b

−c 0 a b −a 0



 = 0 + abc + (−a) · (−b) · (−c) − 0 − 0 − 0 = 0.

d) Ja. Ax · x = x · A ^T x = x · (−A)x = −x · Ax = −Ax · x ⇒ 2Ax · x = 0.

e) Ja. Ax · x = 0 bedeutet, dass Ax stets senkrecht auf x steht. Also kann Ax kein Vielfaches von x sein, ausser das Nullfache.

Formal: Sei Ax = λx mit x 6= 0. Dann 0 = Ax · x = λx · x = λkxk ² ⇒ λ = 0.

f) Ja, siehe Vorlesung.

g) Ja. det(exp(tA)) ist stetig (differenzierbar) in t und kann f¨ ur beliebige t nur die Werte 1 und -1 annehmen, da exp(tA) stets orthogonal ist. Da die Werte dazwischen nicht m¨ oglich sind, muss die (stetige) Funktion f¨ ur alle t konstant sein. Da

det(exp(0A)) = det(exp(0)) = det( 1 ) = 1, muss auch gelten

det(exp(A)) = det(exp(1A)) = 1.

Aufgabe 33: Thema: Orthonormalsystem und orthogonale Projektion Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt und U = span{u ₁ , ..., u _n } ein Unterraum, wobei {u ₁ , ..., u _n } ein Orthonormalsystem sei. Welche Aus- sagen sind richtig?

a) Wenn v ∈ V und v·u _i = 0 f¨ ur i = 1, ..., n, dann ist v = 0.

ja 2 nein 2

b) Die orthogonale Projektion P v ∈ U eines Vektors v ∈ V ist eindeutig bestimmt und es gilt: P v = P n

i=1 (v·u _i )u _i .

ja 2 nein 2

c) F¨ ur v, w ∈ V gilt: P v·P w = P n

i=1 (v·u _i )(w·u _i ).

ja 2 nein 2

d) Wenn v ∈ V , dann gilt: kvk ² = P n

i=1 (v·u _i ) ² .

ja 2 nein 2

e) Wenn v ∈ U , dann gilt: kvk ² = P n

i=1 (v·u i ) ² .

ja 2 nein 2

L¨ osung: Die Antworten lauten: a) Nein! Bsp. v = e ₃ , u ₁ = e ₁ , u ₂ = e ₂ , U = span{u ₁ , u ₂ } b) Ja! c) Ja! Ausmultiplizieren u _i · u _j = 0. d) Nein! Siehe a) e) Ja!

Wegen c) v = w = u, dann P v = P w = u.