Fakultät für Mathematik IAN/IMO
Serie 5
1. Konstruieren Sie eine bijektive Abbildungf von der Menge X={1,2,3,5,6,10,15,30}auf die PotenzmengeP(Y)mit Y ={2,3,5}, so dass für beliebigem, n∈X gilt:
m teilt n⇐⇒f(m)⊂=f(n).
2. Esei die Menge der Eigenschaften ReflexivitätR, SymmetrieSund TransitivitätT, also E={R, S, T }.
Geben Sie zu jedemX∈P(E)ein Beispiel einer binären Relation auf einer geeigneten Menge M an, die Eigenschaften ausXjedoch nicht die Eigenschaften ausE\Xhat.
3. Es seiR1eine Äquivalenzrelation in einer MengeM1undR2eine Äquivalenzrelation in einer Menge M2. Unter R =R1∗R2 werde die folgendermaßen definierte Relation in M1×M2 verstanden:
(x1, y1)R(x2, y2)⇐⇒x1R1x2∧y1R2y2 für allex1, x2∈M1undy1, y2∈M2.
Zeigen Sie, dassR eine Äquivalenzrelation inM1×M2 ist und beschreiben Sie die Äquiva- lenzklassen.
4. Es seiM eine beliebige Menge undR⊂=M×M eine reflexive und transitive Relation inM. Es sei nunT die für allex, y∈M durch
xT y⇐⇒xRy∧yRx definierte binäre Relation inM.
Untersuchen Sie die Eigenschaften der RelationT inM.