ja gell

Volltext

(1)104. Satz. Es seien Du. Intervalle. Dg. sowie. toe Dg. Dann. existiert ein. x C. Das Rezept a. b. hl. Für hk. Beweisskizze. das AWP. auf dem. Dg. ds. H to G. nämlich 2. Alz. und. Y. wobei. dir. Auffinden der Lösung ist also. zum. Wenn. 0. Xo. eine Lösung hat. gls. c. hl. hlxltD.EE Dg. glt. to. genau G It. dass. so. Intervall 3. t. x. Du. gell Dg. hell Du. in R und. dann wähle. O. f0. ohne. Löse. von. auf. lt. nach. Eindeutigkeit. xo. dort. G lt. Hlxits. ergibt Sinn. H. It. C. Stetigkeit von h. garantiert eine Umgebung. in der h nullstellenfrei ist. mit. tilz. 1. ufz. Nach dem HDI. 0. D. mit Hiv. Umgebung streng monoton. ist H. h. H ist. o. und daher. in dieser. lokal umkehrbar mit Umkehrfht in l H. of eilt. i. Für. ist Lösung s. ja. i. Ä. qm. H so G. gilt. s. glt. tilda. h. It. glt. keltenregel. Umkehrsatz ii. to. H. C lt. H lo. xo. D.

(2) 105. Bsp. Betrachte das AWP lt. cos t. gilt. X. t. ist. von. gew. t. Eine gew DEL. n. blt. Ist blt bzw alt. mit. alt unabh. t. von. DEL. Alt. c. Cd. für. y. Ed heißt. blt E. Ed. Et EI. Cl heißt linear. für mit. 2. gleich Null. linearen. Ordnung. Form besitzt. tv Ordnung. t. x. Ist Alt bzw fault. homogenen. durch Auflösen. sin lt. e. erster. DGlen. wenn es folgende. ar.lt. erhalten wir. Lineare gewöhnliche DGL. Alt y t. jlt. t. e. sin t. Lu e. definiert solange. System. Linear. G lt. lt. IX 4. Ein. Xo. dy. Hl. aus. sin t. z. e y. die Lösung. Def i. dt. cos lt O. Hdz. Diese. ER. 0. e. G lt. Dh. t ER. Xo. o. Es. lt. l. av.lt. spricht. ft EI. alt E E. man von. spricht. sonst inhomogen. wenn. kte I. konstanten Koeffizienten. man. von. einer.

(3) Mit Hilfe des Reduktion der Ordnung Tricks. DGL. der Form. Korollar. in eine. 2. Betrachte. i. 0. Ist. ii. Bsp. Ist. mit. Alt. c. 0 alt. t Lösung. Lösung. dann ist yet. von. xlt. x. ylt. t. lt. 2ß. dann ist. Lösung von. xlt. KH. Lösung von 2. FA. ritt tweet. Igg. Flt. ß. ritt äquivalent zu. ist mit vlt. H. von. Getriebener gedämpfter harmonischer Oszillator. ÄH. 106. kann jede. s. übersetzt werden. mit an 1 und. 2. blt. und. der Form. s. Iii. I. X. L. O. Punktim Phasenraum. Satz. Für AE 1k. KEINE. x. Elk. die eindeutige Lösung des AWPS. Gf. Beweis. up TAI. Ist IH eine. Lösung vor. Ilo. A explitt xo. b.lt. O und. Damit ist. dat. e. TA su. Nach dem HDI ist damit. Ben. o. Analog ist. lt. IR 1K. ist. Aut. ritt. und explitA. weitere Lösung. expftA. lt. xLu. xo. o. für t O Damit liegt eine. x. dann. gilt für. Alt. xlt. Ict dass. Ask e TALA s.lt t e e. table. up Lt to A. HASH. Ablo. 0 0. kt. eindeutige Lsg von. Also Alt O. i Ax. B to xo.

(4) D h der Raum. der Lösungen der DEL. besteht. aus. Da Satz. genau. ett. eilt. Alt. 1oz. den Linearkombinationen der Spalten der Matrix. invertierbar ist. ist der Lösungsraum. n. dimensional. Lösungeiner homogenen linearen DGL n'tv Ordnung mit Kunst. Sei. L die. mit. ar.EE und pl. Menge der Lösungen der. It. Wenn 1 die Nullstellenmenge. L Beweis. span. f. Es. gilt pl. und. ich. DIN A hin die. erster. unabhr. Größe des. span. f. da die ersten. A. exptt3it. explitt. f rupft. Zeilen. n 1. von. so. 3. gilt. gegeben ist. durch. n. A von. A. dass. d ist. zu. X. X. 6. s. wegen. X. Ay. von. er. die. CH. alle Jordanblöcke. Jordanblocks Ja. X. alt. Eigenwert von. sonst wäre der Rang kleiner. dass der Lösungsraum span. 1. n. in. Ay. Ordnung. Demnach haben. Mit der Jordan Normalform. expitt. 0in. D h de 1 ist. Rang Lian A. verschiedene Eigenwerte. uli. del. TI A. det. DEA. kein en. in. kein. in. Der Lösungsraum der ursprünglichen DGL ihr Ordnung ist dann die erste Komponente davon was S. 96. gleich der angegebenen Menge. mit dem Lemma ist. O. Polynom. gilt. the. DGL. Betrachte die zugehörige. für. lt. aux. Charakteristisches. ist und. p. Koeffizienten. lt. and. von. zugehörige Vielfachkeit dann. DGL. tt. von. B.

(5) 108. Ben. Wenn. a. ER. über R. Vektorraum. einen i. t. ii. t. net. t. Dieser wird aufgespannt durch. uld. 0in. d I. Nullstellen. alle hehn IR. für. tmertsinl.net. tmertcos wt Paare. Bsp. NDR. dann bilden auch die reellen Lösungen. rtiw.r.in. von. nu. 0 im. für. alle. komplex konjugierter. p. Gedämpfter harmonischer Oszillator. nix. 2ps. pH Ii. Itzßt tw hat 1 f ß Vp w kritische. ß. 0. O w. 0. Nullstellenmenge. II. ß. Dämpfung. d h. w. lt. ally reelle Lsg. d. e. Pt. dt D c. fcz. öchstens. µ. unit. t t. reelle e. Pt. ER. ein Nulldurchgang. t. unterkritische Dämpfung. ally. c. ein Extremum. pt. ii. ß. O. ß. w. w.si. it. II. Lösung ist c cos. Vw ß t. cnet.VN. t. Vw ß w czetPtVM It taz sin. t. für ß. w. für ß. w.

(6) Satz. Seien. t. Alt. c. inhomogenen. y.EE Lb Dh eine. Alf. y. Lb. f. y. Lösung zu finden und diese zur. DGL. S 1oz. bzw. ELO. JXELoiy.tt. YE Lo. Ist. f. t. t 2ps. f. eilt. allgemeinen Lösung der. zu addieren. EI. türk. f Heikt. Einsetzen. Ilk Ist z.B. empfiehlt. flt. cos Ct. likitzikß tw ei Flut. w. sich folgender Fourierreihen Ansatz. K. dann. Re. w. EI. k. ei. liefert eine spezielle Lsg sofern. Zikß. die. zugehörige. Fourierreihe konvergiert. folgt daraus it. YA. Schwingkreis. ich ein. yet. Ilk. in DGL. vgl Rtl. fit. Zu periodisch. stetig. D. finden genügt es. zu. Periodisch getriebener gedämpfter harmonischer Oszillator lt. Lo Ne. DEL in Axt f. bzw homogenen. alle Lösungen der inhomogenen DGL. um. homogenen. Bsp. F. und ist. gilt Lb L yt. YE Lb. Für ein beliebiges. Beweis. blt Elk. t. 1k. du. Lösungsmenge. Bem. 109. wir zuletzt den inhomogenen Fall. Betrachten. Ü. p. 1. costtst2ßsiult. w n. Die aug Lsg erhalten wir dann durch addition der. t. 4ß. ally. homogenen Lsg.

(7)