Stand: 21. Juli 2009

Wichtige Formeln, Definitionen & S¨atze der Funktionentheorie

im SS 2009 bei Prof. Dr. Albin Weber von Simon St¨ utzer

Stand: 21. Juli 2009

Grundformeln der Funkionentheorie Z

C_r(z₀)

dz

z−z₀ = 2πi, Z

C_r(z₀)

(z−z0)ⁿdz= 0, ∀n∈C, N6=−1

Cauchy-Integralformel f¨ur Kreise

Seif holomorph in Ω h dB_r(z₀)⊂Ω eine geschlossene Kugel in Ω, dann gilt f(z) = 1

2πi Z

C_ρ(z₀)

f(w)

w−zdw, ∀z∈Bρ(z0), ρ≤r

Cauchy-Integralformel f¨ur einfach positiv umlaufende Wege

Sei γ ein geschlossener Weg, der jeden von ihm umschlossenen Punkt einfach positiv uml¨auft. γ liegt mitsamt seinem Inneren in Ω undf ist dort holomorph, dann gilt

f(z) = 1 2π

Z

γ

f(w) w−zdw

∀z im Inneren vonγ.

Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen

Jede in Ω holomorphe Funktion f ist analytisch in Ω, insbesondere beliebig oft differenzierbar.

Der Konvergenzradius der Reihe f(z) =

∞

X

n=0

an(z−z0)ⁿ um einen Punkt z0∈Ω

ist mindestensR= dist(z0, ∂Ω). F¨ur die Koeffizientenan gelten die Cauchy-Formeln an= f⁽ⁿ⁾(z0)

n! = 1

2πi Z

C_r(z₀)

f(z) z−z0

n+1

dz, ∀r: 0< r < R.

Wichtige Reihen

e^z=

∞

X

n=0

e^z0

n!(z−z0)ⁿ sinz:=e^iz−e^−iz

2i =

∞

X

n=0

(−1)ⁿ z²ⁿ⁺¹ (2n+ 1)!

cosz:=e^iz+e^−iz

2 =

∞

X

n=0

(−1)ⁿ z²ⁿ (2n)!

1 w−z =

∞

X

n=0

(z−z0)ⁿ (w−z0)ⁿ⁺¹ Definition: Gebiet

Eine offene, zusammenh¨angende Untermenge Ω⊂Cheißt Gebiet inC Definition: Komplexe Funktion

Eine Funktionf : Ω−→C, z−→f(z) heißt komplexe Funktion, es ist alsox+iy−→^f u(x, y) +iv(x, y), mit u, v:R²→R. Definition: Grenzwert

IstU eine Umgebung vona∈Cundf inU\{a}erkl¨art, so schreibt man

z→alimf(z) =b wenn

∀(zn)⊂U\{a} mit zn −→a gilt: lim

n→∞f(zn) =b.

Satz: ¨uber Kombination von Grenzwerten von Funktionen Aus der Existenz der Grenzwerte lim

z→af(z) =bund lim

z→ag(z) =c folgt

z→alim|f(z)|=|b|

z→alim(αf(z) +βg(z)) =αb+βc, f¨urα, β∈C

z→alimf(z)·g(z) =b·c

z→alim f(z) g(z) = b

c fallsc6= 0 Definition: Stetigkeit

Eine Funktionf : Ω−→Cheißt ina∈Cstetig⇐⇒

∀(zn)⊂Ω mitzn −→agilt:f(zn)−→f(a).

Definition: Differenzierbarkeit

Eine Funktionf : Ω−→Cheißt ina∈Ckomplex differenzierbar, wenn der Grenzwert

z→alim

f(z)−f(a) z−a = lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h =:f⁰(a) existiert.

Satz: ¨uber Kombinationen von differenzierbaren Funktionen Sindf, g: Ω−→Can der Stellea∈Cdifferenzierbar, so gilt

• f ist in astetig

• (αf+βg)⁰(a) =αf⁰(a) +βg⁰(a), f¨urα, β∈C

• (f·g)⁰(a) =f⁰(a)·g(a) +f(a)·g⁰(a)

• _f

g

0

(a) = f⁰(a)·g(a) +f(a)·g⁰(a)

g(a)² , fallsg(a)6= 0

• fals g : Ω → Ω⁰ in a differenzierbar ist und f : Ω⁰ → C in g(a) differenzierbar ist, so gilt (f◦g)⁰(a) =f⁰(g(a))·g⁰(a)

Definition: holomorphe Funktion

Eine Funktion f : Ω −→ C heißt holomorph, wenn sie in jedem Punkt von Ω stetig komplex differenzierbar ist, d.h.z→f⁰(z) ist auf ganz Ω erkl¨art.

Sind f, g : Ω −→ C holomorph, so sind auch αf +βg (α, β ∈ C), f ·g und f

g (außerhalb der Nullmenge vong) holomorph.

Satz: ¨uber holomorphe Funktionen Eine komplexe Funktion

f :z=x+iy−→u(x, y) +iv(x, y)

ist genau dann holomorph, wennuundvals reellwertige Funktionen auf Ω⊂R²C¹-differenzierbar sind und die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen gelten

∂u

∂x = ∂v

∂y, ∂u

∂y =−∂v

∂x. Es ist dann

f⁰(x+iy) =∂u

∂x(x, y) +i∂v

∂y(x, y) =∂v

∂y(x, y)−i∂u

∂y(x, y).

Satz: ¨uber konstante holomorphe Funktionen

Eine holomorphe Funktionf : Ω−→Cheißt konstant in Ω, wennf⁰(z) = 0 ¨uberall in Ω ist.

Definition: St¨uckweise glatte Kurve in C EbeneC¹-Kurvenst¨ucke werden parametrisiert durch

γ:t−→z(t) =x(t) +iy(t), a≤t≤b.

Die L¨ange der Kurve ist dann gegeben durch

L(γ) =

b

Z

a

px(t)˙ ²+ ˙y(t)²dt=

b

Z

a

|z(t)|˙ ²dt.

˙

z(t) = ˙x(t) +iy(t) tritt an die Stelle des Tangentenvektors einer Parametrisierung.˙

Definition: komplexes Integral

SeiF(t) =U(t) +iV(t) undU, V ∈C[a, b] dann definiert man

b

Z

a

F(t)dt=

b

Z

a

U(t)dt+i

b

Z

a

V(t)dt.

SeiF(t) =U(t) +iV(t) undU, V ∈C[a, b] dann ist

b

Z

a

F˙(t)dt=F(b)−F(a) mit ˙F(t) = ˙U(t) +iV˙(t).

Definition: komplexes Kurvenintegral

Sei f : Ω−→ Cstetig und γ ein durch z : [a, b] −→ Cgegebenes, orientiertes C¹-Kurvenst¨uck, dann definiert man

Z

γ

f(z)dz=

b

Z

a

f(z(t))·z(t)dt˙

Satz: Integralabsch¨atzung

Ist|f(z)| ≤M auf der Spur vonγ, so ist |R

γ

f(z)dz| ≤M·L(γ).

Satz: Zur¨uckf¨uhrung auf Kurvenintegrale im R²

Seif(x+iy) =u(x, y) +iv(x, y) stetig in Ω undγ ein Wef in Ω. Dann gilt:

Z

γ

f(z)dz= Z

γ

(udx−vdy) +i Z

γ

(vdx +udy) = Z

γ

f~d~x+i Z

γ

~ gd~x

mitf~= (u,−v) und~g= (v, u). Istf insbesondere holomorph in Ω, so erf¨ullen beide Vektorfelder die Integrabilit¨atsbedingung.→f , ~~ gsind Gradientenfelder woraus die Wegunabh¨angigkeit und die Existenz eines Potentials folgt.

Satz: ¨uber Stammfunktionen

Sei f : Ω −→ C eine stetige Funktion f¨ur die das komplexe Kuevenintegral wegunabh¨angig ist,

d.h. Z

γ₁

f(z)dz= Z

γ₂

f(z)dz

f¨ur je zwei Wegeγ1, γ2in Ω mit gleichem Anfangs- und Endpunkt. Wir w¨ahlen einen festen Punkt z0∈Ω und setzen

F(z) =

z

Z

z0

f(z)dz:=

Z

γ

f(z)dz

wobeiγirgendeine Kurve in Ω vonz0 nachzist. Dann istF holomorph und eine Stammfunktion f¨urf, d.h.F⁰(z) =f(z) ∀z∈Ω.

Definition: komplexer Logarithmus (Hauptzweig) F¨urz=r·e^iϕ, r >0 −π < ϕ < πist

lnz:=

z

Z

1

dw

w = lnr+iϕ

Definition: Zweig des Logarithmus

Sei Ω ein einfaches Gebiet mit 0∈/ Ω. Eine in Ω holomorphe Funktion F heißt Zweig des Loga- rithmus, wenn gilt

e^F(z)=z, z∈Ω.

Satz: Zweig des Logarithmus

Zu einem einfachen Gebiet Ω mit 0 ∈/ Ω gibt es unendlich viele Zweige des Logarithmus. Sie unterscheiden sich um ganzzahlige Vielfache von 2πi.

Definition: kompakte Konvergenz

F¨ur ein Gebiet Ω ⊂ C, stetige Funktionen f_n : Ω −→ C, die gleichm¨aßig auf jeder kompakten Teilmenge von Ω gegenf streben,f_n ^gleichm¨−→^aßigf, sagt man:f_n streben gegenf in Ω im Sinne der kompakten Konvergenz.

Satz: ¨uber kompakte Konvergenz

Seien f_n stetig, die in Ω gegen f im Sinne der kompakten Konvergenz streben. Dann ist f in Ω stetig und es gilt f¨ur jeden Wegγ

Z

γ

f(z)dz= lim

n←∞

Z

γ

fn(z)dz.

Satz: ¨uber Potenzreihen

Besitztf eine Potenzreihendarstellung f(z) =

∞

X

n=0

an(z−z0)ⁿ: |z−z0|< R

mit 0< R <∞, so ist f dort beliebig oft komplex differenzierbar und man erh¨alt die Ableitung durch Gliedweise Differentiation.

Definition: analytische Funktion

Eine Funktionf : Ω−→Cheißt analytisch, wenn

∀z0∈Ω∃R >0 :f in B_R^◦(z₀) als Potenzreihe darstellbar mit f(z) =

∞

X

n=0

a_n(z−z₀)ⁿ

Satz: Identit¨atssatz f¨ur analytische Funktion

Seienf, ganalytische Funktionen auf dem Gebiet Ω undf(zn) =g(zn) f¨ur eine bestimmte Folge (zn)⊂Ω−→z0∈Ω, zn6=z0

dann istf ≡g.

Satz: Cauchyscher Integralsatz

Seif holomorph in einem einfachen Gebiet Ω, dann gilt Z

γ

f(z)dz= 0

f¨ur jeden geschlossenen Wegγ in Ω.

Satz: Homologiesatz

Sei Ω\{z0}ein gelochtes Gebiet in demf holomorph ist undγdie Stellez0einfach positiv uml¨auft.

Dann ist

Z

γ

f(z)dz= Z

Cr(z0)

f(z)dz

falls das Innere vonγ undCr(z0) in Ω sind.

Definition: Homologe Wege

Zwei geschlossene Wegeγ₁,γ₂ heißen homolog⇔ Z

γ₁

f(z)dz= Z

γ₂

f(z)dz ∀f ∈C¹(Ω) .

Satz: Identit¨atssatz f¨ur holomorphe Funktionen

Stimme zwei in einem Gebiet Ω holomorphe Funktionenf, gin einem in Ω gelgegnen Kurvenst¨uck

¨uberein, so stimmen sie auf ganz Ω ¨uberein.

Definition: ganze Funktion

Eine auf ganzCholomorphe Funktion heißt ganze Funktion. Sie besitzt eine ¨uberall konvergente Reihenentwicklung

f(z) =

∞

X

n=0

anzⁿ, z∈C→KonvergenzradiusR=∞.

Satz: ¨uber Absch¨atzung der Koeffizienten einer Potenzreihe Sei

f(z) =

∞

X

n=0

an(z−z0)ⁿ f¨ur|z−z0|< R setzt man

M(f, r) := max{|f(z)|:|z−z₀|=r} f¨ur 0< r < R dann gilt

|an| ≤ M(f, r)

rⁿ , n∈N0. Satz: Satz von Liouville

Jede beschr¨ankte ganze Funktion ist konstant.

Satz: Fundamentalsatz der Algebra

Jedes nichtkonstante Polynom mit komplexen Koeffizienten besitzt wenigstens eine Nullstelle in C. Daraus folgt unmittelbar der Fundamentalsatz der Algebra.

Satz: Satz von Morera Istf : Ω−→Cstetig und giltR

γ

f(z)dz= 0 f¨ur jeden geschlossenen, einfach gelagerten Wegγ in Ω, so ist holomorph in Ω.

Definition: isolierte Singularit¨at

Istf holomorph undD(f) = Ω\{z0}, so heißtz0isolierte Singularit¨at vonf.

• z0 heißt hebbare Singularit¨at ⇔ eine holomorphe Funktion g in einer Kugel B(z0)\{z0} existiert und

f(z) =g(z) inB(z0)\{z0} ∀z

• z₀ heißt Polstelle, wenn gilt

z→zlim0

|f(z)|=∞

• z0 heißt wesentliche Singularit¨at, falls sie weder Polstelle noch hebbare Singularit¨at ist.

Definition: Laurent-Reihe Eine Reihe der Form

f(z) =

∞

X

n=−∞

an(z−z0)ⁿ heißt Laurent-Reihe. Sie konvergiert, wenn

r:=

∞

X

n=0

an(z−z0)ⁿ und h:=

−1

X

n=−∞

an(z−z0)ⁿ=

∞

X

n=1

a_−n (z−z₀)ⁿ konvergent sind. Dann ist f(z) =

∞

P

n=−∞

an(z−z0)ⁿ = h(z) +r(z), wobei h(z) singul¨arer oder Hauptteil undr(z) regul¨arer oder Nebenteil heißt.

Satz: ¨uber den singul¨aren Teil einer Laurent-Reihe Betrachtet man den singul¨aren Teil einer Laurent-Reihe

∞

P

n=1 a−n

(z−z0)ⁿ dann gilt

• Ist die Reihe konvergent f¨ur z=z₁, so ist sie absolut konvergen∀z:|z−z₀|>|z1−z₀|

• Ist die Reihe divergent f¨urz=z₂, so ist sie divergent ∀z:|z−z₀|<|z₂−z₀| Folgerung:

Ist der Hauptteil einer Laurent-Reihe konvergent f¨urz1, der Nebenteil konvergent f¨urz2, so ist die Laurent-Reihe konvergent im Ringgebiet

ρ:=|z1−z0|<|z−z0|<|z2−z0|=:R.

Satz: ¨uber gleichm¨aßige Konvergenz der Laurent-Reihe Ist die Laurent-Reihe

∞

P

−∞

a_n(z−z₀)ⁿ=:f(z) konvergent f¨ur

ρ:=|z1−z₀|<|z−z₀|<|z2−z₀|=:R mit 0≤ρ < R≤ ∞ so ist sie gleichm¨aßig konvergent f¨ur

ρ+ε≤ |z−z₀| ≤r, ε >0, r < R (kompakter Kreisring).

Insbesondere ist dannf in diesem Kreisring holomorph und es gilt an = 1

2πi Z

C_r(z₀)

f(w)

(w−z0)ⁿ⁺¹dw ρ < r < R.

Satz: Identit¨atssatz f¨ur Laurent-Reihe Seiρ:=|z1−z0|undR:=|z2−z0|. Gilt

∞

X

n=−∞

an(z−z0)ⁿ=

∞

X

n=−∞

bn(z−z0)ⁿ

f¨urρ <|z−z₀|< R, so gilta_n=b_n ∀n∈Z. Satz: ¨uber Laurent-Reihe-Entwickelbarkeit

Seif holomorph in jedem RinggebietG:={z∈C:ρ <|z−z0|< R} mit 0≤ρ < R≤ ∞. Dann besitztf eine Reihenentwicklung

f(z) =

∞

X

n=−∞

an(z−z0)ⁿ

und ist in jeder kompakten Teilmenge von G gleichm¨aßig konvergent. Dabei folgt durch die Cauchy.Integralformel

a_n = 1 2πi

Z

Cr(z0)

f(w)

(w−z0)ⁿ⁺¹dw f¨urρ < r < R.

Somit istf durch eine Laurent-Reihe dargestellt.

Satz: ¨uber Absch¨atzung der Koeffizienten einer Laurent-Reihe Die Funktionf besitzt die Laurent-Reihe

f(z) =

∞

X

n=−∞

a_n(z−z₀)ⁿ und es sei

M(f, r) := max{f(z) :|z−z0|=r} ρ < r < R dann gilt

|an| ≤ M(f, r)

rⁿ ∀n∈Z Satz: Satz von Riemann

Istf holomorph undbeschr¨ankt f¨urρ <|z−z₀|< R, so ist z₀eine hebbare Singularit¨at vonf. Satz: Charakterisierung von Polstellen

Die f¨ur 0 < |z−z₀| < R holomorphe Funktion f hat genau dann einen Pol in z₀, wenn ihre Laurent-Reihe die Form

f(z) =

∞

X

n=−m

a_n(z−z₀)ⁿ (m∈N, a_−m6= 0)

hat, d.h. der Hauptteil besteht aus endlich vielen Gliedern.mheißt dann Ordnung der Polstelle.

Satz: Kriterium f¨ur Polstellen

Eine isolierte Singularit¨atz0 vonf heißt Polm-ter Ordnung⇔ ∃b= lim

z→z0

(z−z0)^mf(z)6= 0 Sei g holomorph in einer Umgebung um z0 und z0 eine Nullstelle m-ter Ordnung von g, so hat 1/g inz eine Polstellem-ter Ordnung

Definition: ganz-transzentente Funktion

Eine Funktionf heißt ganz-transzendent, wennf ganz und kein Polynom ist.

Satz: Satz von Casorati-Weierstraß

Seif holomorph in 0<|z−z=0|< Rundz0 eine wesentliche Singularit¨at vonf, so gilt

• ∀a∈C: ∃(zn) : z_n −→z₀∧f(z_n)−→a

• ∃(wn) : w_n −→z₀∧ |f(w_n)| −→ ∞

Satz: Satz von Casorati-Weierstraß f¨ur ganz-transzendente Funktionen F¨ur eine ganz-transzendente Funktion gilt

• ∀a∈C: ∃(zn) :|zn| −→ ∞ ∧f(zn)−→a

• ∃(wn) :|wn| −→ ∞ ∧ |f(wn)| −→ ∞ Satz: Satz von Picard

Besitztf inz0 eine wesentliche Singularit¨at, so existiert eina∈C, so dassf in jeder Umgebung vonz0 alle Werte vonC\{a} annimmt.

Definition: Resiuduum

Seif holomorph in Ω\{z0}undz₀ eine isolierte Singularit¨at vonf, dann ist f(z) =

∞

X

n=−∞

a_n(z−z₀)ⁿ f¨ur 0<|z−z₀|, R >0.

Der Koeffizienta₋₁ heißt Resiuduum vonf an der Stelle z0 und wird mit Res(f, z0) bezeichnet.

Es gilt:

Res(f, z₀) :=a₋₁= 1 2πi

Z

Cr(z0)

f(z)dz= 1 2πi

Z

γ

f(z)dz

f¨ur 0< r < Rund jeden geschlossenen Wegγ, derz0einfach positiv uml¨auft und mitsamt seinem Inneren in Ω liegt.

Satz: Resiuensatz

Sei f holomorph inγ mit Ausnahme der isolierten Singularit¨aten. Trifft der geschlossene Weg γ in Ω auf keine Singularit¨at, so gilt

Z

γ

f(z)dz= 2πi

N

X

k=1

Res(f, zk).