Was l¨asst sich dann ¨uber die Konvergenzradien von P∞ n=0(an+bn)zn und P∞ n=0anbnznaussagen? Aufgabe 3 Sei f, g:C\ {0} →C definiert durch f(z

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Bergische Universit¨at Wuppertal SoSe11 Fachbereich C - Mathematik und Naturwissenschaften

Apl. Prof. Dr. G. Herbort Dipl. Math. T. Pawlaschyk

Ubungen zur Einf¨¨ uhrung in die Funktionentheorie Blatt 2

Aufgabe 1 (a) Bestimmen Sie die Konvergenzradien der ReihenP∞

n=0z^n!undP∞

n=1(logn)ⁿzⁿ. (b) F¨ur welchez∈Ckonvergiert die folgende Reihe

∞

X

n=1

1

(z−n−¹₂)²−¹₄? Bestimmen Sie den Grenzwert.

Aufgabe 2 Seien f(z) =P∞

n=0anzⁿ undg(z) =P∞

n=0bnzⁿPotenzreihen mit Konvergenzradi- en r_f bzw.r_g. Was l¨asst sich dann ¨uber die Konvergenzradien von P∞

n=0(a_n+b_n)zⁿ und P∞

n=0anbnzⁿaussagen?

Aufgabe 3 Sei f, g:C\ {0} →C definiert durch

f(z) = Re(z)

|z| und g(z) = Re(z)²Im(z)

|z|

Lassen sichf, g stetig auf ganz Cfortsetzen?

Aufgabe 4 Sei M ⊂C,M 6=∅. Definiere

d(z, M) = inf{|z−m|:m∈M}

f¨urz∈C.

(a) Zeigen Sie die Ungleichung:|d(z, M)−d(w, M)| ≤ |z−w|f¨ur alle z, w∈C. (b) Folgern Sie, dassd(·, M) stetig aufC ist.

(c) Berechnen Sie d(·, M) f¨ur den Fall M =∂∆(i,2) ={z∈C:|z−i|= 2}.

Aufgabe 5 Sei z₀ ∈C\Rund (z_n)n≥0 rekursiv definiert durch

z_n+1 = 1 2

z_n− 1

z_n

.

Zeigen Sie, dass f¨ur Imz0 >0 die Folge (zn)n gegeni konvergiert.

Hinweis: Vergleichen Sie ^z_zⁿ⁺¹⁻ⁱ

n+1+i mit ^z_zⁿ⁻ⁱ

n+i. Was ist

z0−i z0+i

?

Abgabe:29.04.11 bis 14:00 auf D10, Fach Nr. 104 www.kana.uni-wuppertal.de www.math.uni-wuppertal.de/~herbort