Mathematik 1 B - Aufgaben zur Mengenlehre /Lösungen zu Blatt 1/Wiebe
1.) Entsprechen die folgenden Angaben der Mengendefinition:
A = { } Ja, hier: die sog. Leere Menge B = { x, y, z, 1, 2, 3 } Ja. Zeichen, keine Wiederholung C = { i, j, i, k, i, l } Nein: Buchstaben mit Wiederholung
D = { ij, ik, il } Ja. Worte zu je zwei Buchstaben, keine Wiederholung E = { 1, 0, 01, 11, 101 } Ja. Worte unterschiedlicher Länge mit binären Zeichen
2.) Stellen Sie die Zahlenmenge
M = { x | (x ∈ IR) ∧ (0 < x ≤ 1) } als Intervall auf der Zahlengeraden dar !
3.) Falsch ist nur c) [ 0, ∞ ] , mit ∞ kann kein abgeschlossenes Intervallende angegeben werden.
Richtig: [ 0, ∞ )
4.) a) durch Beschreibung mit Worten
( 0, 1 ] ist die Menge aller reellen Zahlen zwischen 0 und 1 einschl. der 1
[ 10, 100 ) ist die Menge aller reellen Zahlen zwischen 10 und 100 einschl. der 10 b) durch ihre Eigenschaften in der Form { x ∈ ? | Eigenschaften }
( 0, 1 ] = { x ∈ IR | 0 < x ≤ 1}
[ 10, 100 ) = { x ∈ IR | 10 ≤ x < 100 }
5.) M1 = { -1, 0, 1, 2, 3 }= { m ∈ Z/ | -1 ≤ m ≤ 3 }
M2 = { -1, 1, 2, 3 } = { m ∈ Z/ | (m= -1) ∨ (1 ≤ m ≤ 3) } M3 = { -1, 0, 1, 3 } = { m ∈ Z/ | (-1 ≤ m ≤ 1) ∨ (m=3) }
6.) Welche der folgenden Mengenangaben sind nicht korrekt:
B = { 2, 4, 6 } ∨ { z ∈ Z/ | -2 < z < 9 } das „∨ ” ist ein Symbol der Boolschen Algebra (Aussagenlogik) D = { x ∈ IR | (x > 2) ∪ (x < 0) } das „∪ “ verknüpft Mengen, keine Aussagen
E = { x ∈ IR | (x ≤ 2) ∧ (x > 3) } Widerspruch der Bedingungen (x ≤ 2) und (x > 3) G = { x ∈ IR | -1 < x > -2 } Alle Relationen müssen sinnvoll sein: -1 < > -2 ? H = { x ∈ IR | 1 < x < -1 } Siehe G, Widerspruch: 1 < -1
7.) Geben Sie die folgenden Mengen mit Hilfe von Intervallen an, grafisch und als Formelausdruck:
a) Ma = { x ∈ IR | (1 ≤ x < 2) ∨ (3 ≤ x < 4 } = [ 1, 2 ) ∪ [ 3, 4 )
b) Mb = { x ∈ IR | (1 ≤ x < 2) ∧ (3 ≤ x < 4 } = [ 1, 2 ) ∩ [ 3, 4 ) = 0/
c) Mc = { x ∈ IR | (1 ≥ x) ∧ (x > 0 } = ( 0, 1 ]
