Ubungsaufgaben Lineare Algebra f¨ ¨ ur Physiker WS 2009/2010 - 10. Serie
10.1 Sei 𝐴=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
𝜆 2 3 2 1 0 1 2 3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
und ⃗𝑏=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝ 1
−1 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠ .
a) F¨ur welche Werte von𝜆 ist𝐴 regul¨ar?
b) Berechnen Sie mit der Cramerschen Regel die L¨osung des linearen Gleichungssystems 𝐴⋅⃗𝑥=⃗𝑏im Fall, wenn 𝐴 regul¨ar ist.
10.2 Sei 𝐴 eine 𝑛×𝑛-Matrix ¨uber einem K¨orper 𝐾 (𝑛 ≥1), so dass
𝑆−1⋅𝐴⋅𝑆 =𝐷𝑖𝑎𝑔(𝜆𝑗) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
𝜆1 0 ⋅ ⋅ ⋅ 0 0 𝜆2 . .. ...
... . .. ... 0 0 ⋅ ⋅ ⋅ 0 𝜆𝑛
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
mit einer regul¨aren Matrix𝑆. Berechnen Sie det(𝐴).
10.3 Bestimmen Sie die Eigenwerte und eine Basis der zugeh¨origen Eigenr¨aume f¨ur die Matrizen
𝐴=
⎛
⎝
−5 2 3 −3
⎞
⎠, 𝐵 =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1 −3 3 3 −5 3 6 −6 4
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
, 𝐶 =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
−3 1 −1
−7 5 −1
−6 6 −2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠ .
10.4 Zeigen Sie: Sind 𝐴, 𝐵 ∈ 𝐾𝑛×𝑛 (𝑛 ≥ 1) Matrizen und 𝐴 invertierbar, so haben 𝐴⋅𝐵 und 𝐵⋅𝐴 dieselben Eigenwerte.
(Abgabe am 07.01.2010)
