Zylinder
Allgemeine Form
Im Alltag begegnen dir viele verschiedene Verpackungen.
1) Sieh dich zu Hause nach verschiedenen Verpackungen um und skizziere zwei, bei denen du Kreise erkennst.
a)
b)
2
Du hast sicher viele Verpackungen gefunden, deren Flächen keine Kreise sind. Aber es gibt auch viele Verpackungen, bei denen zwei Kreise vorkommen. Diese
Verpackungen wollen wir nun genauer betrachten. Um welchen mathematischen Körper handelt es sich denn z.B. um eine Konservendose?
Richtig, bei der Konservendose handelt sich um einen Zylinder.
Ihr erinnert euch bestimmt auch an Prismen, die durch ihre besonderen Eigenschaften eine große Gruppe von Körpern repräsentieren. Bei einem Prisma handelt es sich um einen Körper, der aus zwei parallelen und kongruenten
Vielecken besteht, die durch Rechtecke verbunden sind. Im Gegensatz dazu besteht ein Zylinder aus zwei kongruenten, parallelen Kreisen, die durch eine Mantelfläche
verbunden sind. Die Mantelfläche wiederum wird von parallelen Geraden gebildet.
WICHTIGES ZUM LERNEN
Ein Körper, der von zwei zueinander parallelen und kongruenten Kreisen sowie von
einer Mantelfläche begrenzt ist, nennt man Zylinder.
Die beiden zueinander parallelen und kongruenten Kreise heißen Grundflächen.
Die Mantelfläche des Zylinders wird durch parallele Geraden gebildet, sie ist gewölbt.
Die Seitenfläche des Zylinders bildet die Mantelfläche des Zylinders.
Der Abstand der beiden Grundflächen heißt Höhe des Zylinders.
2) Wie zu einem Würfel oder einem Quader gibt es auch zu einem Zylinder ein Netz, das entsteht, wenn man einen Zylinder senkrecht zur Grundfläche
aufschneidet.
Nimm eine leere Toilettenpapierrolle oder eine leere Küchenrolle, stelle sie hochkant auf ein Blatt Papier und zeichne den Kreis mit einem Stift nach. Markiere nun einen Punkt auf der Kreislinie und schneide diesen Kreis aus.
Schneide jetzt die leere Toilettenpapier- oder die leere Küchenrolle parallel zur Symmetrieachse auf und Rolle die Mantelfläche aus. Du erhältst eine bekannte Fläche, nämlich ein Rechteck, dessen eine Seite (die Schnittkannte) die Höhe des Zylinders bildet. Die Länge der anderen Rechteckseite kannst du
bestimmen, indem du den ausgeschnittenen Kreis entlang der dieser
Rechteckseite rollst. Du wirst feststellen, dass diese Seite genau so lang ist, wie der Umfang des Kreises.
Zur Erinnerung:
Hier sind die zur Flächenberechnung notwendigen Linien in einem Kreis eingezeichnet:
Der Radius r ist der Abstand des Mittelpunktes M zur Kreislinie.
Der Durchmesser d ist die Strecke von der Kreislinie durch den Mittelpunkt M bis zur Kreislinie. Er ist doppelt so groß wie der Radius r (d = 2r).
Auf der Kreislinie liegen alle Punkte, die vom Mittelpunkt m den Abstand r haben.
4
3) Das Netz des Zylinders besteht aus zwei Kreisen und einem Rechteck, das die Mantelfläche des Zylinders bildet. Wie auch bei den Prismen entspricht der Flächeninhalt des
Zylindernetzes der Oberfläche des Zylinders.
Zur Erinnerung:
Umfang eines Kreises: 𝑢 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 = 𝜋 ∙ 𝑑 Fläche eines Kreises: 𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑟2
Fläche eines Rechtecks: 𝐴 = 𝑎 ∙ 𝑏 Zur Erinnerung:
Die Kreiszahl 𝜋 ist eine mathematische Konstante, die als Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser definiert ist.
𝜋 ≈ 3,15159
Bei Berechnung verwende am besten den gespeicherten Wert von 𝜋 im Taschenrechner.
Oberfläche eines Zylinders
Der Flächeninhalt des Zylindernetzes bildet den Oberflächeninhalt des Zylinders.
Dieser besteht aus dem Flächeninhalt der beiden Kreise und der Mantelfläche (das Rechteck mit der Höhe des Zylinders und dem Umfang des Kreises als
Seitenlängen).
WICHTIGES ZUM LERNEN
Die Oberfläche O eines Zylinders besteht also aus dem Flächen- inhalt der Grundfläche G, die zweimal vorkommt (oben und unten), und dem Flächeninhalt der Mantelfläche M, die die beiden
Grundflächen verbindet.
Zur Berechnung ergibt sich dann folgendes:
𝑶 = 𝟐 ∙ 𝑮 + 𝑴
Die Mantelfläche M lässt sich aus dem Umfang der Grundfläche u und der Höhe h des Zylinders berechnen: 𝑴 = 𝒖 ∙ 𝒉
Dadurch ergibt sich für die Oberfläche O folgendes: 𝑶 = 𝟐 ∙ 𝑮 + 𝒖 ∙ 𝒉, Also 𝑶 = 𝟐 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓𝟐+ 𝟐 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒉
6 Aufgabe 1:
Berechne die Oberfläche eines Zylinders mit folgenden Eigenschaften:
a) der Radius r = 7 cm; die Höhe h = 10 cm
Berechne den Inhalt der Grundfläche und notiere den Rechenweg.
Berechne die Mantelfläche und die gesamte Oberfläche des Zylinders. Notiere den Rechenweg.
b) Durchmesser d = 12 cm; Höhe h = 50 cm
Berechne zuerst den Radius, anschließend die Grundfläche. Notiere den Rechenweg.
Berechne die Mantelfläche und die Oberfläche des Zylinders. Notiere den Rechenweg.
Aufgabe 2:
Du hast vorhin eine Toilettenpapierrolle oder eine leere Küchenrolle aufgeschnitten.
Berechne die Oberfläche der Rolle. Beachte, die Oberfläche der Rolle besteht nur aus der Mantelfläche eines Zylinders.
Miss zuerst den Durchmesser der Rolle und anschließend die Höhe. Mit diesen beiden Größen kannst du die Mantelfläche berechnen. Berechne zuerst den Radius des Kreises und dann die Mantelfläche. Notiere den Rechenweg.
8 Aufgabe 3:
Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche der folgenden Zylinder. Beachte dabei die Einheiten. Notiere den Rechenweg.
a) b) c) d)
Radius r der Grundfläche 30 cm 1 dm 0,5 m 18 cm
Höhe h 10 cm 60 cm 3 m 7 cm
Grundfläche G Mantelfläche M
Oberfläche O
Volumen eines Zylinders
Zur Erinnerung:
Erinnere dich an die vergangenen Schuljahre. Du hast schon einmal das Volumen von verschiedenen Quadern berechnet: 𝑉 = 𝑙 ∙ 𝑏 ∙ ℎ
Ebenso hast du auch das Volumen von Prismen mit der Formel 𝑉 = 𝐺 ∙ ℎ berechnet.
Merke dir:
Haben Zylinder gleich große Grundflächen und gleiche Höhen, so haben sie auch das gleiche Volumen.
WICHTIGES ZUM LERNEN
Das Volumen V eines Zylinders mit der Grundfläche G und der Höhe h kann auf folgende Weise berechnet werden:
𝑽 = 𝑮 ∙ 𝒉 = 𝝅 ∙ 𝒓𝟐∙ 𝒉
Verwendet man den Durchmesser d des Grundkreises und die Höhe h des Zylinders, so erhält man:
𝑽 =𝝅
𝟒∙ 𝒅𝟐∙ 𝒉
10 Aufgabe 4:
Berechne das Volumen des Zylinders mit ….
a) … r = 20 cm und h = 50 cm. Notiere den Rechenweg.
b) … r = 8 cm und h = 20 cm. Notiere den Rechenweg.
Aufgabe 5:
Ein zylinderförmiges Gefäß hat einen Durchmesser von 18 cm und ist 25 cm hoch.
Wieviel Liter Wasser passt in das Gefäß, wenn man es vollständig füllt?
Berechne das Volumen des Gefäßes und gib das Volumen in Liter an.
1000 cm3 = 1 Liter
Aufgabe 6:
Früher gab es in vielen Orten Telefonzellen1, die aussahen wie Quader. Ein Designer wollte eine ganz besondere Telefonzelle gestalten, indem er eine runde Säule, also einen Zylinder mit einer Tür, aufstellen wollte, in deren Inneren man telefonieren konnte. Diese „Telefonsäule“ sollte einen Durchmesser von 1,50 m und eine Höhe von 2,50 m haben.
a) Berechne den Flächenbedarf, auf dem die „Telefonsäule“ steht, also die Grundfläche. Notiere den Rechenweg.
b) Berechne das Volumen der „Telefonsäule“. Notiere den Rechenweg.
c) Berechne die Größe der Mantelfläche der „Telefonsäule“ und notiere den Rechenweg.
12 Aufgabe 7:
Berechne das Volumen der folgenden Zylinder. Notiere den Rechenweg.
a) b) c)
Radius r 15 cm 4,8 mm 1,3 m
Höhe h 50 cm 15 mm 10 m
Aufgabe 8:
Von einigen Zylindern sind folgende Angaben gegeben. Berechne die fehlenden Größen und notiere den Rechenweg:
a) b) c) d)
Radius der Grundfläche 30 cm 9 dm
Durchmesser d der Grundfläche 18 cm
Höhe des Zylinders 10 cm 5 cm 7,5 cm
Volumen 3000 dm3
Grundfläche
Mantelfläche 48 cm2
Oberfläche
