Pfab, Karin 19.Juli 2012
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Beispiele für singuläre Steuerungen bei elliptischen Gleichungen
Hauptseminar „Numerische Methoden zur Optimierung mit partiellen Differentialgleichungen“
SS 2012
I. Definition
Sei σ: Ω → ℝ mit σx ≔ px + λux die Schaltfunktion. Sei weiter ω ⊆ Ω ein Teilgebiet von Ω mit nicht-leeren topologischen Inneren. Eine kritische Steuerung u heißt:
− ä , falls σx ≠ 0für f. a. x ∈ ωσx ≡ 0 für f. a. x ∈ ω
Gilt σx ≡ 0 für f.a. x ∈ Ω, so bezeichnet man die Steuerung als total singulär. Besitzt eine kritische Steuerung in Ω sowohl bang – bang als auch singuläre Teilflächen, so nennt man sie bang – singulär.
II. Gradiententracking
a) Problemstellung (quasilineares elliptisches Problem):
min, Jy, u ≔1
2 1 y2+ y32+ y42 dxdz s. t 7
−Δy + 1 − y2y3+ y4 − y = u in Ω y = 0 ∂<y = 1 auf Γ>
∂<y = 0 auf Γ?@
mit:
• Ω ≔ 0, T2 mit festem Rand T = const. > 0
• Rand Γ von Ω wird folgendermaßen partitioniert:
Γ = Γ?∪ ΓF∪ Γ@∪ Γ>
• UHI≔ {u ∈ L2Ω| − 1 ≤ ux ≤ 1}
b) Adjungierte Gleichungen
−Δp − 1 − y2p3+ p4 − p = Δy − y in Ω p = 0, ∂<p = ∂<y auf ΓF
∂<p + p1 − y2 = 0 auf Γ?
∂<p − p1 − y2 = 0 auf Γ@
Beim Gradiententracking taucht immer der Laplace-
Operator ΔO in der adjungierten Gleichung auf!
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2 c) Optimales Steuergesetz und Schaltbedingung
Aus der Bedingung
ℒ,u − u = pu − u ≥ 0 , ∀u in UHI
ergibt sich die Schaltbedingung
u ≔ S−1 uTUVW
1 , wenn σx > 0 σx = 0 σx < 0 mit Schaltfunktion σx = px.
d) Berechnung der singulären Steuerung
Aus p = 0 auf einer Teilmenge ω ⊂ Ω mit ω ≠ ∅ folgen die versteckten Bedingungen∇p = 0, Δp = 0.
Eingesetzt in die adjungierte Gleichung −Δp − 1 − y2p3+ p4 − p = Δy − y; aufgelöst nach y und dieses wiederum eingesetzt in die Zustandsgleichung, liefert die singuläre Steuerung:
uTUVW = −2y + 1 − y2y3+ y4
III. Schachbrettproblem a) Problemstellung
min, Jy, u ≔1
2 ‖y − y7‖_2`7
s. t
−Δy = u + e7 in Ω y = 0 auf Γ u ∈ UHI
mit:
• UHI≔ {ux ∈ La| − 500 ≤ ux ≤ 500, ∀x ∈ Ω}
• e7≜ Ausgleichsterm, um Schachbrettmuster zu erzeugen
b) Konstruktion
Ziel: Konstruktion einer reinen bang-bang-Steuerung im Schachbrettmuster
Abbildung 1: Steuerung Abbildung 2: −
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3 Konstruktionsschritte:
• Adjungierten Zustand pd konstruieren
• Ausgleichsterm e7 passend wählen
• Passende Definition für den gewünschten Zustand y7
c) Unterschiedliche Wahl der Steuergrenzen Allgemeiner Steuerbereich:
UHI≔ {ux ∈ LaΩ|ueUVx ≤ ux ≤ ueH3x, ∀x ∈ Ω}
Wähle unterschiedliche Steuergrenzen mit c = −ueUV= ueH3:
• c = 20
• c = 1000
Abbildung 3: Steuerung f in 2D Abbildung 4: Vorzeichenabbildung von gh
Abbildung 5: Steuerung f in 2D für i = jk Abbildung 6: Vorzeichenabbildung von p für i = jk
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• c = 5000
d) Fazit
• für relativ kleine Steuerschranken (c = 20, 500):
⟹ bang – bang – Steuerung entsteht als optimale Steuerung
• für größere Steuerschranken (c = 1000)
⟹ Entstehung von singulären Teilflächen (bang-singuläre Steuerung)
• für noch größere Steuerschranken (c = 5000
⟹ Entstehung einer total singulären Steuerung mit Zielfunktionswert Jy, u = 0
IV. Literatur
[1] PESCH, HANS-JOSEPH: Übungsblatt 13 zur Vorlesung „Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen“, WS 2011/12, Universität Bayreuth
[2] THEIßEN, KARSTEN: Optimale Steuerprozesse unter partiellen Differentialgleichungs- Restriktionen mit linear eingehender Steuerfunktion, 2006, Paderborn, S.17-56
Abbildung 7: Steuerung f in 2D für i = mkkk Abbildung 8: Vorzeichenabbildung von p für i = mkkk
Abbildung 9: gewünschter Zustand no Abbildung 10: Zustand y
Abbildung 11: Vorzeichenabbildung von p
